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2019 年高考数学 五年高考真题分类汇编 第九章 计数原理、概率、随机 变量及其分布 理 一.选择题 1． （xx福建高考理）满足 a， b∈{－1,0,1,2}，且关于 x 的方程 ax2＋2 x＋ b＝0 有实数 解的有序数对( a， b)的个数为 ( ) A．14 B．13 C．12 D．10 【解析】选 B 本题考查集合、方程的根、计数原理等基础知识，意在考查考生的综合能 力．因为 a， b∈{－1,0,1,2}，可分为两类：①当 a＝0 时， b 可能为－1 或 1 或 0 或 2，即 b 有 4 种不同的选法；②当 a≠0 时，依题意得 Δ ＝4－4 ab≥0，所以 ab≤1.当 a＝－1 时， b 有 4 种不同的选法，当 a＝1 时， b 可能为－1 或 0 或 1，即 b 有 3 种不同的选法，当 a＝2 时， b 可能为－1 或 0，即 b 有 2 种不同的选法．根据分类加法计数原理，( a， b)的个 数共有 4＋4＋3＋2＝13. 2． （xx辽宁高考理）使 n(n∈N ＋ )的展开式中含有常数项的最小的 n 为 ( )( 3x＋ 1xx) A．4 B．5 C．6 D．7 【解析】选 B 本题主要考查二项式定理的应用和简单的计算问题，求解过程中注意展开 式的通项公式应用的准确性．由二项式定理得， Tr＋1 ＝C (3x)n－ r r＝C 3n－ rxn－ r，令rn ( 1xx) rn 52 n－ r＝0，当 r＝2 时， n＝5，此时 n 最小． 52 3． （xx新课标Ⅰ高考理）设 m 为正整数，( x＋ y)2m展开式的二项式系数的最大值为 a，( x＋ y)2m＋1 展开式的二项式系数的最大值为 b，若 13a＝7 b，则 m＝ ( ) A．5 B．6 C.7 D.8 【解析】选 B 本题考查二项式系数的性质，意在考查考生对二项式系数的性质的运用和 计算能力．根据二项式系数的性质知：( x＋ y)2m的二项式系数最大有一项，C ＝ a，( x＋ y)m2 2m＋1 的二项式系数最大有两项，C ＝C ＝ b.又 13a＝7 b，所以 13C ＝7C ，m2m＋ 1 m＋ 12＋ m2 m2m＋ 1 将各选项中 m 的取值逐个代入验证，知 m＝6 满足等式，所以选择 B. 4.（xx新课标 II 高考理）已知(1＋ɑ x)(1＋ x)5的展开式中 x2的系数为 5，则 ɑ＝ ( ) A．－4 B.－3 C．－2 D．－1 【解析】选 D 本题涉及二项式定理、计数原理的知识，意在考查考生的分析能力与基本 运算能力．展开式中含 x2的系数为 C ＋ aC ＝5，解得 a＝－1，故选 D. 25 15 5． （xx陕西高考理）设函数 f(x)＝Error!则当 x>0 时， f(f(x))表达式的展开式中常数项 为 ( ) A．－20 B．20 C．－15 D．15 【解析】选 A 本题考查分段函数和二项式定理的应用，解题关键是对复合函数的复合过 程的理解．依据分段函数的解析式，得 f(f(x))＝ f(－ )＝ 6，∴ Tr＋1 ＝C (－1)x ( 1x－ x) r6 rxr－3 ，则常数项为 C (－1) 3＝－20.3 6． （xx陕西高考理）如图，在矩形区域 ABCD 的 A， C 两点处各有一个通信基站，假设其 信号的覆盖范围分别是扇形区域 ADE 和扇形区域 CBF(该矩形区域内无其他信号来源，基站 工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是 ( ) A．1－ B. －1 C．2－ D. π 4 π 2 π 2 π 4 【解析】选 A 本题考查几何概型的求解方法，涉及对立事件求解概率以及矩形和扇形面 积的计算．由题意知，两个四分之一圆补成半圆其面积为 π1 2＝ ，矩形面积为 2， 12 π 2 则所求概率为 ＝1－ . 2－ π 2 2 π 4 7.（xx江西高考理） 5展开式中的常数项为 ( )(x2－ 2x3) A．80 B．－80 C．40 D．－40 【解析】选 C 本题考查二项式定理，意在考查考生的运算能力． Tr＋1 ＝C (x2)5－ rr5 r＝C (－2) rx10－5 r，令 10－5 r＝0，得 r＝2，故常数项为 C (－2) 2＝40.