2019年高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 课时分层作业 四十九 8.5.1 椭圆的概念及其性质 文.doc

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2019年高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 课时分层作业 四十九 8.5.1 椭圆的概念及其性质 文 一、选择题(每小题5分,共35分) 1.椭圆x2+4y2=1的离心率为 (　　) A. B. C. D. 【解析】选A.因为椭圆方程化为x2+=1, 所以c==,离心率e==. 2.设P是椭圆+=1上的点.若F1,F2是椭圆的两个焦点,则|PF1|+|PF2|等于 (　　) A.4 B.5 C.8 D.10 【解析】选D.由椭圆的第一定义知|PF1|+|PF2|=2a=10. 3.已知动点P(x,y)与两点A1(-2,0),A2(2,0)的连线斜率之积为=-,则点P(x,y)的轨迹方程为 (　　) A.+=1(y≠0) B.+=1(y≠0) C.+y2=1(y≠0) D.+=1(y≠0) 【解析】选B.因为==-,整理得+=1.又因为点P不能在x轴上,所以y≠0. 【变式备选】若过椭圆的一个焦点作长轴的垂线,交椭圆于两点P,Q,线段PQ的长度为2,椭圆的一个焦点是(2,0),则椭圆的标准方程是_________. 【解析】由题意可知,=2,c=2,又因为a2=b2+c2,解得a2=80,b2=20, 所求椭圆的标准方程为+=1. 答案:+=1 4.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是 (　　) A. B. C. D. 【解析】选B.设长轴为2a,短轴为2b,焦距为2c, 则2a+2c=22b, 即a+c=2b⇒(a+c)2=4b2=4(a2-c2), 整理得:5c2+2ac-3a2=0,即5e2+2e-3=0⇒e=或e=-1(舍). 5.已知圆C1:x2+2cx+y2=0,圆C2:x2-2cx+y2=0,椭圆C:+=1(a>b>0),若圆C1,C2都在椭圆内或椭圆上,则椭圆离心率的取值范围是 (　　) A. B. C. D. 【解析】选B.由于椭圆上点到焦点的距离最小值为a-c,所以圆C1,C2都在椭圆内等价于2c≤a,所以0<≤.即椭圆离心率的取值范围是. 【变式备选】已知椭圆+=1(a>b>0)的右焦点F和点A,在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F,则椭圆离心率的取值范围是 (　　) A. B. C.[-1,1) D. 【解析】选D.由题意,椭圆上存在点P,使得线段AP的垂直平分线过点F,即F点到P点与A点的距离相等,而|FA|=-c=,|PF|∈[a-c,a+c]. 于是∈[a-c,a+c]. 即ac-c2≤b2≤ac+c2, 所以 又e∈(0,1),故e∈. 6.若点O和点F分别为椭圆+=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则的最大值为 (　　) A.2 B.3 C.6 D.8 【解析】选C.由题意,F(-1,0),设点P(x0,y0), 则有+=1,解得=3, 因为=(x0+1,y0),=(x0,y0), 所以=x0(x0+1)+⇒=x0(x0+1)+3=+x0+3,此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0=-2,因为-2≤x0≤2,所以当x0=2时,取得最大值+2+3=6. 7.已知椭圆+=1(a>b>0)上的动点到焦点的距离的最小值为-1.以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+=0相切,则椭圆C的方程为 (　　) A.+=1 B.+=1 C.+y2=1 D.+=1 【解析】选C.由题意知a-c=-1,又b==1,由得a2=2,b2=1, 故c2=1,椭圆C的方程为+y2=1. 二、填空题(每小题5分,共15分) 8.若椭圆的方程为+=1,且此椭圆的焦距为4,则实数a=________. 【解析】由题可知c=2.①当焦点在x轴上时,10-a-(a-2)=22,解得a=4.②当焦点在y轴上时,a-2-(10-a)=22,解得a=8.故实数a=4或8. 答案:4或8 【变式备选】已知F1,F2是椭圆C:+=1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆C上一点,且⊥.若△PF1F2的面积为9,则b=________. 【解析】因为⊥,所以∠F1PF2=90, 所以△F1PF2为直角三角形. 