2019-2020年高中数学 第二章 数列 第七课时 等比数列教案（一） 苏教版必修5.doc

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2019-2020年高中数学 第二章 数列 第七课时 等比数列教案（一） 苏教版必修5 教学目标： 掌握等比数列的定义，理解等比数列的通项公式及推导；培养学生的发现意识，提高学生创新意识，提高学生的逻辑推理能力，增强学生的应用意识. 教学重点： 等比数列的定义及通项公式. 教学难点： 灵活应用等比数列的定义式及通项公式解决一些相关问题. 教学过程： Ⅰ.复习回顾 前面几节课，我们共同探讨了等差数列，现在我们再来回顾一下等差数列的主要内容. Ⅱ.讲授新课 下面我们来看这样几个数列，看其又有何共同特点? 1，2，4，8，16，…，263； ① 5，25，125，625，…； ② 1，－，，－，…； ③ 仔细观察数列，寻其共同特点. 对于数列①，an＝2n－1；＝2(n≥2) 对于数列②，an＝5n；＝5(n≥2) 对于数列③，an＝(－1)n+1；＝－ (n≥2) 共同特点：从第二项起，第一项与前一项的比都等于同一个常数. 也就是说，这些数列从第二项起，每一项与前一项的比都具有“相等”的特点. 1.定义 等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示(q≠0)，即：an∶an－1＝q(q≠0) 如：数列①，②，③都是等比数列，它们的公比依次是2，5，－.与等差数列比较，仅一字之差. 总之，若一数列从第二项起，每一项与其前一项之“差”为常数，则为等差数列，之“比”为常数，则为等比数列，此常数称为“公差”或“公比”. 注意（1）公差“d”可为0，（2）公比“q”不可为0. 等比数列的通项公式又如何呢? 2.等比数列的通项公式 请同学们想想等差数列通项公式的推导过程，试着推一下等比数列的通项公式. 解法一：由定义式可得：a2＝a1q，a3＝a2q＝(a1q)q＝a1q2，a4＝a3q＝(a1q2)q＝a1q3，…， an＝an－1q＝a1qn－1(a1，q≠0)，n＝1时，等式也成立，即对一切n∈N*成立. 解法二：由定义式得：(n－1)个等式 若将上述n－1个等式相乘，便可得： …＝qn－1 即：an＝a1qn－1(n≥2) 当n＝1时，左＝a1，右＝a1，所以等式成立， ∴等比数列通项公式为：an＝a1qn－1(a1，q≠0) 如：数列①，an＝12n－1＝2n－1(n≤64) 数列②：an＝55n－1＝5n，数列③：an＝1(－)n－1＝(－1)n－1与等差数列比较，两者均可用归纳法求得通项公式. 或者，等差数列是将由定义式得到的n－1个式子相“加”，便可求得通项公式；而等比数列则需将由定义式得到的n－1个式子相“乘”，方可求得通项公式. 下面看一些例子： ［例1］培育水稻新品种，如果第一代得到120粒种子，并且从第一代起，由以后各代的每一粒种子都可以得到下一代的120粒种子，到第5代大约可以得到这个新品种的种子多少粒（保留两个有效数字）？ 分析：下一代的种子数总是上一代种子数的120倍，逐代的种子数可组成一等比数列，然后可用等比数列的有关知识解决题目所要求的问题. 解：由题意可得：逐代的种子数可组成一以a1＝120，q＝120的等比数列{an}. 由等比数列通项公式可得：an＝a1qn－1＝120120n－1＝120n ∴a5＝1205≈2.51010. 答：到第5代大约可以得到种子2.51010粒. 评述：遇到实际问题，首先应仔细分析题意，以准确恰当建立数学模型. ［例2］一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项. 分析：应将已知条件用数学语言描述，并联立，然后求得通项公式. 解：设这个等比数列的首项是a1，公比是q 则： ②①得：q＝ ③ ③代入①得：a1＝ ∴an＝a1qn－1＝（）n－1，a2＝a1q＝＝8. 答：这个数列的第1项与第2项分别是和8. 评述：要灵活应用等比数列定义式及通项公式. Ⅲ.课堂练习 课本P48练习1，2，3 已知{an}是无穷等比数列，公比为q. (1)将数列{an}中的前k项去掉，剩余各项组成一个新数列，这个数列是等比数列吗？