2019年高考数学一轮复习 第七章 立体几何初步 课时分层作业 四十 7.2 空间几何体的表面积与体积 文.doc

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2019年高考数学一轮复习 第七章 立体几何初步 课时分层作业 四十 7.2 空间几何体的表面积与体积 文 一、选择题(每小题5分,共35分) 1.某几何体的三视图如图所示(图中网格的边长为1个单位),其中俯视图为扇形,则该几何体的体积为 (　　) A. B. C. D. 【解析】选B.由三视图知几何体是圆锥的一部分,由俯视图可得:底面扇形的圆心角为120,又由侧视图知几何体的高为3,底面圆的半径为2,所以几何体的体积V=π223=. 2.已知一个空间几何体的三视图如图所示,其中俯视图是边长为6的正三角形,若这个空间几何体存在唯一的一个内切球(与该几何体各个面都相切),则这个几何体的表面积是 (　　) A.18 B.36 C.45 D.54 【解析】选D.由三视图知,几何体为正三棱柱. 因为俯视图是边长为6的正三角形, 所以几何体的内切球的半径R=6=,所以三棱柱的侧棱长为2. 所以几何体的表面积S=266+362=54. 3.已知某几何体的外接球的半径为,其三视图如图所示,图中均为正方形,则该几何体的体积为(　　) A.16 B. C. D.8 【解析】选C.由该三视图可知:该几何体是一个正方体,切去四个角所得的正四面体,其外接球等同于该正方体的外接球,设正方体的棱长为a,则有=,a=2,故该正四面体的体积为V=23-423=. 【变式备选】已知三棱锥的三视图如图所示,其中侧视图是边长为的正三角形,则该几何体的外接球的体积为 (　　) A. B. C.4 D.16π 【解析】选B.由已知中的三视图,可得该几何体的直观图如图所示: 取AB的中点F,AF的中点E, 由三视图可得:AB垂直平面CDE,且平面CDE是边长为的正三角形,AB=1+3=4, 所以AF=BF=2,EF=1, 所以CF=DF==2, 故F即为棱锥外接球的球心,半径R=2, 故外接球的体积V=πR3=. 4.已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中,底面是边长为2的正方形,高为4,则点A1到截面AB1D1的距离是 (　　) A. B. C. D. 【解析】选C.设点A1到截面AB1D1的距离是h,由=,可得h=AA1,解得h=. 【一题多解】选C.取B1D1的中点E1,连接A1E1,AE1,根据几何体的结构特征,可知,作A1H⊥AE1,垂足为H,A1H⊥平面AB1D1,A1H即为所求.A1E1=,A1A=4,A1A⊥A1E1,A1H=(等面积法). 【变式备选】如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PD⊥底面ABCD,M,N分别为AB,PC的中点,PD=AD=2,AB=4.则点A到平面PMN的距离为____________. 【解析】取PD的中点E,连接AE,NE,则 因为四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,M,N分别为AB,PC的中点, 所以NE∥AM,NE=AM,所以四边形AENM是平行四边形,所以AE∥MN, 所以点A到平面PMN的距离等于点E到平面PMN的距离,设为h,在△PMN中,PN=,PM=2,MN=,所以S△PMN=2=, 由VE-PMN=VM-PEN,可得h=122, 所以h=. 答案: 【方法技巧】求点到平面的距离(1)能作出高线的则直接作出高线,转化为求线段的长度;(2)不能直接求时,①可转化为与平面平行的直线上一点到平面的距离.②或利用等体积法求解. 5.已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90,C为该球面上的动点,若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为 (　　) A.36π B.64π C.144π D.256π 【解析】选C.如图所示,当点C位于垂直于面AOB的直径端点时,三棱锥O-ABC的体积最大,设球O的半径为R,此时VO-ABC=VC-AOB=R2R=R3=36,故R=6,则球O的表面积为S=4πR2=144π. 6.某几何体的三视图如图所示,其内切球的体积为 (　　) A.π B.π C.π D.π 【解析】选A.根据图示可得几何体为正八面体,内切球心为O,过O作OH垂直AD于点H,连接S1H,作OR垂直S1H,OR即为内切球O的半径.所以R=,V0=π. 7.如图,在透明塑料制成的长方体ABCD-A1B1C1D1容器内灌进一些水(未满),现将容器底面一边BC固定在底面上,再将容器倾斜,随着倾斜度的不同,有下列四种说法: ①水的部分始终呈棱柱状; ②水面四边形EFGH的面积为定值; ③棱A1D1始终与水面EFGH平行; ④若E∈AA1,F∈BB1,则AE+BF是定值. 