(－ 2x3) r5 25 8.（xx广东高考理）已知离散型随机变量 X 的分布列为 X 1 2 3 P 35 310 110 则 X 的数学期望 E(X)＝ ( ) A. B．2 C. D．3 32 52 【解析】选 A 本题考查离散型随机变量的数学期望，考查考生的识记能力． E(X) ＝1 ＋2 ＋3 ＝ ＝ . 35 310 110 1510 32 9． （xx山东高考理）用 0,1，…，9 十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数 为 ( ) A．243 B．252 C．261 D．279 【解析】选 B 本题考查分步乘法计数原理的基础知识，考查转化与化归思想，考查运算 求解能力，考查分析问题和解决问题的能力．能够组成三位数的个数是 91010＝900， 能够组成无重复数字的三位数的个数是 998＝648，故能够组成有重复数字的三位数的 个数是 900－648＝252. 10． （xx大纲卷高考理）(1＋ x)8(1＋ y)4的展开式中 x2y2的系数是 ( ) A．56 B．84 C．112 D．168 【解析】选 D 本题考查二项式定理及通项公式．在(1＋ x)8展开式中含 x2的项为 C x2＝28 x2，(1＋ y)4展开式中含 y2的项为 C y2＝6 y2，所以 x2y2的系数为 286＝168，故28 24 选 D. 11． （xx湖北高考理）如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为 125 个同样大小的 小正方体．经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为 X，则 X 的均值 E(X) ＝ ( ) A. B. C. D. 126125 65 168125 75 【解析】选 B 本题考查正方体中的概率和期望问题，意在考查考生的空间想象能力． P(X＝0)＝ ， P(X＝1)＝ ， P(X＝2)＝ ， 27125 54125 36125 P(X＝3)＝ ， E(X)＝0 P(X＝0)＋1 P(X＝1)＋2 P(X＝2)＋3 P(X＝3)＝0 ＋1 8125 27125 ＋2 ＋3 ＝ ＝ ，故选 B. 54125 36125 8125 150125 65 12． （xx四川高考理）从 1,3,5,7,9 这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为 a， b，共可得到 lg a－lg b 的不同值的个数是 ( ) A．9 B．10 C．18 D．20 【解析】选 C 本题考查对数运算、排列组合等基本知识和基本技能，意在考查考生分析 问题和解决问题的数学应用能力．lg a－lg b＝lg ，lg 有多少个不同值，只要看 不同 ab ab ab 值的个数，所以共有 A －2＝20－2＝18 个不同值．25 13． （xx四川高考理）节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯．这两串彩灯的第一 次闪亮相互独立，若都在通电后的 4 秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以 4 秒为间 隔闪亮．那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过 2 秒的概率是( ) A. B. C. D. 14 12 34 78 【解析】选 C 本题考查不等式表示的平面区域、几何概型等知识，意在考查数形结合思 想、转化与化归思想，同时考查考生导数与单调性的运算能力．设第一串彩灯亮的时刻为 x，第二串彩灯亮的时刻为 y，则Error!要使两串彩灯亮的时刻相差不超过 2 秒，则Error! 如图，不等式组Error!所表示的图形面积为 16，不等式组Error!所表示的六边形 OABCDE 的 面积为 16－4＝12，由几何概型的公式可得 P＝ ＝ . 