2019-2020年高三数学一轮复习 专项训练 平面向量及其坐标表示（含解析）.doc

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2019-2020年高三数学一轮复习 专项训练 平面向量及其坐标表示（含解析） 1、如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，已知＝c，＝d，试用c，d表示，. 解：设＝a，＝b， 则a＝＋＝d＋，① b＝＋＝c＋.② 将②代入①，得a＝d＋， ∴a＝d－c＝(2d－c)，③ 将③代入②，得b＝c＋(2d－c)＝(2c－d)． ∴＝(2d－c)，＝(2c－d)． 2、在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点，若A＝λ＋μ，则λ＋μ＝(　　)． 　A. B. C. D. 解析　因为＝＋＝＋＝＋(＋)＝2＋＋＝2－－，所以＝－，所以λ＋μ＝. 答案　D 3．若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则＋的值为________． 解析　＝(a－2，－2)，＝(－2，b－2)， 依题意，有(a－2)(b－2)－4＝0， 即ab－2a－2b＝0，所以＋＝. 答案　 4．已知向量＝(3，－4)，＝(0，－3)，＝(5－m，－3－m)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m满足的条件是________． 解析　由题意得＝(－3,1)，＝(2－m,1－m)，若A，B，C能构成三角形，则，不共线，则－3(1－m)≠1(2－m)，解得m≠. 答案　m≠ 6．(xx江苏卷)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1 ＋λ2 (λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________． 解析　＝＋＝＋＝＋(＋)＝－＋，所以λ1＝－，λ2＝， 即λ1＋λ2＝. 答案　 7. 如图所示，A，B，C是圆O上的三点，CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外一点D，若＝m ＋，则m＋n的取值范围是(　　)． A．(0,1) 　　　 B．(1，＋∞) C．(－∞，－1) 　　　D．(－1,0) 解析　由点D是圆O外一点，可设＝λ (λ＞1)，则 ＝＋λ ＝λ ＋(1－λ). 又C，O，D三点共线，令＝－μ (μ＞1)， 则＝－－(λ＞1，μ＞1)，所以m＝－，n＝－，且m＋n＝－－＝－∈(－1,0)． 答案　D 考点：平面向量的坐标运算 1、已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b. (1)求3a＋b－3c； (2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n； (3)求M，N的坐标及向量的坐标． 解　由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)． (1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)＝(5，－5)， ∴解得 (3)设O为坐标原点，∵＝－＝3c， ∴＝3c＋＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)， ∴M的坐标为(0,20)． 又＝－＝－2b， ∴＝－2b＋＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)， ∴N的坐标为(9,2)， ∴＝(9－0,2－20)＝(9，－18)． 2、已知平面向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则向量a－b＝ (　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．(－2，－1) B．(－2,1) C．(－1,0) D．(－1,2) 解析　(1)a＝，b＝， 故a－b＝(－1,2)． 3、在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若＝(2,4)，＝(1,3)，则＝(　　)． A．(－2，－4) B．(－3，－5)C．(3,5) D．(2,4) 解析：由题意得＝－＝－＝(－)－＝－2＝(1,3)－2(2,4)＝(－3，－5)． 答案：B 考点：平面向量共线的坐标表示 1、平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)． (1)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k； (2)若d满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝，求d的坐标． 审题路线　(1)分别求出(a＋kc)与(2b－a)的坐标⇒利用向量平行的充要条件列方程⇒解关于k的方程；(2)设d的坐标⇒根据已知条件列出方程组⇒解方程组，得到d的坐标． 