五年级数学 奥数练习14 数列的分组（B）.doc

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数列的分组(B) 年级 班 姓名 得分 一、填空题 1. 有一列由三个数组成的数组,它们依次是 (1,5,10);(2,10,20);(3,15,30);……第99个数组内三个数的和是______. 2. 有数组:(1,1,1),(2,4,8),(3,9,27),……,第100组的三个数之和是___. 3. 有数组{1,2,3,4},{2,4,6,8},{3,6,9,12},……,那么第100个数组的四个数的和是______. 4. 将自然数按下面的规律分组:(1,2),(3,4,5,6),(7,8,9,10,11,12),(13, 14,15,16,17,18,19,20),……,第1991组的第一个数和最后一个数各是______. 5. 将奇数按下列方式分组: (1),(3,5),(7,9,11),(13,15,17,19),……. (1) 第15组中第一个数是______; (2) 第15组中所有数的和是______; (3) 999位于第____组第____号. 6. 自然数列1,2,3,…,,…,它的第组含有2-1个数,第10组中各数的和是______. 7. 给定以下数列: ,,,,,,,,,,…, (1)是第____项; (2)第244项是____; (3)前30项之和是____. 8. 在以下数列: ,,,,,,,,,,,,…中,居于第___项. 9. 设自然数按下图的格式排列: 1 2 5 10 17 … 4 3 6 11 18 … 9 8 7 12 19 … 16 15 14 13 20 … 25 24 23 22 21 … … … … … … … (1) 200所在的位置是第____行,第____列; (2) 第10行第10个数是______. 10. 紧接着1989后面写一串数字,写下的数字都是它们前面两个数字之积的个位数,例如89=72,在9后面写2,29=18,在2后面写8,…,这样得到一串数字,从1开始,第1989个数字是______. 二、解答题 11. 将1到1989的自然数从头开始,依次第四个数一组,第一组各数间添上“+”号,第二组各数间添上“一”号,以后各组以“+”,“一”号相间隔,列成一个算式: 1+2+3+4-5-6-7-8+9+10+11+12-13-….问: (1) 1989前添什么号? (2) 求这个算式的结果. 12. 把由1开始的自然数依次写下来: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14…. 重新分组,按三个数字为一组: 123,456,789,101,112,131,…, 问第10个数是几? 13. 根据下图回答: (1) 第一行的第8个数是几? (2) 第五行第六列上的数是几? (3) 200的位置在哪一格(说出所在行和列的序号)? 14. 已知自然数组成的数列: 1,2,3,…,9,10,11,12,…, 把这个数列的10和大于10的数,全部用逗号隔成一位数,做成一个新的数列: 1,2,3,…,9,1,0,1,1,1,2,…. 问: (1) 中100这个数的个位上的“0”在中是第几个数? (2) 中第100个数是几?这个数在中的哪个数内?是它的哪一位数? (3) 到的第100个数为止,“3”这个数字出现了几次? (4) 中前100个数的和是多少? ———————————————答 案—————————————————————— 答 案: 1. 解法一 这串数组,各组数的和是16,32,48,….各组数的和分别是按16的1倍,2倍,3倍,……的规律递增.因此,第99个数组的和是1699=16(100-1)=1600-16=1584. 解法二 通过观察可以发现,每一组括号中的三个数的关系是:第一个数表示组数,第二个数是第一个数的5倍,第三个数是第一个数的10倍.因此,第99组内三个数应为:(99,995,9910).所以,第99个数组的和是: 99+995+9910=99(1+5+10) =9916 =1584 2. 解法一 通过观察可以发现,每一组括号中三个数的关系是:第一个数表示组数,第二个数是第一个数自乘的积,第三个数是第一、二两数的乘积,因此,第100组中的三个数应分别是: 第一个数是100; 第二个数是100100=10000; 第三个数是10010000=1000000, 所以,第100组的三个数的和为: 100+10000+1000000=1010100. 解法二 通过观察可发现每一组的三个数的和可以用通项公式 表示,=1,2,3,….因此,第100组的三个数之和是: . 3. 解法一 这串数组,各组数的和是10,20,30,40,….