1216 34 14． （xx安徽高考文）若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五 人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为 ( ) A. B. C. D. 23 25 35 910 【解析】选 D 本题主要考查古典概型的概率计算，意在考查考生的运算能力和对基本概 念的理解． 事件“甲或乙被录用”的对立事件是“甲和乙都未被录用” ，从五位学生中选三人的基本事 件个数为 10， “甲和乙都未被录用”只有 1 种情况，根据古典概型和对立事件的概率公式 可得，甲或乙被录用的概率 P＝1－ ＝ . 110 910 15． （xx大纲卷高考文）( x＋2) 8的展开式中 x6的系数是 ( ) A．28 B．56 C．112 D．224 【解析】选 C 本题主要考查二项式定理．由二项式展开式的通项公式 Tr＋1 ＝C an－ rbr，得rn 含 x6的项是 T2＋1 ＝C x8－2 22，所以含 x6的项的系数为 22C ＝112. 28 28 16． （xx湖南高考文）已知事件“在矩形 ABCD 的边 CD 上随机取一点 P，使△ APB 的最大 边是 AB”发生的概率为 ，则 ＝ ( ) 12 ADAB A. B. C. D. 12 14 32 74 【解析】选 D 本题主要考查几何概型与三角形的最大角的性质，结合数形结合思想和转 化思想，意在考查考生的转化能力和运算能力．由已知，点 P 的分界点恰好是边 CD 的四等 分点，由勾股定理可得 AB2＝ 2＋ AD2，解得 2＝ ，即 ＝ .( 34AB) (ADAB) 716 ADAB 74 17． （xx新课标Ⅰ高考文）从 1,2,3,4 中任取 2 个不同的数，则取出的 2 个数之差的绝对 值为 2 的概率是 ( ) A. B. C. D. 12 13 14 16 【解析】选 B 本题主要考查列举法解古典概型问题的基本能力，难度较小．从 1,2,3,4 中任取 2 个不同的数有以下六种情况：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，满 足取出的 2 个数之差的绝对值为 2 的有(1,3)，(2,4)，故所求概率是 ＝ . 26 13 18． （xx江西高考文）集合 A＝{2,3}， B＝{1,2,3}，从 A， B 中各任意取一个数，则这两 数之和等于 4 的概率是 ( ) A. B. C. D. 23 12 13 16 【解析】选 C 本题主要考查随机事件、列举法、古典概型的概率计算，考查分析、解决 实际问题的能力．从 A， B 中各任意取一个数记为( x， y)，则有(2,1)，(2,2)，(2,3)， (3,1)，(3,2)，(3,3)，共 6 个基本事件．而这两数之和为 4 的有(2,2)，(3,1)，共 2 个基 本事件．又从 A， B 中各任意取一个数的可能性相同，故所求的概率为 ＝ . 26 13 19． （xx重庆高考理）( ＋ )8的展开式中常数项为 ( )x 12x A. B. C. D．105 3516 358 354 【解析】选 B 二项展开式的通项 Tr＋1 ＝C ( )8－ r( )r＝C ( )rx4－ r，当 4－ r＝0 时，r8 x 12x r812 r＝4，所以展开式中的常数项为 C ( )4＝ .48 12 358 20． （xx广东高考理）从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为 0 的概率是 ( ) A. B. C. D. 49 13 29 19 【解析】选 D 由个位数与十位数之和为奇数，则个位数与十位数分别为一奇一偶．若个 位数为奇数时，这样的两位数共有 C C ＝20 个；若个位数为偶数时，这样的两位数共有 C1514 C ＝25 个；于是，个位数与十位数之和为奇数的两位数共有 20＋25＝45 个．其中，个位1515 数是 0 的有 C 1＝5 个．于是，所求概率为 ＝ .15 545 19 21． （xx山东高考理）现有 16 张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各 4 张．从中任取 3 张，要求这 3 张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多 1 张，不同取法 的种数为 ( ) A．232 B．252 C．472 D．