2019-2020年高中数学 抛物线的几何性质知识精讲 文 人教版第二册.doc

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2019-2020 年高中数学 抛物线的几何性质知识精讲 文 人教版第二册 【本讲教育信息】 一. 教学内容： 抛物线的几何性质 二. 重点、难点： 1. 重点： 抛物线的性质，焦半径，焦点弦的应用，数形结合。 2. 难点： 注意抛物线与椭圆、双曲线的联系。 【典型例题】 [例 1] 给定抛物线，设 A（） （） ，P 是抛物线上的一点，且，试求的最小值。 解：设（） （） 则 ∴ 1a2)]1(x[2)ax(000  ∵ ， ∴（1）当时， ，此时当时， d最 小 （2）当时， ，此时当时， [例 2] 过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，设交抛物线于 A、B 两点，求。 解：当时，直线 AB 的方程为 由  22pxy 得 A（） 、B（， ） ∴ 当时，直线 AB 的方程为 由  pxy2tan)( 得 0tan4)tan2(t 222  pxpx 设 A（） 、B（） ，则 ∴ 2221 sintap [例 3] 过抛物线的准线与对称轴的交点作直线，交抛物线于 M、N 两点，问直线的倾斜角 多大时，以线段 MN 为直径的圆经过抛物线的焦点？ 解：抛物线的准线与对称轴的交点为（） ，设直线 MN 的方程为 由 得 0)2(2kxxk ∵ 直线与抛物线交于 M、N 两点 ∴ 即， ， 设 M（， ） ，N（） ，抛物线焦点为 F（1，0） ∵ 以线段 MN 为直径的圆经过抛物线的焦点 ∴ MF⊥NF ∴ 即 01)(221 xxy 又 ， ，且、同号 ∴ 解得 ∴ 即直线的倾斜角为或时，以线段 MN 为直径的圆经过抛物线的焦点。 [例 4] 过抛物线的焦点 F 的直线与抛物线交于 A、B 两点，求的值。 解：如图所示，设 A（） 、B（） ，AB 的方程为 由  22pkyx 得 ∴ 又 ∵ ， ∴ ∴ ∴ 又 211pxBFA4)(4)(2)(2 2122111 pxpxxp )(21 [例 5] 如图，已知直线：交抛物线于 A、B 两点，试在抛物线 AOB 这段曲线上求一点 P，使 的面积最大，并求这个最大面积。 解：由解得 A（4，4） 、B（1， ） ，知，所以直线 AB 的方程为 设 P（）为抛物线 AOB 这条曲线上一点，为 P 点到直线 AB 的距离9)(522200yyxd ∵ ∴ ∴ 从而当时， 因此，当点 P 坐标为时， 4275321)(maxAPBS [例 6] 已知直线与曲线在第一象限有公共点，求的取值范围。 解：如图，易知抛物线与轴交于 A（0，1） 、B（0，3） 直线恒过 C（） ，由图象及抛物线的延伸趋势可知 当大于零且小于 BC 的斜率时满足题意 而，故。 [例 7] 设抛物线的焦点为 F，经过点 F 的直径交抛物线于 A、B 两点，点 C 在抛物线的准线 上，且 BC//轴，证明：直线 AC 经过原点 O。 证法一：因为抛物线的焦点坐标为 F（） 所以经过点 F 的直线 AB 的方程为 代入抛物线方程得 0 设 A（） 、B（） ，则 ∵ BC//轴，且点 C 在准线上 ∴ 点 C 的坐标为 故直线 OC 的斜率为 112xypyk 即也是 OA 的斜率，所以直线 AC 经过原点 O 证法二：如图所示，设轴与抛物线准线的交点为 E，过点 A 作 AD⊥，D 为垂足 则。连结 AC，与 EF 相交于 N，则 ，根据抛物线的几何性质，得， ∴ FABCFDEN ∴ 点 N 是线段 EF 的中点，与抛物线的顶点 O 重合 ∴ 直线 AC 经过点 O 证法三：设 A（） 、B（） ，由已知 C 得 直线 AC 的方程为 )2(12pxyy，把原点的坐标代入，得212pxy 利用得上面等式恒成立 ∴ 直线 AC 经过点 O 证法四：设 A（） 、B（） ，由已知得 C（） ， ∴ 0)(2)(22)( 111121  pypypypyx 又 ∵ O 是公共点 ∴ A、O、C 共线，即 AC 过点 O [例 8] 如果抛物线上总有关于直线对称的相异两点，试求的范围。 