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2019-2020年高三数学一轮复习 专项训练 函数（含解析）
1．记f(x)＝lg(2x－3)的定义域为集合M，函数g(x)＝的定义域为集合N，求：
(1)集合M，N；(2)集合M∩N，M∪N.
解 (1)M＝{x|2x－3>0}＝，
N＝＝＝{x|x≥3，或x<1}．
(2)M∩N＝{x|x≥3}，M∪N＝.
2．二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)在区间[－1,1]上，函数y＝f(x)的图象恒在直线y＝2x＋m的上方，试确定实数m的取值范围．
解 (1)由f(0)＝1，可设f(x)＝ax2＋bx＋1(a≠0)，故f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2ax＋a＋b，由题意，得解得
故f(x)＝x2－x＋1.
(2)由题意，得x2－x＋1>2x＋m，即x2－3x＋1>m，对x∈[－1,1]恒成立．令g(x)＝x2－3x＋1，则问题可转化为g(x)min>m，又因为g(x)在[－1,1]上递减， 所以g(x)min＝g(1)＝－1，故m<－1.
3．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)内单调递减的函数是
( )．
A．y＝x2 B．y＝|x|＋1
C．y＝－lg|x| D．y＝2|x|
解析 对于C中函数，当x>0时，y＝－lg x，故为(0，＋∞)上的减函数，且y＝－lg |x|为偶函数．
答案 C
4、设函数y＝x2－2x，x∈[－2，a]，若函数的最小值为g(a)，求g(a)的表达式。
解析 ∵函数y＝x2－2x＝(x－1)2－1，∴对称轴为直线x＝1.
当－2≤a<1时，函数在[－2，a]上单调递减，则当x＝a时，ymin＝a2－2a；当a≥1时，函数在[－2,1]上单调递减，在[1，a]上单调递增，则当x＝1时，ymin＝－1.
综上，g(a)＝
答案
5．设函数f(x)对任意的a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，且当x>0时，f(x)>1.
(1)求证：f(x)是R上的增函数；
(2)若f(4)＝5，解不等式f(3m2－m－2)<3.
(1)证明 设x1
0，∴f(Δx)>1，
∴f(x2)＝f(x1＋Δx)＝f(x1)＋f(Δx)－1>f(x1)，
∴f(x)是R上的增函数．
(2)解 f(4)＝f(2)＋f(2)－1＝5，∴f(2)＝3，
∴f(3m2－m－2)<3＝f(2)．
又由(1)的结论知f(x)是R上的增函数，
∴3m2－m－2<2，∴－10⇒－20.
∴综上，f(x)<0的解集为{x|－20，∴0≤16－4x<16，∴∈[0,4)．
答案 C
12．已知函数f(x)＝若f(a)＝，则a的值为 ( )．
A．－1 B.
C．－1或 D．－1或
解析 若a>0，有log2a＝，a＝；若a≤0，有2a＝，a＝－1.
答案 D
13．函数y＝f(x)在R上单调递增，且f(m2＋1)>f(－m＋1)，则实数m的取值范围是 ( )．
A．(－∞，－1) B．(0，＋∞)
C．(－1,0) D．(－∞，－1)∪(0，＋∞)
解析 由题意得m2＋1>－m＋1，即m2＋m>0，故m<－1或m>0.
答案 D
14．奇函数f(x)在[3,6]上是增函数，且在[3,6]上的最大值为2，最小值为－1，则2f(－6)＋f(－3)＝ ( )．
A．5 B．－5 C．3 D．－3
解析 由题意又∵f(x)是奇函数，∴2f(－6)＋f(－3)＝－2f(6)－f(3)＝－4＋1＝－3.
答案 D
15．规定记号“⊗”表示一种运算，即a⊗b＝ab＋a＋b2(a，b为正实数)．若1⊗k＝3，则k＝ ( )．
A．－2 B．1 C．－2或1 D．2
解析 根据运算有1k＋1＋k2＝3，k为正实数，所以k＝1.
答案 B
16．函数f(x)＝的定义域是________．
解析 由log(x－1)≥0⇒00时，f(x)＝ax(a>0且a≠1)，且f＝－3，则a的值为 ( )．
A. B．3 C．9 D.
解析 ∵f(log4)＝f＝f(－2)＝－f(2)＝－a2＝－3，∴a2＝3，解得a＝，又a>0，∴a＝.
