2019年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.1 抛物线及其标准方程学业分层测评（含解析）北师大版选修1-1.doc

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2019年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.1 抛物线及其标准方程学业分层测评（含解析）北师大版选修1-1 一、选择题 1．(xx宜昌高二检测)如果抛物线y2＝ax的准线是直线x＝1，那么它的焦点坐标为(　　) A．(1,0)　　　　　　 B．(2,0) C．(3,0) D．(－1,0) 【解析】　由准线方程x＝1可得a＝－4，所以焦点坐标为(－1,0)． 【答案】　D 2．到直线x＝2与到定点P(2,0)的距离相等的点的轨迹是(　　) A．抛物线 B．圆 C．椭圆 D．直线 【解析】　法一：根据抛物线的定义判断，首先要看点P与直线的位置关系．点P(2,0)在直线x＝2上，故轨迹不是抛物线，而是经过点P(2,0)且垂直于直线x＝2的一条直线． 法二：设动点M(x，y)，则有＝|x－2|，所以y2＝0，即y＝0，表示的是x轴这条直线．故选D. 【答案】　D 3．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为(　　) A. B．1 C．2 D．4 【解析】　由已知，可知抛物线的准线x＝－与圆(x－3)2＋y2＝16相切．圆心为(3,0)，半径为4，圆心到直线的距离d＝3＋＝4，解得p＝2. 【答案】　C 4．(xx全国卷Ⅰ)已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则x0等于(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 【解析】　由抛物线方程y2＝x，知p＝，又因为|AF|＝x0＋＝x0＋＝x0，所以得x0＝1. 【答案】　A 5．已知F为抛物线x2＝2py(p>0)的焦点，M为其上一点，且|MF|＝2p，则直线MF的斜率为(　　) A．－ B． C．－ D． 【解析】　由题意，得F，准线为y＝－. 过点M作MN垂直于准线于N，过F作FQ垂直于MN于Q，则|MN|＝|MF|＝2p，|MQ|＝p.故∠MFQ＝30. 即直线MF的倾斜角为150或30，斜率为－或. 【答案】　B 二、填空题 6．抛物线y2＝2px过点M(2,2)，则点M到抛物线准线的距离为________． 【解析】　因为y2＝2px过点M(2,2)，于是p＝1，所以点M到抛物线准线的距离为2＋＝. 【答案】　 7．一动圆的圆心在抛物线y2＝8x上，并且动圆恒与直线x＋2＝0相切，则动圆必过定点________． 【解析】　直线x＋2＝0是抛物线y2＝8x的准线，根据抛物线的定义，动圆必过焦点(2,0)． 【答案】　(2,0) 8．若动圆与圆(x－2)2＋y2＝1外切，又与直线x＋1＝0相切，则动圆圆心的轨迹方程是________． 【解析】　设动圆的半径为r，圆心O′(x，y)，且O′到点(2,0)的距离为r＋1，O′到直线x＝－1的距离为r，所以O′到(2,0)的距离与到直线x＝－2的距离相等，由抛物线的定义知y2＝8x. 【答案】　y2＝8x 三、解答题 9．(1)求过点P(2，－4)的抛物线的标准方程； (2)抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线相交于点A，|AF|＝5，求抛物线的标准方程. 【解】　(1)∵P(2，－4)在第四象限且坐标轴是对称轴， ∴设抛物线方程为y2＝2px(p>0)或x2＝－2py(p>0)． 将P点的坐标代入，得p＝4或p＝. ∴所求抛物线的方程为y2＝8x或x2＝－y. (2)设所求焦点在x轴上的抛物线的标准方程为： y2＝2px(p≠0)，A(m，－3)． 则由抛物线的定义得5＝|AF|＝ 又(－3)2＝2pm.所以，p＝1或p＝9. 故所求抛物线的方程为y2＝2x或y2＝18x. 10．求与圆(x－3)2＋y2＝9外切，且与y轴相切的动圆圆心的轨迹方程． 【解】　设定圆圆心M(3,0)，半径r＝3，动圆圆心P(x，y)，半径为R，则由已知得下列等式 ∴|PM|＝|x|＋3. 当x>0时，上式几何意义为点P到定点M的距离与它到直线x＝－3的距离相等， ∴点P轨迹为抛物线，焦点M(3,0)，准线x＝－3. ∴p＝6. 抛物线方程为y2＝12x. 当x<0时，|PM|＝3－x， 动点P到定点M的距离等于动点P到直线x＝3的距离， 点P轨迹为x轴负半轴， ∴所求轨迹方程为y2＝12x(x>0)或y＝0(x<0)． [能力提升] 1．已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为(　　) A．－ B．－1 C．－ D．－ 【解析】　因为抛物线C：y2＝2px的准线为x＝－，且点A(－2,3)在准线上，故－＝－2，解得p＝4，所以y2＝8x，所以焦点F的坐标为(2,0)，这时直线AF的斜率kAF＝＝－. 【答案】　C 2．从抛物线y2＝4x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|＝5，设抛物线的焦点为F，则△MPF的面积为(　　) A．5 B．10 C．20 D． 【解析】　由抛物线方程y2＝4x，易得抛物线的准线l的方程为x＝－1，又由|PM|＝5，可得点P的横坐标为4，代入y2＝4x，可求得其纵坐标为4，故S△MPF＝54＝10，选B. 【答案】　B 3．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝________. 【解析】　如图所示，直线AF的方程为y＝－(x－2)，与准线方程x＝－2联立得A(－2,4)． 设P(x0,4)，代入抛物线y2＝8x，得8x0＝48， ∴x0＝6， ∴|PF|＝x0＋2＝8. 【答案】　8 4．如图221，已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M. 图221 (1)求抛物线方程； (2)过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标． 【解】　(1)抛物线y2＝2px的准线为x＝－， 于是，4＋＝5，p＝2. 所以抛物线方程为y2＝4x. (2)因为点A的坐标是(4,4)， 由题意得B(0,4)，M(0,2)． 又F(1,0)，所以kAF＝. 因为MN⊥FA，所以kMN＝－. 则FA的方程为y＝(x－1)， MN的方程为y＝－x＋2. 解方程组得 所以N .