2019年高考数学一轮复习 第二章 函数的概念与基本初等函数Ⅰ 课时达标检测（七）函数的奇偶性及周期性.doc

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2019年高考数学一轮复习 第二章 函数的概念与基本初等函数Ⅰ 课时达标检测（七）函数的奇偶性及周期性 1．(xx肇庆模拟)在函数y＝xcos x，y＝ex＋x2，y＝lg，y＝xsin x中，偶函数的个数是________． 解析：y＝xcos x是奇函数，y＝lg和y＝xsin x是偶函数，y＝ex＋x2是非奇非偶函数，所以偶函数的个数是2. 答案：2 2．(xx北京高考改编)已知函数f(x)＝3x－x，则________． ①f(x)在R上是增函数；②f(x)在R上是减函数； ③f(x)是偶函数；④f(x)是奇函数． 解析：因为f(x)＝3x－x，且定义域为R， 所以f(－x)＝3－x－－x＝x－3x＝－3x－x＝－f(x)，即函数f(x)是奇函数． 又y＝3x在R上是增函数，y＝x在R上是减函数，所以f(x)＝3x－x在R上是增函数． 答案：①④ 3．奇函数f(x)的周期为4，且当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2，则f(2 018)＋f(2 019)＋f(2 020)的值为________． 解析：函数f(x)是奇函数，则f(0)＝0，由f(x)＝2x－x2，x∈[0,2]知f(1)＝1，f(2)＝0，又f(x)的周期为4，所以f(2 018)＋f(2 019)＋f(2 020)＝f(2)＋f(3)＋f(0)＝f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－1. 答案：－1 4．(xx贵州适应性考试)已知f(x)是奇函数，g(x)＝.若g(2)＝3，则g(－2)＝________. 解析：由题意可得g(2)＝＝3，则f(2)＝1，又f(x)是奇函数，则f(－2)＝－1，所以g(－2)＝＝＝－1. 答案：－1 5．(xx海门中学月考)已知函数f(x)＝log－，则使得f(x＋1)＜f(2x－1)成立的x的范围是________． 解析：由题意得，函数f(x)定义域是R， ∵f(－x)＝log－＝log－＝f(x)，∴函数f(x)是偶函数．∵偶函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，由f(x＋1)＜f(2x－1)得|x＋1|＞|2x－1|，解得0＜x＜2.即x的范围是(0,2)． 答案：(0,2) 一、填空题 1．设f(x)是定义在R上且周期为4的奇函数，若在区间[－2，0)∪(0,2]上，f(x)＝则f(2 018)＝________. 解析：设0＜x≤2，则－2≤－x＜0，f(－x)＝－ax＋b.因为f(x)是定义在R上且周期为4的奇函数，所以－ax＋b＝f(－x)＝－f(x)＝－ax＋1，所以b＝1.而f(－2)＝f(－2＋4)＝f(2)，所以－2a＋1＝2a－1，解得a＝，所以f(2 018)＝f(2)＝2－1＝0. 答案：0 2．(xx淮安中学模拟)奇函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)为偶函数，且f(1)＝2，则f(4)＋f(5)的值为________． 解析：设g(x)＝f(x＋1)，∵f(x＋1)为偶函数，则g(－x)＝g(x)，即f(－x＋1)＝f(x＋1)，∵f(x)是奇函数，∴f(－x＋1)＝f(x＋1)＝－f(x－1)，即f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝f(x＋2＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)，则f(4)＝f(0)＝0，f(5)＝f(1)＝2，∴f(4)＋f(5)＝0＋2＝2. 答案：2 3．设函数f(x)(x∈R)满足f(x＋π)＝f(x)＋sin x．当0≤x＜π时，f(x)＝0，则f ＝________. 解析：∵f(x＋2π)＝f(x＋π)＋sin(x＋π)＝f(x)＋sin x－sin x＝f(x)，∴f(x)的周期T＝2π，又∵当0≤x＜π时，f(x)＝0，∴f ＝0，∴f ＝f ＋sin＝0，∴f ＝，∴f ＝f ＝f ＝. 答案： 4．(xx全国卷Ⅰ改编)函数f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是________． 解析：∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)． ∵f(1)＝－1，∴f(－1)＝－f(1)＝1. 故由－1≤f(x－2)≤1，得f(1)≤f(x－2)≤f(－1)． 又f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，∴－1≤x－2≤1， ∴1≤x≤3. 答案：[1,3] 5．已知函数f(x)的定义域为R.当x＜0时，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)；当x＞时，f ＝f ，则f(6)＝________. 解析：由题意知当x＞时，f ＝f ，则f(x＋1)＝f(x)．