所以|PF1|2+|PF2|2=(2c)2. 又因为|PF1|+|PF2|=2a, 所以|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1||PF2|, 即(2c)2=(2a)2-4|PF1||PF2|, =|PF1||PF2|=9. 所以4c2=4a2-49=0, 所以4b2=49.所以b=3. 答案:3 9.椭圆的中心在坐标原点O,右顶点A2,上顶点B2,下顶点B1,左右焦点分别为F1, F2(直线B1F2与直线A2B2交于P点),若∠B1PA2为钝角,则此椭圆的离心率的取值范围为________. 【解析】设椭圆的方程为+=1(a>b>0),∠B1PA2为钝角可转化为,所夹的角为钝角,则(a,-b)(-c,-b)<0,即b20,即e2+e-1>0,e>或e<,又0b>0)的右焦点,直线y=与椭圆交于B,C两点,且∠BFC=90,则该椭圆的离心率等于________. 【解析】将y=代入椭圆的标准方程,得+=1, 所以x=a,故B,C. 又因为F(c,0), 所以=, =. 因为∠BFC=90,所以=0, 所以+=0, 即c2-a2+b2=0,将b2=a2-c2代入并化简,得a2=c2,所以e2==, 所以e=(负值舍去). 答案: 1.(5分)椭圆C:+=1的左、右顶点分别为A1,A2,点P在椭圆C上且直线PA2斜率的取值范围是[-2,-1],那么直线PA1斜率的取值范围是 (　　) A. B. C. D. 【解析】选B.利用直线PA2斜率的取值范围确定点P变化范围的边界点,再利用斜率公式计算直线PA1斜率的边界值.由题意可得A1(-2,0),A2(2,0),当PA2的斜率为-2时,直线PA2的方程为y=-2(x-2),代入椭圆方程,消去y化简得19x2-64x +52=0,解得x=2或x=.由点P在椭圆上得点P,此时直线PA1的斜率k=.同理,当直线PA2的斜率为-1时,直线PA2方程为y=-(x-2),代入椭圆方程,消去y化简得7x2-16x+4=0,解得x=2或x=.由点P在椭圆上得点P,此时直线PA1的斜率k=.数形结合可知,直线PA1斜率的取值范围是. 【巧思妙解】选B.利用结论“椭圆上任意点P与长轴端点A1,A2的连线斜率的乘积为定值,即=-”因为=-,∈,所以∈. 2.(5分)设P,Q分别为圆x2+(y-6)2=2和椭圆+y2=1上的点,则P,Q两点间的最大距离是 (　　) A.5 B.+ C.7+ D.6 【解析】选D.设圆心为M(0,6),Q(x,y), 则= ==,因为-1≤y≤1,所以≤5,当且仅当y=-时取等号.所以P,Q两点间的最大距离是5+=6. 3.(5分)已知椭圆的焦点在x轴上,一个顶点为A(0,-1),其右焦点到直线x-y+2=0的距离为3,则椭圆的方程为____________. 【解析】据题意知b=1,故可设椭圆方程为+y2=1.设右焦点为(c,0)(c>0),它到已知直线的距离为=3,解得c=,所以a2=b2+c2=3,故椭圆的方程为+ y2=1. 答案:+y2=1 4.(12分)已知椭圆+=1内有两点A(1,3),B(3,0),P为椭圆上一点,求|PA|+|PB|的最大值和最小值. 【解析】如图,椭圆的右焦点为B,设椭圆的左焦点为D,因为|PA|+|PB|=|PA|+2a-|PD|≤2a+|AD|=25+5=15,所以所求的最大值是15. 此时点P在F点处, 又-≥-, 所以+≥2a-=25-5=5, 此时点P在E点处. 综上所述:所求最大值为15,最小值为5. 【变式备选】已知椭圆+=1的左右焦点分别为F1,F2,过F1的直线l交椭圆于A,B两点,则||+||的最大值为________. 【解析】由椭圆的定义可知||+|| =4a-≤4a-=43-=8. 答案:8 5.(13分)如图,在平面直角坐标系xOy中,F1,F2分别是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,顶点B的坐标为(0,b),连接BF2并延长交椭圆于点A,过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C,连接F1C. (1)若点C的坐标为,且BF2=,求椭圆的方程. (2)若F1C⊥AB,求椭圆离心率e的值. 【解析】(1)因为C,所以+=1. 因为B=b2+c2=a2,所以a2==2, 所以b2=1,所以椭圆方程为+y2=1. (2)设焦点F1(-c,0),F2(c,0),C(x,y), 因为A,C关于x轴对称,所以A(x,-y), 因为B,F2,A三点共线, 所以=,即bx-cy-bc=0①, 因为F1C⊥AB,所以=-1, 即xc-by+c2=0②, ①②联立方程组,解得 所以C 因为C在椭圆上,所以+=1, 化简得5c2=a2,所以=,故离心率为.