答案 A
19．设a＝log3，b＝0.3，c＝ln π，则 ( )．
A．aln e＝1，故a7，则实数m的取值范围是________．
解析 ∵f(2)＝4，∴f(f(2))＝f(4)＝12－m>7，∴m<5.
答案 (－∞，5)
21．设f(x)＝lg是奇函数，则使f(x)<0的x的取值范围是 ( )．
A．(－1,0) B．(0,1)
C．(－∞，0) D．(－∞，0)∪(1，＋∞)
解析 因为函数f(x)＝lg为奇函数，且在x＝0处有定义，故f(0)＝0，即lg(2＋a)＝0，∴a＝－1.故函数f(x)＝lg＝lg.令f(x)<0得0<<1，即x∈(－1,0)．
答案 A
22．a＝0.80.7，b＝0.80.9，c＝1.20.8的大小关系是 ( )．
A．a>b>c B．c>a>b
C．b>c>a D．b>a>c
解析 由y＝ax的性质知c>1，a<1，b<1，又考虑y＝0.8x的单调性可知a>b，∴c>a>b.
答案 B
23.(xx山东卷)函数f(x)＝＋的定义域为( )．
A．(－3,0] B．(－3,1]
C．(－∞，－3)∪(－3,0] D．(－∞，－3)∪(－3,1]
解析 (1)由题意解得－3＜x≤0.
24.函数y＝ln＋的定义域为________．
解析 (1)根据题意可知，⇒⇒0＜x≤1，故定义域为(0,1]．
25. 函数f(x)＝的值域为________．
解析：当x≥1时，logx≤0；当x＜1时，0＜2x＜2，故值域为(0,2)∪(－∞，0]＝(－∞，2)．
26、Error! No bookmark name given. (1)已知f＝lg x，求f(x)的解析式．
(2)f(x)为二次函数且f(0)＝3，f(x＋2)－f(x)＝4x＋2.试求出f(x)的解析式．
(3)定义在(－1,1)内的函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，求函数f(x)的解析式．
解 (1)令＋1＝t，由于x＞0，∴t＞1且x＝，
∴f(t)＝lg ，即f(x)＝lg (x＞1)．
(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，又f(0)＝c＝3.
∴f(x)＝ax2＋bx＋3，∴f(x＋2)－f(x)＝a(x＋2)2＋b(x＋2)＋3－(ax2＋bx＋3)＝4ax＋4a＋2b＝4x＋2.
∴∴
∴f(x)＝x2－x＋3.
(3)当x∈(－1,1)时，有2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)．①
以－x代替x得，2f(－x)－f(x)＝lg(－x＋1)．②
由①②消去f(－x)得，
f(x)＝lg(x＋1)＋lg(1－x)，x∈(－1,1)．
27、(1)若f(x＋1)＝2x2＋1，则f(x)＝________.
(2)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)．若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x≤0时，f(x)＝________.
解析 (1)令t＝x＋1，则x＝t－1，
所以f(t)＝2(t－1)2＋1＝2t2－4t＋3.
所以f(x)＝2x2－4x＋3.
(2)当－1≤x≤0时，有0≤x＋1≤1，所以f(1＋x)＝(1＋x)[1－(1＋x)]＝－x(1＋x)，又f(x＋1)＝2f(x)，所以f(x)＝f(1＋x)＝－.
答案 (1)2x2－4x＋3 (2)－
28.已知函数f(x)＝则f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于( )．
A．－3 B．－1或3
C．1 D．－3或1
解析 因为f(1)＝lg 1＝0，所以由f(a)＋f(1)＝0得f(a)＝0.当a＞0时，f(a)＝lg a＝0，所以a＝1.
当a≤0时，f(a)＝a＋3＝0，解得a＝－3.所以实数a的值为a＝1或a＝－3，选D.
答案 D
29．(xx临沂一模)函数f(x)＝ln＋的定义域为( )．
A．(0，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(0,1) D．(0,1)∪(1，＋∞)
解析 要使函数有意义，则有
即解得x＞1.