方法一：设抛物线上关于对称的相异两点坐标为 A（） 、B（） ∵ 两点都在抛物线上 ∴ （1）－（2） ，得 ∵ ∴ （3） （3）代入（2） ，得 ∵ ，且相异 ∴ ∴ ∴ 的取值范围是（） 方法二：设抛物线上关于直线对称的两点所在直线方程为，代入，得 ∵ ，且两点为相异两点 ∴ 即 （1） 设两对称点为 A（） 、B（） 则， 又 ∵ ∴ ，即 （2） （2）代入（1） ，得 ∴ 的取值范围是（） 【模拟试题】 （答题时间：60 分钟） 一. 选择题： 1. 等腰直角三角形 AOB 内接于抛物线，O 为抛物线的顶点，OA⊥OB，则的面积是（ ） A. B. C. D. 2. 已知点（）在抛物线上，则的最小值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 0 3. 已知 A、B 是抛物线上两点，O 为坐标原点，若且的垂心恰是此抛物线的焦点 F，则直 线 AB 的方程是（ ） A. B. C. D. 4. 已知点 A（） ，的焦点是 F，P 是上的点，为使取得最小值，P 点的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 抛物线与直线的一个交点是（1，2） ，则抛物线的焦点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 抛物线的焦点 F，点 P 在抛物线上，若，则 P 点的坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 7. 过抛物线的焦点作直线交抛物线于 A（） 、B（）两点，如果，那么（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 8. 过抛物线（）的焦点 F 作一直线交抛物线于 P、Q 两点，若线段 PF 与 FQ 的长分别是、 ，则的值为（ ） A. B. C. D. 二. 填空： 1. 过抛物线的焦点，倾斜角为的直线被抛物线截得的弦长为 。 2. 抛物线的焦点为 F，准线交轴于点 R，过抛物线上一点 P（4，4）作 PQ⊥于点 Q，则 梯形 PQRF 的面积是 。 3. 线段 AB 是抛物线的一条焦点弦，且，则线段 AB 的中点 C 到直线的距离是 。 4. 抛物线顶点在原点，焦点在坐标轴上，抛物线上点 A（）到焦点的距离为 5，则抛物 线方程为 。 三. 解答题： 1. 已知抛物线上有三点 A（） 、B（） 、C（）且，若线段 AB、BC 在轴上射影之长相等， 求证：A、B、C 三点到焦点的距离顺次成等差数列。 2. 过抛物线的顶点作互相垂直的两条直线，交抛物线于 A、B 两点，求线段 AB 中点的轨 迹方程 3. 设抛物线的焦点为 F，经过点 F 的直线交抛物线于 A、B 两点，点 C 在抛物线的准线 上，且 BC∥轴。证明：直线 AC 经过原点 O 【试题答案】 一. 1. B 2. B 3. D 4. A 5. B 6. C 7. B 8. C 二. 1. 16 2. 14 3. 4. 或或 三. 1. 证明：根据题意，得，即、 、成等差数列 又由抛物线的定义得， ， ∵ px2)p(x2BFBFA31 ∴ 、 、成等差数列 2. 解：设线段 AB 的中点为 P（） ，OA 的斜率为，则直线的方程为 由得或  k6yx2 依题意得 A 点的坐标为 A（， ） ∵ OA⊥OB ∴ OB 的斜率为，直线 OB 的方程为 由  x6y12 得或 ∴ B 点的坐标为 线段 AB 的中点 P（）满足  )k6(21yx2 即  )2(k13yx2 （2）式平方后减去（1）3，得为所求。 3. 证明：∵ 抛物线的焦点为 F（） ∴ 经过点 F 的直线 AB 的方程可设为 代入抛物线方程，得 设，则是该方程的两根 ∴ ∵ BC//轴，且点 C 在准线上 ∴ 点 C 的坐标为（） ∴ 直线 OC 的斜率为 12xypk 即也是直线 OA 的斜率 ∴ 直线 AC 经过原点 O