484 【解析】选 C 若没有红色卡片，则需从黄、蓝、绿三色卡片中选 3 张，若都不同色则有 C C C ＝64 种，若 2 张同色，则有 C C C C ＝144 种；若红色卡片有 1 张，剩14 14 14 23 12 24 14 余 2 张不同色，则有 C C C C ＝192 种，剩余 2 张同色，则有 C C C ＝72 种，14 23 14 14 14 13 24 所以共有 64＋144＋192＋72＝472 种不同的取法． 22． （xx四川高考理）(1＋ x)7的展开式中 x2的系数是 ( ) A．42 B．35 C．28 D．21 【解析】选 D 依题意可知，二项式(1＋ x)7的展开式中 x2的系数等于 C 15＝21.27 23． （xx四川高考理）方程 ay＝ b2x2＋ c 中的 a， b， c∈{－3，－2,0,1,2,3}，且 a， b， c 互不相同．在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有 ( ) A．60 条 B．62 条 C．71 条 D．80 条 【解析】选 B 显然方程 ay＝ b2x2＋ c 表示抛物线时，有 ab≠0，故该方程等价于 y＝ x2＋ . b2a ca (1)当 c＝0 时，从{－3，－2,1,2,3}中任取 2 个数作为 a， b 的值，有 A ＝20 种不同的方25 法， 当 a 一定， b 的取值互为相反数时，对应的抛物线相同，这样的抛物线共有 43＝12 条， 所以此时不同的抛物线共有 A －6＝14 条；25 (2)当 c≠0 时，从{－3，－2,1,2,3}中任取 3 个数作为 a， b， c 的值有 A ＝60 种不同的方35 法， 当 a， c 的值一定，而 b 的值互为相反数时，对应的抛物线相同，这样的抛物线共有 4A ＝24 条，所以此时不同的抛物线有 A －12＝48 条．23 35 综上所述，满足题意的不同的抛物线有 14＋48＝62 条． 24.（xx辽宁高考理）一排 9 个座位坐了 3 个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐 法种数为 ( ) A．33! B．3(3！) 3 C．(3！) 4 D．9! 【解析】选 C 利用“捆绑法”求解．满足题意的坐法种数为 A (A )3＝(3！) 4. 3 3 25.（xx辽宁高考理）在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点 C.现作一矩形，邻边长分别等 于线段 AC， CB 的长，则该矩形面积小于 32 cm2的概率为 ( ) A. B. C. D. 16 13 23 45 【解析】选 C 设 AC＝ x cm， CB＝(12－ x)cm,0
Dξ 2. 120 29.（xx大纲卷高考理）将字母 a， a， b， b， c， c 排成三行两列，要求每行的字母互不 相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有 ( ) A．12 种 B．18 种 C．24 种 D．36 种 【解析】选 A 由分步乘法计数原理，先排第一列，有 A 种方法，再排第二列，有 2 种方3 法，故共有 A 2＝12 种排列方法．3 30． （xx北京高考理）设不等式组Error!表示的平面区域为 D.在区域 D 内随机取一个点， 则此点到坐标原点的距离大于 2 的概率是 ( ) A. B. C. D. π 4 π － 22 π 6 4－ π4 【解析】选 D 不等式组Error!表示坐标平面内的一个正方形区域，设区域内点的坐标为 (x， y)，则随机事件：在区域 D 内取点，此点到坐标原点的距离大于 2 表示的区域就是圆 x2＋ y2＝4 的外部，即图中的阴影部分，故所求的概率为 . 4－ π4 31． （xx北京高考理）从 0,2 中选一个数字，从 1,3,5 中选两个数字，组成无重复数字的 三位数，其中奇数的个数为 ( ) A．24 B．18 C．12 D．6 【解析】选 B 若选 0，则 0 只能在十位，此时组成的奇数的个数是 A ；若选 2，则 2 只能23 在十位或百位，此时组成的奇数的个数是 2A ＝12，根据分类加法计数原理得总个数为23 6＋12＝18. 