高考数学一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 1.1 集合课件(理).ppt

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第一章 集合与常用逻辑用语 第一节 集 合,【知识梳理】 1.集合的相关概念 (1)集合元素的三个特性:_______、_______、_______. (2)元素与集合的两种关系:属于,记为___,不属于,记为 __. (3)集合的三种表示方法:_______、_______、_______.,确定性,无序性,互异性,∈,∉,列举法,描述法,图示法,(4)五个特定的集合:,N,N*或N+,Z,Q,R,2.集合间的基本关系,相同,A⊆B,B⊆A,A⊆B或B⊇A,A B或B A,任何集合,任何非,空集合,3.集合的基本运算,{x|x∈A或,x∈B},{x|x∈A,且x∈B},{x|x∈U,且x∉A},【特别提醒】 1.集合的分类 集合按元素个数的多少分为有限集、无限集,有限集常用列举法表示,无限集常用描述法表示.,2.集合子集的个数 若集合A中有n个元素,则其子集的个数为2n,真子集的个数为2n-1. 3.A∪B=A⇔B⊆A;A∩B=A⇔A⊆B.,【小题快练】 链接教材 练一练 1.(必修1P12习题1.1A组T5(2)改编)若集合A={x∈N| x≤ },a=2 ,则下面结论中正确的是 ( ) A.{a}⊆A B.a⊆A C.{a}∈A D.a∉A 【解析】选D.因为2 不是自然数,所以a∉A.,2.(必修1P12习题1.1A组T6改编)设集合A={x|x2-160},B={x|3x-7≥8-2x},则A∩B= ( ) A.{x|-4x4} B.{x|-4≤x≤4} C.{x|3≤x4} D.{x|3≤x≤4} 【解析】选C.因为A={x|-4x4},B={x|x≥3}, 所以A∩B={x|3≤x4}.,3.(必修1P12习题1.1B组T1改编)已知集合A={0,1,2},集合B满足A∪B={0,1,2},则集合B有 个. 【解析】由题意知B⊆A,则集合B有8个. 答案:8,感悟考题 试一试 4.(2015福建高考)若集合M={x|-2≤x2},N={0,1,2},则M∩N等于 ( ) A.{0} B.{1} C.{0,1,2} D.{0,1} 【解析】选D.因为集合N中的元素0∈M,1∈M,2∉M,所以M∩N={0,1}.,5.(2015湖南高考)已知集合U={1,2,3,4},A={1,3}, B={1,3,4},则A∪( B)= . 【解析】由题意, B={2},所以A∪( B)={1,2,3}. 答案:{1,2,3},6.(2015江苏高考)已知集合A={1,2,3},B={2,4,5},则集合A∪B中元素的个数为 . 【解析】因为A={1,2,3},B={2,4,5}, 所以A∪B={1,2,3,4,5},共5个元素. 答案:5,考向一 集合的概念 【典例1】(1)(2016揭阳模拟)已知A={x|x=3k-1,k∈Z},则下列表示正确的是 ( ) A.-1∉A B.-11∈A C.3k2-1∈A D.-34∉A,(2)(2016宁德模拟)已知集合{a,b,c}={0,1,2},且下列三个关系:①a≠2;②b=2;③c≠0有且只有一个正确,则a+2b+5c等于 ( ) A.4 B.5 C.7 D.11,【解题导引】(1)判断元素x是不是A的元素,只需由x=3k-1解出k,而k∈Z时便说明x∈A,否则x∉A,从而按照这个方法判断每个选项的正误即可. (2)根据集合相等的条件,列出a,b,c所有的取值情况,再判断是否符合条件,求出a,b,c的值后代入式子求值.,【规范解答】(1)选C.k=0时,x=-1, 所以-1∈A,所以A错误; 令-11=3k-1,k=- ∉Z,所以-11∉A,所以B错误; 令-34=3k-1,k=-11,所以-34∈A,所以D错误. 因为k∈Z,所以k2∈N,则3k2-1∈A,所以C正确.,(2)选C.由{a,b,c}={0,1,2}得,a,b,c的取值有以下情况: 当a=0时,b=1,c=2或b=2,c=1,此时不满足条件; 当a=1时,b=0,c=2或b=2,c=0,此时不满足条件; 当a=2时,b=1,c=0,此时不满足条件; 当a=2时,b=0,c=1,此时满足条件. 