答案 B
30．已知函数f(x)＝则f(log27)＝( )．
A. B. C. D.
解析 因为log27＞1，log2＞1,0＜log2＜1，所以f(log27)＝f(log27－1)＝f(log2)＝f(log2－1)＝f(log2)＝2log2＝.
答案 C
31．函数f(x)＝ln的定义域是________．
解析 由题意知＞0，即(x－2)(x＋1)＞0，解得x＞2或x＜－1.
答案 {x|x＞2，或x＜－1}
32．已知函数f(x)＝若f(f(0))＝4a，则实数a＝________.
解析 f(f(0))＝f(2)＝4＋2a＝4a，解得a＝2.
答案 2
32．f(x)＝则满足f(x)＝的x值为________．
解析 当x∈(－∞，1]时，2－x＝＝2－2，∴x＝2(舍去)；
当x∈(1，＋∞)时，log81x＝，即x＝＝＝3.
答案 3
33．若函数f(x)＝x2－x＋a的定义域和值域均为[1，b](b>1)，求a，b的值．
解 ∵f(x)＝(x－1)2＋a－，
∴其对称轴为x＝1，即函数f(x)在[1，b]上单调递增．
∴f(x)min＝f(1)＝a－＝1，①
f(x)max＝f(b)＝b2－b＋a＝b，②
又b>1，由①②解得∴a，b的值分别为，3.
单调性
1、 求函数y＝log(x2－4x＋3)的单调区间．
解析：令u＝x2－4x＋3，原函数可以看作y＝logu与u＝x2－4x＋3的复合函数．
令u＝x2－4x＋3＞0.则x＜1或x＞3.
∴函数y＝log(x2－4x＋3)的定义域为
(－∞，1)∪(3，＋∞)．
又u＝x2－4x＋3的图象的对称轴为x＝2，且开口向上，
∴u＝x2－4x＋3在(－∞，1)上是减函数，在(3，＋∞)上是增函数．而函数y＝logu在(0，＋∞)上是减函数，
∴y＝log(x2－4x＋3)的单调递减区间为(3，＋∞)，单调递增区间为(－∞，1)．
2、若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是( )．
A．(－1,0)∪(0,1) B．(－1,0)∪(0,1]
C．(0,1) D．(0,1]
f(x)在[a，＋∞)上是减函数，对于g(x)，只有当a>0时，它有两个减区间为(－∞，－1)和(－1，＋∞)，故只需区间[1,2]是f(x)和g(x)的减区间的子集即可，则a的取值范围是01，函数f(x)＝logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为，则a＝________.
解析 由a>1知函数f(x)在[a,2a]上为单调增函数，则loga(2a)－logaa＝，解得a＝4.
答案 4
11．设函数f(x)＝的最小值为2，则实数a的取值范围是________．
解析 由题意知，当x＝1时，f(x)min＝2，故－1＋a≥2，
∴a≥3.
答案 [3，＋∞)
奇偶性和周期性
1、已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2(a>0且a≠1)，若g(2)＝a，则f(2)＝( )．
A．2 B.
C. D．a2
解析 (1)∵g(x)为偶函数，f(x)为奇函数，
∴g(2)＝g(－2)＝a，f(－2)＝－f(2)，
∴f(2)＋g(2)＝a2－a－2＋2，①
f(－2)＋g(－2)＝－f(2)＋g(2)＝a－2－a2＋2，②
联立①②解得g(2)＝2＝a，f(2)＝a2－a－2
＝22－2－2＝.
答案 B
2、设f(x)为定义在R上的奇函数．当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)＝( )．
A．－3 B．－1 C．1 D．3
(2)因为f(x)为定义在R上的奇函数，
所以f(0)＝20＋20＋b＝0，解得b＝－1.
所以当x≥0时，f(x)＝2x＋2x－1，
所以f(－1)＝－f(1)＝－(21＋21－1)＝－3.
答案：A
3、下列函数中，在其定义域中，既是奇函数又是减函数的是( )．
A．f(x)＝ B．f(x)＝
C．f(x)＝2－x－2x D．f(x)＝－tan x
解析 (1)f(x)＝在定义域上是奇函数，但不单调；
f(x)＝为非奇非偶函数；f(x)＝－tan x在定义域上是奇函数，但不单调．
答案：C
4、已知f(x)是定义在R上的偶函数，在区间[0，＋∞)上为增函数，且f＝0，则不等式f(logx)＞0的解集为( )．
A. B．(2，＋∞)
C.∪(2，＋∞) D.∪(2，＋∞)
解析：由已知f(x)在R上为偶函数，且f＝0，
∴f(logx)＞0等价于f(|logx|)＞f，又f(x)在[0，＋∞)上为增函数，∴|logx|＞，即logx＞或logx＜－，解得0＜x＜或x＞2，故选C.
