2019-2020年高三数学第一轮复习章节测试6-5 北师大版.doc

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2019-2020年高三数学第一轮复习章节测试6-5 北师大版 一、选择题 1．如果数列{an}的前n项和Sn＝(9n－4n)(n∈N*)，那么这个数列(　　) A．是等差数列而不是等比数列 B．是等比数列而不是等差数列 C．既是等差数列又是等比数列 D．既不是等差数列又不是等比数列 [答案]　B [解析]　Sn＝n－1符合Sn＝Aqn－A的特征，故该数列为等比数列． 2．数列{an}的前n项和Sn＝n2－2n－1，则a3＋a17等于(　　) A．15 B．17 C．34 D．398 [答案]　C [解析]　a3＝S3－S2＝(32－23－1)－(22－22－1)＝3. a17＝S17－S16＝(172－217－1)－(162－216－1)＝31， ∴a3＋a17＝34. 3．某种细胞开始时有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，…，按照此规律，6小时后细胞存活数是(　　) A．33 B．64 C．65 D．127 [答案]　B [解析]　每一小时后细胞变为前一小时细胞数的2倍减1,4小时后为17个，5小时后为33个，6小时后为65个． 4．(xx黄冈模拟)小正方形按照如图的规律排列： 每个图中的小正方形的个数就构成一个数列{an}，有以下结论： ①a5＝15； ②数列{an}是一个等差数列； ③数列{an}是一个等比数列； ④数列的递推公式为：an＋1＝an＋n＋1(n∈N*)． 其中正确的命题序号为(　　) A．①② B．①③ C．①④ D．① [答案]　C [解析]　当n＝1时，a1＝1；当n＝2时，a2＝3；当n＝3时，a3＝6；当n＝4时，a4＝10，…，观察图中规律，有an＋1＝an＋n＋1，a5＝15.故①④正确． 5．△ABC中，tanA是以－4为第三项，－1为第七项的等差数列的公差，tanB是以为第三项，4为第六项的等比数列的公比，则该三角形的形状是(　　) A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．等腰直角三角形 D．以上均错 [答案]　B [解析]　由题意知：tanA＝＝>0. tan3B＝＝8，∴tanB＝2>0， ∴A、B均为锐角． 又∵tan(A＋B)＝＝－<0， ∴A＋B为钝角，即C为锐角， ∴△ABC为锐角三角形． 6．在正项数列{an}中，a1＝2，点(，)(n≥2)在直线x－y＝0上，则数列{an}的通项公式an为(　　) A．2n－1 B．2n－1＋1 C．2n D．2n＋1 [答案]　C [解析]　据题意得－＝0，即an＝2an－1，所以an＝22n－1＝2n. 7．编辑一个运算程序：1&1＝2，m&n＝k，m&(n＋1)＝k＋3(m、n、k∈N*)，1&xx的输出结果为(　　) A．xx B．xx C．4008 D．6011 [答案]　D [解析]　由已知m&(n＋1)－m&n＝3可得，数列{1&n}是首项为1&1＝2，公差为3的等差数列，∴1&xx＝2＋(xx－1)3＝6011.应选D. 8．下表给出一个“直角三角形数阵” ， ，， …… 满足每一列成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且诸行的公比都相等，记第i行，第j列的数列为aij(i≥j，i，j∈N)，则a83等于(　　) A. B. C. D．1 [答案]　C [解析]　由已知在第一列构成的等差数列中，首项为，公差为，∴a81＝＋(8－1)＝2 在每行构成的等比数列中公比q＝， ∴a83＝2()2＝. 二、填空题 9．已知m、n、m＋n成等差数列，m、n、mn成等比数列，则椭圆＋＝1的离心率为________． [答案]　 [解析]　由2n＝2m＋n和n2＝m2n可得m＝2，n＝4， ∴e＝＝. 10．已知α∈(0，)∪(，π)，且sinα，sin2α，sin4α成等比数列，则α的值为________． [答案]　 [解析]　由题意，sin22α＝sinαsin4α， ∴sin22α＝2sinαsin2αcos2α， 即sin2α＝2sinαcos2α， ∴2sinαcosα＝2sinαcos2α，即cosα＝cos2α， ∴2cos2α－1＝cosα，∴(2cosα＋1)(cosα－1)＝0. 