2019-2020年高中数学 空间向量与立体几何 板块四 用空间向量计算距离与角度完整讲义（学生版）.doc

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2019-2020年高中数学 空间向量与立体几何 板块四 用空间向量计算距离与角度完整讲义（学生版） 典例分析 【例1】 在正方体中，，求与所成角的余弦值． 【例2】 直三棱柱中，．求证：． 【例3】 如图所示，在底面是直角梯形的四棱锥中，，平面，．求面与面所成的二面角的正切值． 【例4】 已知，，，求方向向量为直线与平面所成角的余弦值． 【例5】 已知平行六面体中，，，， ，，求的长 【例6】 如图直角梯形中，，，，平面，，以、、分别为轴、轴、轴建立直角坐标系． ⑴求与的夹角的大小（用反三角函数表示）； ⑵设，满足平面，求 ①的坐标； ②与平面的夹角（用反三角函数表示）； ③到平面的距离． 【例7】 如图四棱锥中，底面是平行四边形，平面，垂足为，在上，且，，，，是的中点． ⑴求异面直线与所成的角的余弦值； ⑵求点到平面的距离； ⑶若点是棱上一点，且，求的值． 【例8】 已知分别是正方体的棱和的中点，求 ⑴与所成角的大小； ⑵与平面所成角的大小； ⑶二面角的大小． 【例9】 长方体中，，为与的交点，为与的交点，又，求⑴长方体的高；⑵二面角的大小． 【例10】 如图：在空间四边形中，、、两两垂直，且，是的中点，异面直线和所成的角为，求⑴的长度；⑵二面角的余弦值． 【例11】 如图，直三棱柱中，，、分别为、的中点，平面 ⑴证明：． ⑵设二面角为，求与平面所成角的大小． 【例12】 如图，在直三棱柱中，，，求二面角的大小． 【例13】 如图，直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，侧棱，、分别是与的中点，点在平面上的射影是的垂心． ⑴求与平面所成角的余弦值； ⑵求点到平面的距离． 【例14】 如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，，．点在侧棱上，． ⑴证明：是侧棱的中点； ⑵求二面角的大小． 【例15】 如图所示：边长为的正方形和高为的直角梯形所在的平面互相垂直且，且． ⑴求和面所成的角的余弦； ⑵线段上是否存在点使过、、三点的平面和直线垂直，若存在，求与的比值；若不存在，说明理由． 【例16】 如图，在空间四边形中，，，，求与的夹角的余弦值． 【例17】 如图，在三棱柱中，侧面，为棱上异于、的一点，，已知，，，， 求：⑴异面直线与的距离； ⑵二面角的平面角的正切值． 【例18】 如图，在棱长为的正方体中，、、分别是、、的中点，取如图所示的空间直角坐标系， ⑴写出、、、的坐标； ⑵求证：，且； ⑶求异面直线与所成角的余弦值． 【例19】 如图，在棱长为的正方体中，、、分别是、、的中点， ⑴求证：，且； ⑵求异面直线与所成角的余弦值． ⑶写出平面的一个法向量． 【例20】 如图，在直四棱柱中，底面是边长为的菱形，侧棱长为． ⑴与能否垂直？请证明你的判断； ⑵当在上变化时，求异面直线与所成角的取值范围． 【例21】 如图：已知四棱锥的底面是平行四边形，，垂足在边上是等腰直角三角形，，四面体的体积为． ⑴求面与底面所成的锐二面角的余弦值； ⑵求点到面的距离； ⑶若点在直线上，且，求的值． 【例22】 如图所示：边长为的正方形和高为的直角梯形所在的平面互相垂直且，且． ⑴求和面所成的角的余弦； ⑵线段上是否存在点使过、、三点的平面和直线垂直，若存在，求与的比值；若不存在，说明理由．