2019-2020年高考数学 平面几何例讲解答竞赛.doc

《2019-2020年高考数学 平面几何例讲解答竞赛.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019-2020年高考数学 平面几何例讲解答竞赛.doc（7页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

2019-2020年高考数学 平面几何例讲解答竞赛 基本内容：五心性质；共点线与共线点；共圆点；托勒密定理；西摩松定理； 斯特瓦特定理；面积方法；几何变换；根轴与反演。 1、如图，四边形中，，自对角线的交点，作于，线段交于，交于，是线段上的任意一点. 证明：点到线段的距离等于到线段、的距离之和. 证：易知，四边形共圆，共圆，因此， . 即平分；又由共圆，得，即 平分. 设于，于， 于，过点作，交于，交于；过点作 ，交于，交于；再作于于，则由平行线及角平分线的性质得，. 为证，只要证 . 由平行线的比例性质得，，因此 ，由于与的对应边平行，且平分，故是的平分线. 从而 ，即所证结论成立. 2、在中，,内心为，内切圆在边上的切点分别为、, 设是关于点的对称点，是关于点的对称点.求证：四点共圆. 证：设直线交的外接圆于点，易知是的中点。记的中点为，则．设点在直线上的射影为， 由于则半周长， 于是， 又， 所以∽，且相似比为2， 熟知；。又∽， 所以，即是的中点 进而，， 所以都在以为圆心的同一个圆周上． 3、如图，△中，分别是边 上的点，在的延长线上分别取点，使 ；点分别是△，△的垂心. 证明：. 证：如图，设线段的中点分别为，则也是的中点，据中位线知，在△中，∥，； 在△中，∥，，即∥，， 所以△:△，且∥，. 为证，只要证. 以为圆心，为直径作，其半径记为；以为圆心，为直径作，其半径记为，设直线交于，交于，由于点是△的垂心，则，， 所以共圆，故有 … … 另一方面，由于可知，在上，在上，从而，因此化为， 即 … … 又设直线交于，交于，由于点是△的垂心，，则，，所以共圆，故有 … … 再由 可知，在上，在上，从而 ，因此化为， 即 … … 据、得，，所以 ，而∥，所以 . 4、如图，⊙O1、⊙O2、⊙O3分别外切⊙O于A1、B1、C1，并且前三个圆还分别与△ABC的两条边相切. 求证：三条直线AA1、BB1、CC1相交于一点. 证明：设及分别是四个圆的圆心，其半径分别为与，的内切圆半径为，显然，为的三条内角平分线，故相交于其内心.设（定值）. 记，，对于，因为⊙O 与的切点在连心线上，点在的延长线上，则直线必与线段相交，其交点设为. 同理可设，直线 .只须证重合. 直线截于，由梅尼劳斯定理，， 即 同理有 ,以及 易知 ，所以 ，从而 ，故 ，所以， ，因此共点，即交于一点. 5、四边形内接于，，是的切线（为切点）；证明：三线共点． 证明：以为基本线，设， ，只要证，共点； 因为， ，只要证，， 即要证，； 因为∽,∽,∽,∽, 故分别得到，，，，； 所以， 因此结论得证． 6、四边形内接于，，，是的切线（为切点）；证明： （）四点共线； （）是的垂心． 证明：（）、据上题，三点共线，只要证，点在上，以为基本线，且设； 则，；只要证，， 即要证，，即 ． 因为∽,∽,∽,∽, 则 ，，，； 相乘得，，故结论得证． （）因是的切线，则垂直平分，而四点共线，则 ，据的对称性，有（因为，若自引的切线，类似可得，共线，垂直平分，所以）；因此，点为 的垂心．（同时，点也是的垂心）． 7、中，是角平分线上的任一点，分别是 延长线上的点，且∥，∥； 若分别是的中点； 证明：． 证：如图，延长，分别与交于 ，注意关于顶点的等高性及等角性，由面积比定理，，（记号表示面积），所以 …… ① 又由∥，∥，得 ，，所以 ……②，由①、②得，即 ……③． 取的中点，据中位线知，∥,,∥,． 由③，，作角分线，则，因∥，∥，所以其角分线∥，因，得． 