综上得,a=2,b=0,c=1,代入a+2b+5c=7.,【规律方法】与集合中的元素有关问题的求解策略 (1)确定集合的元素是什么,即集合是数集还是点集. (2)看这些元素满足什么限制条件. (3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数,但要注意检验集合是否满足元素的互异性.,【变式训练】(2016银川模拟)若集合A={x∈R|ax2- 3x+2=0}中只有一个元素,则a= ( ) A. B. C.0 D.0或,【解析】选D.若集合A中只有一个元素,则方程ax2- 3x+2=0只有一个实根或有两个相等实根. 当a=0时,x= ,符合题意, 当a≠0时,由Δ=(-3)2-8a=0得a= ,所以a的值为0或 .,【加固训练】 1.(2016洛阳模拟)已知集合A={1,2,4},则集合B={(x,y)|x∈A,y∈A}中元素的个数为 ( ) A.3 B.6 C.8 D.9 【解析】选D.集合B中元素有(1,1),(1,2),(1,4), (2,1),(2,2),(2,4),(4,1),(4,2),(4,4),共9个.,2.已知集合A={x|x2-2x+a0},且1∉A,则实数a的取值范围是 ( ) A.(-∞,0] B.(-∞,1] C.[1,+∞) D.[0,+∞) 【解析】选B.若1∈A,则1-2+a0,解得a1. 因为1∉A,所以a≤1.故选B.,3.已知集合A={x2+x,4x},若0∈A,则x= . 【解析】由题意,得 或 解得x=-1. 答案:-1,考向二 集合间的关系 【典例2】(1)已知集合A={x|x2-2x-3≤0,x∈N*},则集合A的真子集的个数为 ( ) A.7 B.8 C.15 D.16,(2)已知集合A= ,B={x2,x+y,0}, 若A=B,则x+y= . (3)(2016襄阳模拟)已知集合A={x|-2≤x≤7}, B={x|m+1x2m-1},若B⊆A,则实数m的取值范围是 .,【解题导引】(1)先解不等式,确定集合A中元素的个数,再求解. (2)根据两个集合中元素的特点分类讨论求解. (3)分B=∅与B≠∅两种情况讨论求解.,【规范解答】(1)选A.A={x|-1≤x≤3,x∈N*}={1,2,3}, 其真子集有:∅,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},共7个. 或因为集合A中有3个元素,所以其真子集的个数为23-1=7(个).,(2)由题意,得A中必有零,又x≠0, 所以 =0,即y=1. 此时A={2x,0,1},B={x2,x+1,0}, 因为A=B, 所以,即x=0或x=1, 由集合中元素的互异性知x=0不满足题意,故x=1, 所以x+y=2. 答案:2,(3)当B=∅时,满足B⊆A, 此时有m+1≥2m-1,即m≤2, 当B≠∅时,要使B⊆A,则有 解得2m≤4. 综上可得m≤4. 答案:(-∞,4],【母题变式】 1.本例(3)中,是否存在实数m,使A⊆B?若存在,求实数m的取值范围;若不存在,请说明理由.,【解析】由A⊆B,得 不等式组无解,故不存在实数m,使A⊆B.,2.本例(3)中,若B={x|m+1≤x≤1-2m},A B,求实数 m的取值范围.,【解析】因为A={x|-2≤x≤7},A B, 所以 解得m≤-3, 又当m=-3时,B={x|-2≤x≤7}=A, 不满足题意,所以m≠-3. 故实数m的取值范围为(-∞,-3).,【易错提醒】当题目中有条件B⊆A时,易忽视B=∅而致错.,【规律方法】 1.确定集合子集个数的思路 (1)当集合中元素的个数不多于3个时,可通过逐一列出来确定. (2)当集合中元素的个数较多时,设其个数为n,可通过公式2n,2n-1求出其子集的个数和真子集的个数.,2.集合相等问题的求解思路 对于集合相等,首先要分析已知元素与另一个集合中哪一个元素相等,分几种情况列出方程(组)进行求解,要注意检验是否满足互异性.,3.根据集合的关系求参数的关键点及注意点 (1)关键点:将两集合的关系转化为元素间的关系,进而转化为参数满足的关系. (2)注意点:①注意合理利用数轴、Venn图帮助分析及对参数进行讨论.②注意区间端点的取舍.,【变式训练】(2016大连模拟)已知集合A={x|x2-ax +2=0},B={1,2},若A⊆B,则实数a的取值范围是( ) A.{3} B.{-2 ,2 ,3} C.{a|-2 a2 或a=3} D.{a|a-2 或a=3},【解析】选C.①若A是空集,则Δ=(-a)2-80, 即-2 a2 . ②若A={1},则 无解. ③若A={2},则 无解.,④若A={1,2},则 解得a=3. 