解　(1)a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)， 由题意得2(3＋4k)－(－5)(2＋k)＝0， 解得k＝－. (2)设d＝(x，y)，则d－c＝(x－4，y－1)， 又a＋b＝(2,4)，|d－c|＝， ∴解得或 ∴d的坐标为(3，－1)或(5,3)． 2、（1）已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ＝ (　　)． A. B. C．1 D．2 (2)已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三个顶点A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D的坐标为________． 解析　(1)由于a＋λb＝(1＋λ，2)，故(a＋λb)∥c⇒4(1＋λ)－6＝0，解得λ＝，故选A. (2)∵在梯形ABCD中，DC＝2AB，∴＝2 . 设点D的坐标为(x，y)，则 ＝(4,2)－(x，y)＝(4－x,2－y)， ＝(2,1)－(1,2)＝(1，－1)， ∴(4－x,2－y)＝2(1，－1)，即(4－x,2－y)＝(2，－2)， ∴解得故点D的坐标为(2,4)． 答案　(1)A　(2)(2,4) 3．设e1，e2是平面内一组基底，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为另一组基底a，b的线性组合，即e1＋e2＝________a＋________b. 解析　由题意，设e1＋e2＝ma＋nb. 又a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，所以e1＋e2＝m(e1＋2e2)＋ n(－e1＋e2)＝(m－n)e1＋(2m＋n)e2. 又e1，e2是平面内一组基向量， 所以则 答案　　－ 4．已知向量a＝，b＝(x,1)，其中x>0，若(a－2b)∥(2a＋b)，则x＝________. 解析　a－2b＝，2a＋b＝(16＋x，x＋1)， 由题意得(8－2x)(x＋1)＝(16＋x)， 整理得x2＝16，又x>0，所以x＝4. 答案　4 5.已知点A(－1,5)和向量a＝(2,3)，若＝3a，则点B的坐标为(　　)． A．(7,4) B．(7,14) C．(5,4) D．(5,14) 解析　设点B的坐标为(x，y)，则＝(x＋1，y－5)． 由＝3a，得解得 答案　D 6. 如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，＝x ＋y ，且＝2 ，则(　　)． A．x＝，y＝ B．x＝，y＝ C．x＝，y＝ D．x＝，y＝ 解析　由题意知＝＋，又＝2 ，所以＝＋＝＋(－)＝＋，所以x＝，y＝. 答案　A 7．已知向量a＝(－1,1)，b＝(3，m)，a∥(a＋b)，则m＝(　　)． A．2 B．－2 C．－3 D．3 解析　a＋b＝(2，m＋1)，由a∥(a＋b)，得(－1)(m＋1)－21＝0，解得m＝－3. 答案　C 8．在△ABC中，点P在BC上，且＝2P，点Q是AC的中点，若＝(4,3)，＝(1,5)，则等于(　　)． A．(－2,7) B．(－6,21) C．(2，－7) D．(6，－21) 解析　＝3 ＝3(2 －)＝6 －3 ＝(6,30)－(12,9)＝(－6,21)． 答案　B 9．已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？ 解　ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)， a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)， ∵ka＋b与a－3b平行， ∴(k－3)(－4)－10(2k＋2)＝0，解得k＝－， 此时ka＋b＝＝－(a－3b)． ∴当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，并且反向． 10．已知点O为坐标原点，A(0,2)，B(4,6)，＝t1 ＋t2 . (1)求点M在第二或第三象限的充要条件； (2)求证：当t1＝1时，不论t2为何实数，A，B，M三点都共线． (1)解　＝t1＋t2＝t1(0,2)＋t2(4,4)＝(4t2,2t1＋4t2)．当点M在第二或第三象限时，有 故所求的充要条件为t2＜0且t1＋2t2≠0， (2)证明　当t1＝1时，由(1)知＝(4t2,4t2＋2)． ∵＝－＝(4,4)， ＝－＝(4t2,4t2)＝t2(4,4)＝t2 ， ∴与共线，又它们有公共点A， ∴A，B，M三点共线． 11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，则角C的大小为(　　)． A．30 B．60 C．90 D．120 解析　由p∥q，得(a＋c)(c－a)＝b(b－a)， 整理得b2＋a2－c2＝ab， 由余弦定理得cos C＝＝， 又00，b>0，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则＋的最小值为________． 解析　＝－＝(a－1,1)，＝－＝(－b－1,2)．∵A，B，C三点共线， ∴∥. ∴2(a－1)－(－b－1)＝0， ∴2a＋b＝1. ∴＋＝(2a＋b) ＝4＋＋≥4＋2 ＝8. 当且仅当＝，即b＝，a＝时取等号． ∴＋的最小值是8. 答案　8