又当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)，∴f(6)＝f(1)＝－f(－1)．又当x＜0时，f(x)＝x3－1，∴f(－1)＝－2， ∴f(6)＝2. 答案：2 6．已知函数f(x)对任意x∈R，都有f(x＋6)＋f(x)＝0，y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称，且f(－2)＝4，则f(2 018)＝________. 解析：由题可知，函数f(x)对任意x∈R，都有f(x＋6)＝－f(x)，∴f(x＋12)＝f[(x＋6)＋6]＝－f(x＋6)＝f(x)，∴函数f(x)的周期T＝12.把y＝f(x－1)的图象向左平移1个单位得y＝f(x－1＋1)＝f(x)的图象，关于点(0,0)对称，因此函数f(x)为奇函数，∴f(2 018)＝f(16812＋2)＝f(2)＝－f(－2)＝－4. 答案：－4 7．(xx扬州江都中学模拟)已知函数f(x)是周期为2的奇函数，当x∈[0,1)时，f(x)＝lg(x＋1)，则f ＋lg 14＝________. 解析：由函数f(x)是周期为2的奇函数得f ＝f ＝f ＝－f ，又当x∈[0,1)时，f(x)＝lg(x＋1)，所以f ＝－f ＝－lg＝lg，故f ＋lg 14＝lg＋lg 14＝lg 10＝1. 答案：1 8．函数f(x)＝ex＋x(x∈R)可表示为奇函数h(x)与偶函数g(x)的和，则g(0)＝________. 解析：由题意可知h(x)＋g(x)＝ex＋x　①，用－x代替x得h(－x)＋g(－x)＝e－x－x，因为h(x)为奇函数，g(x)为偶函数，所以－h(x)＋g(x)＝e－x－x　②.由(①＋②)2得g(x)＝，所以g(0)＝＝1. 答案：1 9．设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件：①f(x)＋f(－x)＝0；②f(x)＝f(x＋2)；③当0≤x≤1时，f(x)＝2x－1.则f ＋f(1)＋f ＋f(2)＋f ＝________. 解析：依题意知：函数f(x)为奇函数且周期为2，则f ＋f(1)＋f ＋f(2)＋f ＝ f ＋f(1)＋f ＋f(0)＋f ＝f ＋f(1)＋f(0)＝2－1＋21－1＋20－1＝. 答案： 10．已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f(x)＝4x，则f ＋f(1)＝________. 解析：∵f(x)为奇函数，周期为2，∴f(1)＝f(1－2)＝f(－1)＝－f(1)，∴f(1)＝0.∵f(x)＝4x，x∈(0,1)，∴f ＝f－＋2＝f ＝－f ＝－4＝－2.∴f ＋f(1)＝－2. 答案：－2 二、解答题 11．已知函数f(x)＝是奇函数． (1)求实数m的值； (2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围． 解：(1)设x＜0，则－x＞0， 所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x. 又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)， 于是x＜0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx， 所以m＝2. (2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，结合f(x)的图象(如图所示)知所以1＜a≤3，故实数a的取值范围是(1,3]． 12．函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对任意x1，x2∈D，有f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)． (1)求f(1)的值； (2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论； (3)如果f(4)＝1，f(x－1)＜2, 且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围． 解：(1)∵对于任意x1，x2∈D，有f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)， ∴令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0. (2)f(x)为偶函数． 证明：令x1＝x2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)， ∴f(－1)＝f(1)＝0.令x1＝－1，x2＝x，有f(－x)＝f(－1)＋f(x)， ∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数． (3)依题设有f(44)＝f(4)＋f(4)＝2，由(2)知，f(x)是偶函数， ∴f(x－1)＜2⇔f(|x－1|)＜f(16)． 又f(x)在(0，＋∞)上是增函数． ∴0＜|x－1|＜16， 解得－15＜x＜17且x≠1. ∴x的取值范围是(－15,1)∪(1,17).