高考数学 常见题型 导数的综合运用课件.ppt

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导数的综合运用,题型一 导数与函数图象,点评：给定解析式求函数的图象是近几年高考重点，并且难度在增大，多数需要利用导数研究单调性知其变化趋势，利用导数求极值(最值)研究零点．,(2015杭州质检)设函数f(x)＝x2sinx，则函数f(x)的图象可能为( ),对点训练,,【解析】 因为f(－x)＝(－x)2sin(－x)＝－x2sinx＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．又因为f′(x)＝2xsinx＋x2cosx，所以f′(0)＝0，排除A；且当x∈[0，π]时，函数值为正实数，排除B；当x∈(π，2π)时，函数值为负实数，排除D，故选C.,例2 (2015沧州七校联考)设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R. (1)求f(x)的单调区间与极值； (2)求证：当aln2－1且x0时，exx2－2ax＋1. 【思路】 (1)令f′(x)＝0，求极值点，然后讨论在各个区间上的单调性． (2)构造函数g(x)＝ex－x2＋2ax－1(x∈R)，注意到g(0)＝0，只需证明g(x)在(0，＋∞)上是增函数，可利用导数求解．,题型二 导数与不等式,【解析】 (1)由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R，得f′(x)＝ex－2，x∈R.令f′(x)＝0，得x＝ln2. 于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：,故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln2)，单调递增区间是(ln2，＋∞)． f(x)在x＝ln2处取得极小值，极小值为f(ln2)＝eln2－2ln2＋2a＝2(1－ln2＋a)．,(2)设g(x)＝ex－x2＋2ax－1，x∈R.于是g′(x)＝ex－2x＋2a，x∈R. 由(1)知当aln2－1时，g′(x)最小值为g′(ln2)＝2(1－ln2＋a)0.于是对任意x∈R，都有g′(x)0， 所以g(x)在R内单调递增． 于是当aln2－1时，对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)g(0)． 又g(0)＝0，从而对任意x∈(0，＋∞)，g(x)0. 即ex－x2＋2ax－10，故exx2－2ax＋1.,点评：利用导数工具，证明不等式的关键在于要构造好函数的形式，转化为研究函数的最值或值域问题，有时需用到放缩技巧． 求证不等式f(x)≥g(x)，一种常见思路是用图像法来说明函数f(x)的图像在函数g(x)图像的上方，但通常不易说明．于是通常构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，通过导数研究函数F(x)的性质，进而证明欲证不等式．,对点训练,题型三 导数与方程,点评：讨论方程根的个数或函数的零点，关键根据题意，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置，通过数形结合的思想去分析解决．,对点训练,例4 (2015江苏连云港二调)一个圆柱形圆木的底面半径为1 m，长为10 m，将此圆木沿轴所在的平面剖成两部分．现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形ABCD(如图所示，其中O为圆心，C，D在半圆上)，设∠BOC＝θ，木梁的体积为V(单位：m3)，表面积为S(单位：m2)．,题型四 导数与最优化问题,,(1)求V关于θ的函数表达式； (2)求θ的值，使体积V最大； (3)问当木梁的体积V最大时，其表面积S是否也最大？请说明理由．,点评：生活中求利润最大、用料最省、效率最高等问题称之为优化问题．导数是解决生活中优化问题的有力工具，用导数解决优化问题的基本思路是：优化问题→用函数表示的数学问题→用导数解决数学问题→优化问题的答案．,对点训练,