8、已知、分别是的外接圆和内切圆； 证明：过上的任意一点，都可作一个三角形，使得、分别是的外接圆和内切圆． 证：如图，设，分别是的外接圆和内切圆半径，延长交于，则，，延长交于；则 ，即； 过分别作的切线，在上，连，则平分，只要证，也与相切； 设，则是的中点，连，则 ，， ， 所以， 由于在角的平分线上，因此点是的内心， （这是由于，，而 ，所以，点是的内心）．即弦与相切． 9、如图，四边形内接于，而与外切于点，且都内切于，若对角线分别是、的内、外公切线； 证明：点是的内心． 证：先证引理：若内切于，的弦切 于，延长交于，则是的中点，且 ． 　如图，作两圆的公切线，因是的切线，则 ，而 ，所以，即是的中点， 又由:，得到． 回到本题，设，分别切于，切于，据引理知直线过的中点，则，而，， 所以，故在，的根轴上，即在内公切线上，所以与重合，即是的中点，故平分；又由， 得，于是 ，即 ， 而，所以，因此平分，从而是的内心． 10、锐角三角形中，，在边上分别有动点，试确定，当取得最小值时的面积． 解：对于任一个内接，暂将固定，而让在上移动，设的中点为，则由中线长公式， ，因此在固定后，欲使取得最小值，当使达最小，但是为上的定点，则当时，达最小，再对作同样的讨论，可知，当 取得最小值时，的三条中线必定垂直于三角形的相应边；今设重心为，面积为，的面积为，则 …… 由于分别共圆，则 ，故由， ，同除以 ，得，所以 ，……，又由 ，即，所以，因而 ． （其中） 11、如图，的外心为，是的中点，直线交于，点分别是的外心与内心，若， 证明：为直角三角形. 证：由于点皆在的中垂线上，设直线交于，交于，则是的中点，是的中点; 因是的内心，故共线，且. 又 是的中垂线，则，而为的内、外角平分线，故有，则为的直径，所以，，又因 ，则. 作于，则有， ，且，所以，，故得 ，因此，是的中位线，从而 ∥，而，则.故为直角三角形． 证二：记，因是的中垂线，则，由条件 延长交于，并记，则，对圆内接四边形用托勒密定理得，即，由、得，所以， 即是弦的中点，而为外心，所以，故为直角三角形． 12、试证费尔巴赫定理： 三角形的内切圆，内切于其九点圆；而其三个旁切圆皆与九点圆相外切． 证：若为等腰三角形，显然其内切圆在底边中点处与九点圆内切； 只须考虑的三边不等时的情况，如图所示，设边的中点分别为，内切圆切这三边于，，过作的切线交于，为切点，连，则点关于线对称，所以，作于，连，，，设，是的中位线，， 因 ，所以 ……， 又由∥，得，因，则共圆， ，所以，得，因此 ……，即；又 ，所以 ，故共圆，，而在中， ，所以 …… 因中位线∥，，是直角三角形的斜边中点，则 ，在中，，得 …， 由得，，故共圆，而过点、、的圆即是的九点圆，即在九点圆上，因此是的内切圆与九点圆的公共点； 再证，这两圆在点处相切：过作内切圆的切线（点和点在直线的同侧），与同是的切线，则，因共圆，， 故，从而与的外接圆相切于点，即与的九点圆相切于点．所以是两圆的公切线，因此三角形的内切圆，内切于其九点圆． （用类似的方法可证得旁切圆与九点圆相切．采用结构转换方法，先将旁切圆情形下的相应点的符号以及辅助线仿照内切圆情况给出，再将证明移植） 今考虑旁切圆情况，不妨设，为边外的旁切圆，为的中点，若，则显然与九点圆切于的中点； 若，如图，设切于，角分线， 于，过作的切线，交于，为切点，连，则垂直平分，所以；是的中位线， ，又因 ， 所以 ……， 又由∥，得，因 ，则共圆， ，所以，得，因此 ……，即；又 ，所以 ，故共圆， ，因为中位线∥，，而是直角三角形斜边的中点，，所以，故得，，所以共圆， 而过点、、的圆即是的九点圆，即在九点圆上，因此是的旁切圆与九点圆的公共点； 再证，这两圆在点处相切：过作旁切圆的切线（在切线上，取点和点在直线的同侧，取点和点在直线的异侧），与同是的切线，则，因共圆，得，所以，即 ，从而与的外接圆相切于点，即与的九点圆相切于点．所以是两圆的公切线，因此三角形的旁切圆，外切于其九点圆．