则其中正确命题的个数是 (　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【解析】选C.结合题设中提供的图形信息可知:当容器底面一边BC固定时,BC∥FG∥A1D1,故由线面平行的判定定理可知结论“棱A1D1始终与水面EFGH平行”成立;同时由于四边形ABFE≌四边形DCGH,且互相平行,则由棱柱的定义可知结论“水的部分始终呈棱柱状”正确;如图,由于水平放置时,水的高度是定值,所以当一部分上升的同时,另一面下降相同的高度,因为BF=h-FD,AE=h+D1E且FD=D1E,所以BF+AE=h-FD+h+D1E=2h(定值),即结论“若E∈AA1,F∈BB1,则AE+BF是定值”是正确的;因为水面四边形EFGH的边长在变化,因此其面积是变化的,故结论“水面四边形EFGH的面积为定值”的说法不正确.即命题①③④是正确的. 【题目溯源】本题来源于人教A版必修2P29A组第4题. 【变式备选】水平桌面上放置着一个容积为V的密闭长方体玻璃容器ABCD-A1B1C1D1,其中装有V的水,给出下列操作与结论: ①把容器一端慢慢提起,使容器的一条棱BC保持在桌面上,这个过程中,水的状态始终是柱体; ②在①中的运动过程中,水面始终是矩形; ③把容器提离桌面,随意转动,水面始终过长方体内一个定点; ④在③中的转动中水与容器的接触面积始终不变. 以上说法正确的是__________.(把所有正确命题的序号都填上) 【解析】①水的部分始终呈棱柱状;从棱柱的特征及平面ABFE平行平面DCGH即可判断①正确;如图, ②在①中的运动过程中,水面四边形EFGH的对边始终保持平行,且EF⊥FG,故水面始终是矩形,②是正确的; ③由于始终装有V的水,而平分长方体体积的平面必定经过长方体的中心,即水面始终过长方体内一个定点;所以结论③正确; ④在③中的转动中水与容器接触时,由于水的体积是定值,所以水与容器的接触面的面积是正方体表面积的一半,故始终保持不变,所以④正确. 答案:①②③④ 二、填空题(每小题5分,共15分) 8.如图直三棱柱ABC-A1B1C1的六个顶点都在半径为1的半球面上,AB=AC,侧面BCC1B1是半球底面圆的内接正方形,则侧面ABB1A1的面积为______________. 【解析】由题意知,球心在侧面BCC1B1的中心O上,BC为截面圆的直径,所以 ∠BAC=90,△ABC的外接圆圆心N是BC的中点,同理△A1B1C1的外心M是B1C1的中点.设正方形BCC1B1的边长为x.在Rt△OMC1中,OM=,MC1=,OC1=R=1(R为球的半径), 所以+=1, 即x=,则AB=AC=1, 所以=1=. 答案: 9.(xx浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的表面积是______cm2,体积是________cm3. 【解析】几何体为两个相同长方体组合而成,长方体的长、宽、高分别为4,2,2,所以体积为2(224)=32(cm3),由于两个长方体重叠部分为一个边长为2的正方形,所以表面积为2(222+244)-222=72(cm2). 答案:72　32 10.一个圆锥的表面积为π,它的侧面展开图是圆心角为120的扇形,则该圆锥的高为__________. 【解析】设圆锥底面半径是r,母线长为l,所以πr2+πrl=π,即r2+rl=1,根据圆心角公式π=,即l=3r,所以解得r=,l=,那么高h==. 答案: 【变式备选】已知圆锥侧面展开图的圆心角为90,则该圆锥的底面半径与母线长的比为__________. 【解析】设圆锥的母线长是R,则扇形的弧长是=, 设底面半径是r, 则=2πr, 所以r=, 所以圆锥的底面半径与母线长的比为1∶4. 答案: 1.(5分)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为 (　　) A.18+36 B.54+18 C.90 D.81 【解题指南】根据三视图作出原几何体是关键. 【解析】选B.根据三视图可知原几何体是一个斜四棱柱,上下底面为边长为3的正方形,左右为宽为3,长为3的矩形,前后为底边长为3,且底边上的高为6的平行四边形,所以S=9+9+18+18+9+9=54+18. 2.(5分)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得,则该几何体的体积为 (　　) A.90π B.63π C.42π D.36π 【解析】选B.由三视图知,该几何体为一个底面半径为3,高为4的圆柱和一个底面半径为3,高为6的圆柱的一半,故其体积为V=π326+π324=63π. 3.(10分)已知一个平放的各棱长为4的三棱锥内有一个小球,现从该三棱锥顶端向锥内注水,小球慢慢上浮.当注入的水的体积是该三棱锥体积的时,小球恰与该三棱锥各侧面及水面相切(小球完全浮在水面上方),求小球的表面积. 【解析】由题意,没有水的部分的体积是三棱锥体积的, 因为三棱锥的各棱长均为4,所以三棱锥体积为42=, 所以没有水的部分的体积是, 设其棱长为a,则a2a=, 所以a=2. 设小球的半径为r,则422r=, 所以r=, 所以小球的表面积S=4π=π.