高考数学总复习 第十章 算法初步、复数与选考内容 第4讲 几何证明选讲课件 理.ppt

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第 4 讲,几何证明选讲,1．了解平行线截割定理，会证直角三角形射影定理． 2．会证圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理． 3．会证相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理． 4．了解平行投影的含义，通过圆柱与平面的位置关系了解平行投影；会证平面与圆柱面的截线是椭圆(特殊情形是圆)． 5．几何证明选讲考纲要求(5)～(8)略．,1．平行线分线段成比例定理,三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例．,推论 1：平行于三角形的一边的直线截其他两边(或两边的,延长线)，所得的对应线段成比例．,推论 2：平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直 线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．,2．射影定理的结论 直角三角形一条直角边的平方等于该直角边在斜边上射影 与斜边的乘积，斜边上的高的平方等于两条直角边在斜边上射,影的乘积．,BDDC,在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90，AD⊥BC 于点 D， 则 AB2＝BDBC；AC2＝CDCB；AD2＝______________. 3．相似三角形的判定与性质 (1)相似三角形的判定定理： ①预备定理：平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边 的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．,②判定定理 1：两角对应相等，两三角形相似． ③判定定理 2：两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似． ④判定定理 3：三边对应成比例的两个三角形相似． ⑤判定定理 4：如果两个直角三角形的斜边和直角边对应 成比例，那么它们相似． (2)相似三角形的性质定理： 相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的 比都等于相似比；周长的比等于相似比；面积的比等于相似比,的________．,平方,4．圆内接四边形的性质与判定 (1)圆内接四边形的对角互补．,(2)圆内接四边形的外角等于它的内角的对角． (3)如果四边形的对角互补,那么这个四边形的四个顶点共圆.,5．直线与圆,一半,(1)圆周角定理、圆心角定理：圆上一条弧所对的圆周角等 于它所对的圆心角的____．圆心角的度数等于它所对弧的度数． (2)弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． (3)相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线 段长的积相等． (4)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是 这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．,10,图 10-4-1,图 10-4-2,2．如图 10-4-2，DB，DC 是⊙O 的两条切线，点 A 是圆上,一点．已知∠D＝46，则∠BAC＝________.,67,3．(2014 年广东肇庆二模)如图 10-4-3，△ABC 的外角平分,线 AD 交外接圆于点 D，BD＝4，则 CD＝________.,4,图 10-4-4,,9 8,a,,考点 1,相似三角形,例 1：(1)(2014 年广东)如图 10-4-5，在平行四边形 ABCD 中，点 E 在 AB 上，且 EB＝2AE，AC 与 DE 交于点 F，则,△CDF 的周长 △AEF 的周长,＝____________.,图 10-4-5,答案：3,(2)如图 10-4-6，在梯形 ABCD 中，AB∥CD，AB＝4，CD ＝2，E，F 分别为 AD，BC 上的点，且 EF＝3，EF∥AB，则梯 形 ABFE 与梯形 EFCD 的面积比为________． 