解得cosα＝1(舍去)或cosα＝－，∴α＝. 11．(文)(xx江苏卷)函数y＝x2(x>0)的图像在点(ak，ak2)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak＋1，其中k∈N*，若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是________． [答案]　21 [解析]　本题主要考查了导数的几何意义及等比数列的知识，要求数列的和，关键在于确定ak与ak＋1之间的关系，再利用数列的相关知识求解． ∵y′＝2x，∴过点(ak，ak2)的切线方程为y－ak2＝2ak(x－ak)，又该切线与x轴的交点为(ak＋1,0)，所以ak＋1＝ak，即数列{ak}是等比数列，首项a1＝16，其公比q＝，∴a3＝4，a5＝1，∴a1＋a3＋a5＝21. (理)如图，“杨辉三角”中从上往下数共有n(n>7，n∈N)行，设其第k(k≤n，k∈N*)行中不是1的数字之和为ak，由a1，a2，a3，…组成的数列{an}的前n项和是Sn.现在下面四个结论：①a8＝254；②an＝an－1＋2n；③S3＝22；④Sn＝2n＋1－2－2n. 1　1 1　2　1 1　3　3　1 1　4　6　4　1 …　…　…　… 其中正确结论的序号为________．(写出所有你认为正确的结论的序号) [答案]　①④ [解析]　由已知得an＝Cn0＋Cn1＋Cn2＋…＋Cnn－2 ＝(1＋1)n－2＝2n－2， ∴a8＝28－2＝256－2＝254，①正确； an－an－1＝2n－2－2n－1＋2＝2n－1≠2n，②不正确； ∵Sn＝2－2＋22－2＋…＋2n－2＝－2n＝2n＋1－2n－2， ∴S3＝24－6－2＝8≠22，③不正确，④正确． ∴①④正确． 三、解答题 12．已知数列{an}是公差d≠0的等差数列，记Sn为其前n项和． (1)若a2、a3、a6依次成等比数列，求其公比q. (2)若a1＝1，证明点P1，P2，…，Pn(n∈N*)在同一条直线上，并写出此直线方程． [解析]　(1)∵a2、a3、a6依次成等比数列， ∴q＝＝＝＝＝3，即公比q＝3. (2)证明：∵Sn＝na1＋d， ∴＝a1＋d＝1＋d. ∴点Pn在直线y＝1＋d上． ∴点P1，P2，…，Pn(n∈N*)都在过点(1,1)且斜率为的直线上． 此直线方程为y－1＝(x－1)． 13．(xx福建文)数列{an}中，a1＝.前n项和Sn满足Sn＋1－Sn＝()n＋1(n∈N*)． (1)求数列{an}的通项公式an以及前n项和Sn； (2)若S1，t(S1＋S2)，3(S2＋S3)成等差数列，求实数t的值． [解析]　本小题主要考查数列，等差数列，等比数列等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，化归与转化思想． (1)由Sn＋1－Sn＝()n＋1得an＋1＝()n＋1(n∈N*) 又a1＝，故an＝()n(n∈N*) 从而Sn＝＝[1－()n](n∈N*) (2)由(1)可得S1＝，S2＝，S3＝ 从而由S1，t(S1＋S2)，3(S2＋S3)成等差数列可得 ＋3(＋)＝2(＋)t，解得t＝2. 14．(xx湖北文)已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为a(单位：m2)，其中有部分旧住房需要拆除．当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10%建设新住房，同时也拆除面积为b(单位：m2)的旧住房． (1)分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式； (2)如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了30%，则每年拆除的旧住房面积b是多少？(计算时取1.15＝1.6) [解析]　本小题主要考查阅读资料，提取信息，建立数学模型的能力，同时考查运用所学知识分析和解决实际问题的能力． (1)第1年末的住房面积a－b＝(1.1a－b)(m2) 第2年末的住房面积(a－b)－b＝a()2－b(1＋)＝(1.21a－2.1b)(m2) (2)第3年末的住房面积 －b ＝a3－b 第4年末住房面积为： a()4－b. 