综上所述,当A⊆B时,a的取值范围为{a|-2 a2 或a=3}.,【加固训练】 1.(2016保定模拟)已知集合A={x|ax=1},B={x|x2-1=0},若A⊆B,则a的取值构成的集合是 ( ) A.{-1} B.{1} C.{-1,1} D.{-1,0,1},【解析】选D.由题意,得B={-1,1}, 因为A⊆B,所以当A=∅时,a=0; 当A={-1}时,a=-1;当A={1}时,a=1. 又A中至多有一个元素, 所以a的取值构成的集合是{-1,0,1}.,2.已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0x5,x∈N},则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4,【解析】选D.A={x|x2-3x+2=0,x∈R}={1,2}, B={x|0x5,x∈N}={1,2,3,4},由A⊆C⊆B, 方法一:C中含有除1,2之外的3,4两元素中的0个、1个、2个,即C的个数可以看作是集合{3,4}的子集的个数,有22=4个.,方法二:C可能为{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4}共4个.,3.已知集合A={x|x2-2015x-2016≤0},B={x|x2016,即m2015. 答案:(2015,+∞),4.(2016郑州模拟)设A={1,4,2x},B={1,x2},若B⊆A,则x= .,【解析】由B⊆A,得x2=4或x2=2x.当x2=4时,x=2,但x=2时,2x=4,这与集合元素的互异性相矛盾;当x2=2x时,x=0或x=2,但x=2时,2x=4,这与集合元素的互异性相矛盾.综上所述,x=-2或x=0. 答案:0或-2,考向三 集合的运算 【考情快递】,【考题例析】 命题方向1:求交集 【典例3】(2015全国卷Ⅰ)已知集合A={x|x=3n+2, n∈N},B={6,8,10,12,14},则集合A∩B中的元素个数 为 ( ) A.5 B.4 C.3 D.2,【解题导引】根据集合A中元素的特点求解. 【规范解答】选D.集合A中的元素是由被3除余2的自然数构成的,由此可知B中的元素只有8和14满足,故选D.,命题方向2:求并集 【典例4】(2015陕西高考)设集合M={x|x2=x}, N={x|lgx≤0},则M∪N= ( ) A.[0,1] B.(0,1] C.[0,1) D.(-∞,1] 【解题导引】根据题意先求出集合M和集合N,再求M∪N即可.,【规范解答】选A. 集合M={0,1}，集合N={x|0＜x≤1}, M∪N={x|0≤x≤1}， 所以M∪N=［0,1］.,【典例5】(2015安徽高考改编)设全集U={1,2,3, 4,5,6},A={1,2},B={2,3,4},则A∩( B)= . 【解题导引】应用集合的运算法则进行计算.,命题方向3:交、并、补的混合运算,【规范解答】因为 ={1,5,6}， 所以A∩( )={1}. 答案：{1},【技法感悟】 1.集合交集、并集的求解方法:先化简集合,再由交集、并集的定义求解. 2.集合交、并、补混合运算的求解方法:根据交、并、补的定义求解,有括号时,要先计算括号里面的,再按顺序求解.,【题组通关】 1.(2015广东高考)若集合M={-1,1},N={-2,1,0},则M∩N= ( ) A.{0,-1} B.{0} C.{1} D.{1,1} 【解析】选C.M∩N={1}.,2.(2015山东高考)已知集合A={x|2x4},B={x|(x-1)(x-3)0},则A∩B= ( ) A.(1,3) B.(1,4) C.(2,3) D.(2,4) 【解析】选C.A={x|2x4},B={x|1x3},故A∩B= {x|2x3}.,3.(2015天津高考)已知全集U={1,2,3,4,5,6},集合 A={2,3,5},集合B={1,3,4,6},则集合A∩( B)=( ) A.{3} B.{2,5} C.{1,4,6} D.{2,3,5},【解析】选B.A={2,3,5}, B={2,5}, 则A∩( B)={2,5}.,4.(2015四川高考)设集合A={x|(x+1)(x-2)0},集合B={x|1x3},则A∪B= ( ) A.{x|-1x3} B.{x|-1x1} C.{x|1x2} D.{x|2x3},【解析】选A.由(x+1)(x-2)0,得-1x2, 即A={x|-1x2},所以A∪B={x|-1x3}.,