高中数学 第一章 导数及其应用章末复习提升课件 苏教版选修2-2.ppt

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第 1章 导数及其应用,章末复习提升,1.理解导数的定义与计算. 2.掌握导数的应用. 3.学会定积分的概念、运算、应用.,,学习目标,,,栏目索引,,,知识梳理 自主学习,题型探究 重点突破,当堂检测 自查自纠,知识梳理 自主学习,知识点一 导数的运算及几何意义 1.函数f(x)在x＝x0处导数：,,答案,f′(x0),函数f(x)的导数：,f′(x),2.导数的几何意义：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率等于 ，其切线方程为 .,f(x0),y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0),,3.函数的求导公式：(C)′＝ ，(xn)′＝ . (sin x)′＝ ，(cos x)′＝ ，(ax)′＝ ， (ex)′＝ ，(logax)′＝ ，(ln x)′＝ . 4.导数的四则运算法则：[f(x)g(x)]′＝f′(x)g′(x)， [f(x)g(x)]′＝ ， ＝ (g(x)≠0).,0,nxn－1,cos x,－sin x,axln a,ex,f′(x)g(x)＋f(x)g′(x),答案,,答案,知识点二 导数的应用 1.函数的单调性：在区间(a，b)内，f′(x)＞0，则f(x) ；f′(x)＜0，则f(x) . 2.函数的极值：f′(x0)＝0，在x0附近，从左到右，f′(x)的符号由正到负，f(x0)为 ；由负到正，f(x0)为 . 3.函数的最值：闭区间[a，b]上图象连续不断的函数y＝f(x)，最值在______ 或 处取得，最大的为最大值，最小的为最小值. 4.生活中的优化问题(导数的实际应用).,递增,递减,极大值,极小值,极值点,区间端点,,知识点三 定积分概念、运算和应用,定积分,定积分的概念,定积分的运算,定积分的性质,定积分的几何意义,微积分基本定理 ＝ (其中F′(x)＝f(x),,,定积分的应用,,几何中的应用：求平面图形的面积,物理中 的应用,求变速直线运动的路程 求变力做功,,F(b)－F(a),答案,返回,题型探究 重点突破,,解析答案,题型一 解决与切线有关的问题 例1 已知函数f(x)＝ex－ax(a为常数)的图象与y轴交于点A，曲线y＝f(x)在点A处的切线斜率为－1. (1)求a的值及函数f(x)的极值；,解 由f(x)＝ex－ax，得f′(x)＝ex－a. 所以f(x)＝ex－2x，f′(x)＝ex－2. 当xln 2时，f′(x)0，f(x)单调递减； 所以当x＝ln 2时，f(x)取得极小值， 且极小值f(ln 2)＝eln 2－2ln 2＝2－ln 4，f(x)无极大值.,又f′(0)＝1－a＝－1，得a＝2.,令f′(x)＝0，得x＝ln 2.,当xln 2时，f′(x)0，f(x)单调递增.,,解析答案,(2)证明：当x0时，x20. 故g(x)在R上单调递增， 又g(0)＝10， 因此，当x0时，g(x)g(0)0，即x2ex.,反思与感悟,,反思与感悟,高考中求切线方程问题主要有以下两种类型： 类型1 求“在”曲线y＝f(x)上一点P(x0，y0)的切线方程(高考常考类型).则点P(x0，y0)为切点，当切线斜率存在(即函数f(x)在x0处可导)时，切线斜率为k＝f′(x0)，有唯一的一条切线，对应的切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)；当切线斜率不存在时，对应的切线方程为x＝x0.,,反思与感悟,,类型2 求“过”曲线y＝f(x)上一点P(x0，y0)的切线方程，则切线经过点P，点P可以是切点，也可以不是切点.这样的直线可能有多条，解决问题的关键是设切点，利用“待定切点法”，即：①设点A(x1，y1)是曲线y＝f(x)上的一点，则以A为切点的切线方程为y－y1＝f′(x1)(x－x1)；②根据题意知点P(x0，y0)在切线上，点A(x1，y1)在曲线y＝f(x)上，得到方程组,求出切点A(x1，y1)，代入方程y－y1＝f′(x1)(x－x1)，,化简即得所求的切线方程.,,解析答案,跟踪训练1 已知函数f(x)＝x3＋x－16. (1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；,解 ∵f(2)＝23＋2－16＝－6， ∴点(2，－6)在曲线上. ∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1， ∴在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝322＋1＝13， ∴切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)， 即y＝13x－32.,,解析答案,(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标.,解 设切点坐标为(x0，y0)，,∴x0＝－2，y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26， ∴k＝3(－2)2＋1＝13， ∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26).,,解析答案,题型二 利用导数求参数取值范围问题 例2 设函数f(x)＝ x2＋ex－xex. (1)求f(x)的单调区间；,解 函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)， f′(x)＝x＋ex－(ex＋xex)＝x(1－ex). 若x＜0，则1－ex＞0，∴f′(x)＜0； 若x＞0，则1－ex＜0，∴f′(x)＜0； 若x＝0，则f′(x)＝0. ∴f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，即f(x)的单调减区间为(－∞，＋∞).,,解析答案,(2)若当x∈[－2,2]时，不等式f(x)＞m恒成立，求实数m的取值范围. 解 由(1)知f(x)在[－2,2]上单调递减， ∴f(x)min＝f(2)＝2－e2. ∴当m＜2－e2时，不等式f(x)＞m恒成立.,反思与感悟,,反思与感悟,利用导数确定参数的取值范围时，要充分利用f(x)与其导数f′(x)之间的对应关系，然后结合函数的单调性等知识求解. 求解参数范围的步骤为： (1)对含参数的函数f(x)求导，得到f′(x)； (2)若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则f′(x)≤0恒成立，得到关于参数的不等式，解出参数范围； (3)验证参数范围中取等号时，是否恒有f′(x)＝0.若f′(x)＝0恒成立，则函数f(x)在(a，b)上为常函数，舍去此参数值.,,解析答案,(1)若f(x)在定义域上单调递增，求实数a的取值范围；,由题意知f′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立， ∴ax2－ln x＋1≥0在(0，＋∞)上恒成立，,当x∈(0，x0)时，h′(x)＞0，函数h(x)单调递增； 当x∈(x0，＋∞)时，h′(x)＜0，函数h(x)单调递减. ∴h(x)在x0＝ 处取得最大值.,,解析答案,(2)若函数g(x)＝xf(x)有唯一零点，试求实数a的取值范围.,,解析答案,解 由题意知g(x)＝xf(x)＝ax2＋x＋ln x＝0，,故当x∈(0,1)时，R(x)＜0，φ′(x)＜0，函数φ(x)单调递减；,且易得R(1)＝0，,当x∈(1，＋∞)时，R(x)＞0，φ′(x)＞0，函数φ(x)单调递增. 故φ(x)≥φ(1)＝－1. 又当x→0时，φ(x)→＋∞， 而当x→＋∞时，φ(x)→0且φ(x)＜0，可得如图所示的图象. 故满足条件的实数a的取值范围为{a|a≥0或a＝－1}.,,解析答案,题型三 利用导数求函数的极值、最值问题,(1)若f(x)在x＝2时取得极值，求a的值；,因为f(x)的定义域是(0，＋∞)，所以当x∈(0,2)时，f′(x)＜0； 当x∈(2，＋∞)，f′(x)＞0， 所以当a＝4时，x＝2是一个极小值点，故a＝4.,,解析答案,(2)求f(x)的单调区间；,所以当a≤0时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞).,,解析答案,反思与感悟 有关函数极值、最值问题，需注意求解思路与方法，理解构造函数在解(证)题中的灵活运用.,反思与感悟,,解析答案,跟踪训练3 已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx在区间(－2,1)内，当x＝－1时取极小值，当x＝ 时取极大值. (1)求函数y＝f(x)在x＝－2时的对应点的切线方程；,解 f′(x)＝－3x2＋2ax＋b.,x＝－2时，f(x)＝2，即(－2,2)在曲线上. 