第5年末住房面积为： a()5－b＝1.6a－6b 依题意可得，1.6a－6b＝1.3a，解得b＝，所以每年拆除的旧房面积为(m2)． 15．某企业投资1000万元于一个高科技项目，每年可获利25%.由于企业间竞争激烈，每年年底需要从利润中取出资金200万元进行科研、技术改造与广告投入，方能保持原有的利润增长率，问经过多少年后，该项目资金可以达到或超过翻两番(4倍)的目标？(取lg2＝0.3) [解析]　设该企业逐年的项目资金依次为a1，a2，a3，…，an，则由已知an＋1＝an(1＋25%)－200(n∈N*)，即an＋1＝an－200， 令an＋1－x＝(an－x)， 即an＋1＝an－x， 由＝200，得x＝800， ∴an＋1－800＝(an－800)(n∈N*)， 故{an－800}是以a1－800为首项，为公比的等比数列． ∵a1＝1000(1＋25%)－200＝1050， ∴a1－800＝250 ∴an－800＝250n－1， ∴an＝800＋250n－1(n∈N*)． 由题意an≥4000， ∴800＋250n－1≥4000， 即n≥16， ∴nln≥lg16，即n(1－3lg2)≥4lg2， ∵lg2＝0.3，∴0.1n≥1.2，故n≥12. 答：经过12年后，该项目资金可以翻两番． 教师备课平台 一、函数与方程的思想在数列中的应用 在数列中，数列本身就是一种函数．这种函数的定义域是N＋(或其子集)，从而表现在图像上就是孤立的点．数列具有单调性，如等差数列(除去公差为0的情况)，等比数列(如a1>0，q>1)．因此研究数列问题，可以类比函数的一些性质来研究，用运动变化的观点来研究，例如数列中求某项的范围问题，某个字母的范围问题、最值问题等就可以利用函数思想，转化成求函数值域问题，或解不等式．在等差、等比数列问题中，已知五个基本量中的几个，求另几个时，往往是设出基本量，建立方程或方程组来解决问题．但需注意数列看作函数时的定义域与一般函数定义域的区别． [例1]　已知数列{an}的前n项和为Sn ，点(n，Sn)在函数f(x)＝2x－1的图像上，数列{bn}满足bn＝log2an－12(n∈N*)． (1)求数列{an}的通项公式an； (2)当数列{bn}的前n项和最小时，求n的值； (3)设数列{bn}的前n项和为Tn ，求不等式Tn1进行讨论，这需认真审题弄清题意，切实做到分类讨论时不漏不重，合情合理．已知Sn求an时，需对n＝1与n≥2两种情况进行讨论．最后需进行验证，能否将通项公式写为一个通式．若能，则写为一个通式；若不能，则需写成分段函数的形式． [例3]　设等比数列{an}的公比为q，前n项和Sn>0(n＝1,2，…)． (1)求q的取值范围； (2)设bn＝an＋2－an＋1，记{bn}的前n项和为Tn，试比较Sn和Tn的大小． [解析]　(1)因为{an}是等比数列，Sn>0， 可得a1＝S1>0，q≠0. 当q＝1时，Sn＝na1>0； 当q≠1时，Sn＝>0，∴>0. ∴或. ∴－11. 综上所述，q>－1且q≠0. (2)由bn＝an＋2－an＋1得bn＝an， ∴Tn＝Sn ∴Tn－Sn＝Sn＝Sn(q－2)， ∴当－12时，Tn>Sn； 当－a2>a3>a4，a5>a6>a7>…， 且当n≤4时，an<1；当n>4时，an>1， ∴最大项为a5＝3，最小项为an＝－1. 四、定义的应用 深刻理解等差、等比数列的定义，能正确运用定义和等差、等比数列的性质，是学好本板块的关键．在正确理解定义的基础上，要认真分析等差数列、等比数列定义中所蕴含的各自的特点，不要被某些问题的表面现象所迷惑，特别是一些与定义有关的题目，可能会在关键词部位做手脚，使人产生错觉而出错． [例5]　已知数列{an}的前n项和为Sn，又有数列{bn}，它们满足关系b1＝a1，对n∈N＋，有an＋Sn＝n，bn＋1＝an＋1－an. 求证：数列{bn}是等比数列，并写出它的通项公式． [解析]　当n＝1时，a1＝S1，故a1＝b1＝. 当n≥2时，an＋Sn＝n，an＋1＋Sn＋1＝n＋1，两式相减得2an＋1－an＝1① 将①中的n换为n－1，有 2an－an－1＝1② 由①－②得 2(an＋1－an)－(an－an－1)＝0(n≥2)， 即2bn＋1＝bn(n≥2)， 于是＝(n≥2)． 又由a2＋S2＝2，得a2＝，b2＝a2－a1＝， 于是＝.所以 ＝(n∈N＋)． 因此，数列{bn}是等比数列，公比q＝，通项公式为bn＝(n∈N＋)．