图 10-4-6,,答案：,7 5,【规律方法】解本题第(2)小题的关键在于延长 AD，BC， 交点为 P，从而将我们不太熟悉的梯形转化为三角形来解决， 反复运用相似三角形的面积之比等于相似比的平方.证明三角 形相似的主要方法：①两角相等；②两边对应成比例，且夹角 相等；③三边对应成比例.,【互动探究】 1．(2013 年陕西)如图 10-4-7，AB 与 CD 相交于点 E，过 E 作 BC 的平行线与 AD 的延长线相交于点 P.已知∠A＝∠C，PD,＝2DA＝2，则 PE＝________.,图 10-4-7,考点2,与圆有关的角,例2：如图 10-4-8，已知点 C 在圆 O 直径 BE 的延长线上， CA 切圆 O 于 A 点，DC 是∠ACB 的平分线并交 AE 于点 F、交 AB 于 D 点，求∠ADF 的大小．,图 10-4-8,思维点拨：根据直径上的圆周角是直角、弦切角定理以及,三角形内角和定理等通过角的关系求解．,解：设∠EAC＝α，根据弦切角定理，∠ABE＝α. 根据三角形外角定理，∠AEC＝90＋α. 根据三角形内角和定理，∠ACE＝90－2α. 由于CD是∠ACB的内角平分线，所以∠FCE＝45－α. 再根据三角形内角和定理，∠CFE＝180－(90＋α) －(45－α)＝45. 根据对顶角定理，∠AFD＝45. 由于∠DAF＝90，所以∠ADF＝45.,【规律方法】(1)等弦或等弧所对的圆周角相等，所对的圆心角相等，可进行角的等量代换；同时也可借在同圆或等圆中，相等的圆周角(圆心角)所对的弧相等，可进行弧(或弦)的等量代换． (2)本题的涉及很独到，试题涉及成动态的，即点C是可变的，在这个动态中求解其中的一个不变量．解决这类试题要善于抓住主要的变化关系，如本题中主要的变量就是∠AEC，抓住这个变量后，其余的角可以使用这个变量进行表达，通过各个角的关系证明求解的目标与这个变量没有关系．,【互动探究】 2．如图 10-4-9，EB，EC 是⊙O 的两条切线，B，C 是切 点，A，D 是⊙O上两点，如果∠E＝46，∠DCF＝32，则 ∠A的度数是______.,图 10-4-9,答案：99,图 D43,3．(2012 年广东广州二模)如图10-4-10，⊙O 的直径 AB＝ 6，点 P 是 AB 延长线上的一点，过点 P 作⊙O 的切线，切点为,C，连接 AC.若 PC＝3,，则∠CPA＝______.,30,图 10-4-10 解析：PC2＝PBPA ⇒27＝PB(PB＋6)⇒PB2＋6PB－27＝0， 得PB＝3.连接OC，在Rt△OPC 中，OC＝3，OP＝6，则∠CPA ＝30.,考点3,与圆有关的比例线段,例3：(2014 年新课标Ⅱ)如图 10-4-11，P 是⊙O 外一点， PA 是切线，A 为切点，割线 PBC 与⊙O 相交于点 B，C，PC＝ 2PA ，D 为 PC 的中点，AD 的延长线交⊙O 于点 E，证明： (1)BE＝EC； (2)ADDE＝2PB2. 图 10-4-11,证明：(1)如图10-4-12，连接AB，AC.由题设知PA ＝PD， 故∠PAD ＝∠PDA. 因为∠PDA＝∠DAC＋∠DCA， ∠PAD ＝∠BAD＋∠PAB， ∠DCA＝∠PAB，,所以∠DAC＝∠BAD.,图10-4-12,因此BE＝EC.,(2)由切割线定理，得PA2＝PBPC. 因为PC＝2PA，所以PA＝2BP.所以PD＝2PB， 所以BD＝PB.所以BDDC＝PB2PB. 由相交弦定理，得ADDE＝BDDC. 所以ADDE＝2PB2.,【规律方法】相交弦定理为圆中证明等积式和有关计算提 供了有力的方法和工具，应用时一方面要熟记定理的等积式的 结构特征，另一方面在与定理相关的图形不完整时，要用辅助 线补齐相应部分.在实际应用中，见到圆的两条相交弦就要想到 相交弦定理；见到圆的两条割线就要想到割线定理；见到圆的 切线和割线就要想到切割线定理.,【互动探究】 4．(2012 年广东)如图 10-4-113，直线PB 与圆O 相切于点 B，D 是弦 AC 上的点，∠PBA＝∠DBA.若 AD＝m，AC＝n，则 AB＝_______ . 图 10-4-13,●易错、易混、易漏●,⊙审题不清造成漏解,例题：过不在⊙O 上的一点 A 作直线交⊙O 于 B，C，且 ABAC＝64，OA＝10，则⊙O 的半径等于________．,【失误与防范】点A 不在⊙O 上，则点A 有可能在圆外， 也有可能在圆内，对于没有给出图形的问题要认真审题，并想 清楚各种可能，本题很容易思维定势地认为点A 在圆外而出错.,