因此,第100个数中的四个数的和是10010=1000. 解法二 通过观察可以发现,每一组数括号中四个数的关系是:第一个数表示组数,第二个数是第一个数的2倍,第三个数是第一个的3倍,第四个数是第一个数的4倍.因此,第100个数组内的四个数分别是:(100,200,300,400). 所以,第100个数组的四个数的和是:100+200+300+400=1000. 4. 仔细观察找出这些自然数分组的规律,再找出每一组的第一个数与该组的序数之间的关系. 第1组的第1个数是:1=(1-1)1+1; 第2组的第1个数是:3=(2-1)2+1; 第3组的第1个数是:7=(3-1)3+1; 第4组的第1个数是:13=(4-1)4+1; …… 根据这一规律,可求出第1991组的第1个数是:(1991-1)1991+1=3962091. 第1992组的第一个数是: (1992-1)1992+1=3966073. 因此,第1991组的最后一个数是:3966073-1=3966072. 5. (1)从第1组到第14组的奇数有1+2+3+…+14==105(个). 因此,第15组最初一个数是第106个奇数:2106-1=211. (2)在第15组中的数是以211为首项,公差为2,项数等于15的等差数列,其和是15211+2=3375. (3)设999位于第组,因3132=992,3233=1056,所以=32,第32组最初一个数是:[2(1+2+…+31)-1]+2=993. 因此,999是第32组的第4号数. 6. 第1组到第9组共有自然数:1+3+5+…+(29-1)==18(个). 因此,第10组第1号数是82,第10组有210-1=19个数,所以第10组各数之和为 . 7. (1)以分母相同的分数分组,并记分母为的分数属于第组,从而是第29组的第13号数,第组由个分数组成,从第1组到第28组有 1+2+3+…+28==406 个分数,因此位于第406+13=419项. (2)因2120=420,2221=462,2322=506,故第244项在第22组,前21组有=231个分数,从而第244项是居于第22组中的第13号数,是. (3)前30项之和为 1+(1+2)+(1+2+3)+…+(1+2+…+7)++ =1++…++ =(2+3+4+…+8)+ =+ = =17. 8. 将分子与分母之和相等者归于同一组: ,,,,…， 其中在7+19-1=25组,是第19号数.1至24组共有分数 1+2+3+…+24==300(个). 所以在原数列中是第300+19=319项. 9. 注意到第一列是完全平方数: 1,4,9,16,25,…. 按(1),(2,3,4),(5,6,7,8,9),…分组,则200在196与225之间,属第15组,倒数第4个数,在第4行、第15列上. 第10行第10个数是位于第10行第10列上的数91. 10. 写出前面几个数字: 198928688428688428…, 1989后面的六位数字出现循环. (1989-4)6=330…5, 所以第1989位数字是8. 11. 19898=248…5,所以1989前添的是“-”号.观察到,从第3个数起,每8个数之和为0: 3+4-5-6-7-8+9+10=0, 11+12-13-14-15-16+17+18=0, ………………………… (1989-2)8=248…3, 所以,这个算式的结果是: 1+2+1987+1988-1989=1989. 12. 1到9有9个数字,10到19有20个数字,第10个三位数是192. 13. (1)所有自然数按自右上至左下以斜线分组: (1),(2,3),(4,5,6),(7,8,9,10),…, 第组第1号数是第一行的第个数.从第1组到第(-1)组有: 1+2+3+…+(-1)= 个数,从而第组第1号数是+1.因此,第1行第8个数是+1=29. (2)一般地,自上至下第行,自左至右第列上的数在第(+-1)组中,第五行第六列上的数在第10组中,第10组第1号数是+1=46,第10组在第五行的数是46+5-1=50. (3)1920=380,2021=420,故200在第20组中,第20组第一个数是 +1=191,因此数200在第10行第11列的位置上. 14. (1)数100之前有数字9+290=189(个),所以数100的个位上的“0”在中是第189+3=192个数. (2)中第9+240=89个数是中数49的“9”:4950515253545556…, 中第100个数是中数55的十位数上的“5”. (3)到的第100个数为止,数字“3”一共出现了1+1+1+11+1+1=16(次). (4)中前100个数字之和为 (1+2+…+9)5+10(1+2+3+4)+65+(0+1+2+3+4) =225+100+30+10 =365.