答案 C
5、已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则( )．
A．f(－25)＜f(11)＜f(80)
B．f(80)＜f(11)＜f(－25)
C．f(11)＜f(80)＜f(－25)
D．f(－25)＜f(80)＜f(11)
审题路线 f(x－4)＝－f(x)f(x－8)＝f(x)→结合f(x)奇偶性、周期性把－25,11,80化到区间[－2,2]上→利用[－2,2]上的单调性可得出结论．
解析 ∵f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，
∴f(x－8)＝f(x)，∴函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)．
由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)．
∵f(x)在区间[0,2]上是增函数，
f(x)在R上是奇函数，
∴f(x)在区间[－2,2]上是增函数，
∴f(－1)＜f(0)＜f(1)，即f(－25)＜f(80)＜f(11)．
答案 D
6、定义在R上的偶函数f(x)满足：f(x＋1)＝－f(x)，且在[－1,0]上是增函数，下列关于f(x)的判断：
①f(x)是周期函数；
②f(x)的图象关于直线x＝2对称；
③f(x)在[0,1]上是增函数；
④f(x)在[1,2]上是减函数；
⑤f(4)＝f(0)．
其中判断正确的序号是________．
解析 f(x＋1)＝－f(x)⇒f(x＋2)＝f(x)，故f(x)是周期函数．又f(x)＝f(－x)，所以f(x＋2)＝f(－x)，故f(x)的图象关于直线x＝1对称．同理，f(x＋4)＝f(x)＝f(－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称．由f(x)在[－1,0]上是增函数，得f(x)在[0,1]上是减函数，在[1,2]上是增函数．因此可得①②⑤正确．
答案 ①②⑤
7、(xx辽宁卷)若函数f(x)＝为奇函数，则a＝( )．
A. B. C. D．1
解析：由已知f(x)为奇函数得f(－1)＝－f(1)，
即＝，
所以a＋1＝3(1－a)，解得a＝.
[答案] A
8．若函数f(x)＝ax2＋(2a2－a－1)x＋1为偶函数，则实数a的值为( )．
A．1 B．－
C．1或－ D．0
解析 由2a2－a－1＝0，得a＝1或－.
答案 C
9．已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数，则a＝________，b＝________.
解析 由f(0)＝0，得b＝1，再由f(－1)＝－f(1)，得＝－，解得a＝2.
答案 2 1
10．(xx广东卷)定义域为R的四个函数y＝x3，y＝2x，y＝x2＋1，y＝2sin x中，奇函数的个数是( )．
A．4 B．3 C．2 D．1
解析 由奇函数的概念可知y＝x3，y＝2sin x是奇函数．
答案 C
11、设f(x)是定义在R上的奇函数，且y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，则f＝( )．
A．0 B．1 C．－1 D．2
解析 由f(x)是奇函数可知，f(0)＝0，f＝－f.又y＝f(x)的图象关于x＝对称，所以f(0)＝f，因此f＝0.
答案 A
12、已知f(x)是定义在R上的奇函数，对任意x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)，若f(－2)＝2，则f(2 014)等于( )．
A．2 012 B．2 C．2 013 D．－2
解析 ∵f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)的周期为4，
∴f(2 014)＝f(2)，又f(x)为奇函数，∴f(2)＝－f(－2)＝－2，即f(2 014)＝－2.
答案 D
13．函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0,2]时，f(x)＝x－1，则不等式xf(x)>0在[－1,3]上的解集为( )．
A．(1,3) B．(－1,1)
C．(－1,0)∪(1,3) D．(－1,0)∪(0,1)
解析 f(x)的图象如图．
当x∈(－1,0)时，由xf(x)>0，得x∈(－1,0)；
当x∈(0,1)时，由xf(x)>0，得x∈∅；
当x∈(1,3)时，由xf(x)>0，得x∈(1,3)．
∴x∈(－1,0)∪(1,3)，故选C.