如果是，它的首项和公比各是多少？ 解：设{an}为：a1，a2，…，ak，ak+1，… 则去掉前k项的数可列为：ak+1，ak+2，…，an，… 可知，此数列是等比数列，它的首项为ak+1，公比为q. (2)取出数列{an}中的所有奇数项，组成一个新的数列，这个数列是等比数列吗？如果是，它的首项和公比各是多少？ 解：设{an}为：a1，a2，a3，…，a2k－1，a2k，…，取出{an}中的所有奇数项，分别为：a1，a3，a5，a7，…，a2k－1，a2k+1，… ∵＝＝q2(k≥1) ∴此数列为等比数列，这个数列的首项是a1，公比为q2. (3)在数列{an}中，每隔10项取出一项，组成一个新的数列，这个数列是等比数列吗？如果是，它的公比是多少？ 解：设数列{an}为：a1，a2，…，an，… 每隔10项取出一项的数可列为：a11，a22，a33，…… 可知，此数列为等比数列，其公式为：＝＝q11. 评述：注意灵活应用等比数列的定义式和通项公式. Ⅳ.课时小结 本节课主要学习了等比数列的定义，即：＝q(q≠0，q为常数，n≥2) 等比数列的通项公式：an＝a1qn－1(n≥2)及推导过程. Ⅴ.课后作业 课本P52习题 1，2，3，4 等比数列(一) 1．已知Sn是数列{an}的前n项和，Sn＝pn，那么数列{an}是 （ ） A.等比数列 B.当p≠0时为等比数列 C.当p≠0，p≠1时为等比数列 D.不可能为等比数列 2．公差不为0的等差数列{an}中，a2，a3，a6依次成等比数列，则公比等于 （ ） A. B. C.2 D.3 3．数列{an}的前n项之和是Sn＝an＋b(a、b为常数且a≠0，1)，问数列{an}是等比数列吗？若是，写出通项公式，若不是，说明理由. 4．已知等比数列x，－，y，－，，…，求x，y. 5．已知数列{an}是等比数列，首项为a1，公比不等于1，又其中有连续三项分别是一等差数列的第t，k，p项，求数列{an}的通项公式. 6．已知数列{an}为等比数列，a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求a4的值. 等比数列(一)答案 1．D 2．D 3．数列{an}的前n项之和是Sn＝an＋b(a、b为常数且a≠0，1)，问数列{an}是等比数列吗？若是，写出通项公式，若不是，说明理由. 分析：利用等比数列的定义解题. 解：a1＝S1＝a＋b，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(a－1)an－1 又a1＝(a－1)a0＝a－1 ∴若a－1≠a＋b，即b≠－1时，显然数列{an}不是等比数列. 若a－1＝a＋b，即b＝－1时，由an＝(a－1)an－1(n≥1)，得＝a(n≥2) 故数列{an}是等比数列. 4．x＝，y＝ 5．已知数列{an}是等比数列，首项为a1，公比不等于1，又其中有连续三项分别是一等差数列的第t，k，p项，求数列{an}的通项公式. 分析一：先从等比数列入手解决问题. 解法一：设符合题设的等比数列{an}中的连续三项为am，am+1，am+2，则： am+1＝amq，am+2＝am+1q (q为公比) 两式相减，得q＝ 又am+1＝am＋(k－t)d，即am+1－am＝(k－t)d 同理am+2－am+1＝(p－k)d(d为公差），故q＝＝ ∴所求通项公式为an＝a1( )n－1. 分析二：先从等差数列入手解决问题. 解法二：设等差数列为{bn}，公差为d，则 由题设知，bt，bk，bp是等比数列{an}中的连续三项：故q＝＝ 利用等比定理，可得 ＝＝＝ ∴q＝，an＝a1()n－1. 6．已知数列{an}为等比数列，a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求a4的值. 分析：要求a4可以先求an，这样求基本量a1和q的值就成了关键，结合条件考虑运用方程思想解决. 解：设此数列的公比为q,由已知得： 由a1≠0，1＋q2≠0，②①得，q3＝q＝a1＝8. a4＝a1q3＝8＝1. 评述：本题在求基本量a1和q时，运用方程思想把两个方程相除达到消元的目的，此法应重视.