又切线斜率为k＝f′(x)＝－3x2－x＋2，f′(－2)＝－8， 所求切线方程为y－2＝－8(x＋2)，即为8x＋y＋14＝0.,,解析答案,(2)求函数y＝f(x)在[－2,1]上的最大值与最小值.,解 x在变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表：,,例4 现有一批货物由海上A地运往B地，已知轮船的最大航行速度为35海里/小时，A地至B地之间的航行距离约为500海里，每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6)，其余费用为每小时960元. (1)把全程运输成本y(元)表示为速度x(海里/小时)的函数； (2)为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？,易错易混,解实际问题时因忽略定义域致误,解析答案,返回,防范措施,,解析答案,防范措施,令y′＝0，解得x＝40或x＝－40(舍去). 当0＜x＜40时，y′＜0；当x＞40时，y′＞0.,故为了使全程运输成本最小，轮船应以40海里/小时的速度行驶.,,解析答案,防范措施,错因分析 解应用题最关键的就是要表达清楚模型的函数关系式，这其中就包括函数的定义域.定义域一定要根据题目的条件，考虑自变量的实际意义.本题错解就是因为忽略了定义域导致最后的解题错误.,令y′＝0，解得x＝40或x＝－40(舍去).,因为函数的定义域为(0,35]，所以函数在定义域内没有极值.,,防范措施,又当0＜x≤35时，y′＜0，,故为了使全程运输成本最小，轮船应以35海里/小时的速度行驶.,,正确确定自变量的取值范围，在解题过程中，要在其允许取值范围内求解.,,返回,防范措施,,当堂检测,1,2,3,4,5,解析答案,1.函数f(x)＝(2πx)2的导数是 .,解析 因f(x)＝4π2x2，故f′(x)＝8π2x.,f′(x)＝8π2x,,解析答案,1,2,3,4,5,2.函数f(x)＝xe－x的单调递增区间是 .,令f′(x)＞0, 得x＜1，故增区间为(－∞，1).,(－∞，1),,1,2,3,4,5,解析 由s′＝t3－5t2＋4t＝0， 得t(t2－5t＋4)＝0，t(t－1)(t－4)＝0，t1＝0，t2＝1，t3＝4， 即t＝0或1或4时，速度为0.,0或1或4,解析答案,,解析答案,1,2,3,4,5,4.用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之 比为2∶1，则该长方体的长、宽、高分别为 时，其体积最大.,由V′＝0得x＝1或x＝0(舍去). ∴x＝1是函数V在(0，＋∞)上唯一的极大值点，也是最大值点，,,解析答案,1,2,3,4,5,5.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点x＝1处的切线为l：3x－y＋1＝0，若x＝ 时，y＝f(x)有极值. (1)求a，b，c的值；,解 由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，得f′(x)＝3x2＋2ax＋b. 由题意，当x＝1时，切线的斜率为3，可得2a＋b＝0. ①,可得4a＋3b＋4＝0. ② 由①②解得a＝2，b＝－4， ∴1＋a＋b＋c＝4，∴c＝5.,由于切点横坐标为1，∴f(1)＝4，,故a＝2，b＝－4，c＝5.,,解析答案,(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值和最小值.,解 由(1)可得f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，,∴f′(x)＝3x2＋4x－4.,当x变化时，y，y′的变化情况如下表：,1,2,3,4,5,,课堂小结,,返回,1.可导函数f(x)在x0处取得极值的充分必要条件是f′(x0)＝0且f ′(x)在x0两侧的符号不同，f′(x0)＝0是x0为极值点的必要不充分条件，函数极值是一个局部概念，求极值时经常把f′(x)＝0的点附近函数值的变化情况列成表格. 2.一些求参数取值范围的问题，常转化为恒成立问题，利用f(x)＜a恒成立⇔f(x)max＜a和f(x)＞a恒成立⇔f(x)min＞a的思想解题.存在或有解问题，如f(x)＜a有解⇔a＞f(x)min和f(x)＞a有解⇔a＜f(x)max成立.,