答案 C
14、f(x)为奇函数，当x＜0时，f(x)＝log2(1－x)，则f(3)＝________.
解析 f(3)＝－f(－3)＝－log24＝－2.
答案 －2
15．(xx青岛二模)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x＋2)＝f(x)对任意x∈R成立，当x∈(－1,0)时f(x)＝2x，则f＝________.
解析 因为f(x＋2)＝f(x)，故f＝f＝－f＝1.
答案 1
16．设定义在[－2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(1－m)＜f(m)，则实数m的取值范围是________．
解析 ∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．
∴不等式f(1－m)＜f(m)⇔f(|1－m|)＜f(|m|)．
又当x∈[0,2]时，f(x)是减函数．
∴解得－1≤m＜.
答案
17．f(x)为R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝－2x2＋3x＋1，求f(x)的解析式．
解 当x＜0时， －x＞0，则
f(－x)＝－2(－x)2＋3(－x)＋1＝－2x2－3x＋1.
由于f(x)是奇函数，故f(x)＝－f(－x)，
所以当x＜0时，f(x)＝2x2＋3x－1.
因为f(x)为R上的奇函数，故f(0)＝0.
综上可得f(x)的解析式为f(x)＝
18．设f(x)是定义域为R的周期函数，最小正周期为2，且f(1＋x)＝f(1－x)，当－1≤x≤0时，f(x)＝－x.
(1)判定f(x)的奇偶性；
(2)试求出函数f(x)在区间[－1,2]上的表达式．
解 (1)∵f(1＋x)＝f(1－x)，
∴f(－x)＝f(2＋x)．
又f(x＋2)＝f(x)，
∴f(－x)＝f(x)，
∴f(x)是偶函数．
(2)当x∈[0,1]时，－x∈[－1,0]，
则f(x)＝f(－x)＝x；
进而当1≤x≤2时，－1≤x－2≤0，
f(x)＝f(x－2)＝－(x－2)＝－x＋2.
故f(x)＝
19、已知偶函数f(x)对∀x∈R都有f(x－2)＝－f(x)，且当x∈[－1,0]时f(x)＝2x，则f(2 013)＝( )．
A．1 B．－1 C. D．－
解析 由f(x－2)＝－f(x)得f(x－4)＝f(x)，所以函数的周期是4，故f(2 013)＝f(4503＋1)＝f(1)＝f(－1)＝2－1＝.
答案 C
20．设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知当x∈[0,1]时，f(x)＝1－x，则：
①2是函数f(x)的周期；
②函数f(x)在(1,2)上递减，在(2,3)上递增；
③函数f(x)的最大值是1，最小值是0；
④当x∈(3,4)时，f(x)＝x－3.
其中所有正确命题的序号是________．
解析 由已知条件：f(x＋2)＝f(x)，则y＝f(x)是以2为周期的周期函数，①正确；当－1≤x≤0时0≤－x≤1，
f(x)＝f(－x)＝1＋x，
函数y＝f(x)的图象如图所示：
当3＜x＜4时，－1＜x－4＜0，
f(x)＝f(x－4)＝x－3，因此②④正确，③不正确．
答案 ①②④
B组
1．设函数f(x)＝x3cos x＋1，若f(a)＝11，则f(－a)＝________.
解析 记g(x)＝x3cos x，则g(x)为奇函数．
故g(－a)＝－g(a)＝－[f(a)－1]＝－10.
故f(－a)＝g(－a)＋1＝－9.
答案 －9
2．已知函数f(x)＝则f(f(2 013))＝________.
解析 f(2 013)＝2 013－100＝1 913，
∴f(f(2 013))＝f(1 913)＝2cos
＝2cos＝1.
答案 1
3．设函数f(x)＝
若f(x)>1成立，则实数x的取值范围是 ( )．
A．(－∞，－2)
B.
C.
D．(－∞，－2)∪
解析 当x≤－1时，由(x＋1)2>1，得x<－2，当x>－1时，由2x＋2>1，得x>－，故选D.
答案 D
4．设函数f(x)定义在实数集上，f(2－x)＝f(x)，且当x≥1时，f(x)＝ln x，则有 ( )．
A．f
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专项训练
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