32． （xx湖北高考理）设 a∈Z，且 0≤ a＜13，若 512 012＋ a 能被 13 整除，则 a＝ ( ) A．0 B．1 C．11 D．12 【解析】选 D 512 012＋ a＝ (134－1) 2 012＋ a，被 13 整除余 1＋ a，结合选项可得 a＝12 时，51 2 012＋ a 能被 13 整除． 33． （xx湖北高考理）如图，在圆心角为直角的扇形 OAB 中，分别以 OA， OB 为直径作两 个半圆．在扇形 OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是 ( ) A．1－ B. － C. D. 2π 12 1π 2π 1π 【解析】选 A 设扇形的半径为 2，其面积为 ＝π，其中空白区域面积为 π 224 π－4( － )＝2，因此此点取自阴影部分的概率为 ＝1－ . π 4 12 π － 2π 2π 34． （xx浙江高考理）若从 1,2,3，…，9 这 9 个整数中同时取 4 个不同的数，其和为偶 数，则不同的取法共有 ( ) A．60 种 B．63 种 C．65 种 D．66 种 【解析】选 D 对于 4 个数之和为偶数，可分三类，即 4 个数均为偶数，2 个数为偶数 2 个 数为奇数，4 个数均为奇数，因此共有 C ＋C C ＋C ＝66 种．4 2425 45 35． （xx福建高考理）如图所示，在边长为 1 的正方形 OABC 中任取一点 P，则点 P 恰好 取自阴影部分的概率为 ( ) A. B. C. D. 14 15 16 17 【解析】选 C 阴影部分的面积为 ( － x)dx＝( x － x2) ＝ ，故所求的概率 P＝∫ 10 x 2332 12 |10 16 ＝ . 阴 影 部 分 的 面 积正 方 形 OABC的 面 积 16 36． （xx安徽高考理）( x2＋2)( －1) 5的展开式的常数项是 ( ) 1x2 A．－3 B．－2 C．2 D．3 【解析】选 D ( －1) 5的展开式的通项为 Tr＋1 ＝C ( )5－ r(－1) r， r＝0,1,2,3,4,5. 1x2 r51x2 当因式( x2＋2)中提供 x2时，则取 r＝4；当因式( x2＋2)中提供 2 时，则取 r＝5，所以 (x2＋2)( －1) 5的展开式的常数项是 5－2＝3. 1x2 37． （xx安徽高考理）6 位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间 最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品．已知 6 位同学之间共进行了 13 次交 换，则收到 4 份纪念品的同学人数为 ( ) A．1 或 3 B．1 或 4 C．2 或 3 D．2 或 4 【解析】选 D 不妨设 6 位同学分别为 A， B， C， D， E， F，列举交换纪念品的所有情况为 AB， AC， AD， AE， AF， BC， BD， BE， BF， CD， CE， CF， DE， DF， EF，共有 15 种．因为 6 位 同学之间共进行了 13 次交换，即缺少以上交换中的 2 种．第一类，某人少交换 2 次，如 DF， EF 没有交换，则 A， B， C 交换 5 次， D， E 交换 4 次， F 交换 3 次；第二类，4 人少交 换 1 次，如 CD， EF 没有交换，则 A， B 交换 5 次， C， D， E， F 交换 4 次． 38． （xx新课标高考理）将 2 名教师，4 名学生分成 2 个小组，分别安排到甲、乙两地参 加社会实践活动，每个小组由 1 名教师和 2 名学生组成，不同的安排方案共有 ( ) A．12 种 B．10 种 C．9 种 D．8 种 【解析】选 A 先安排 1 名教师和 2 名学生到甲地，再将剩下的 1 名教师和 2 名学生安排 到乙地，共有 C C ＝12 种安排方案．1224 39． （xx湖北高考文）如图，在圆心角为直角的扇形 OAB 中，分别以 OA， OB 为直径作两 个半圆，在扇形 OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是 （ ） A. － B. C．1－ D. 12 1π 1π 2π 2π 【解析】选 C 设 OA＝ OB＝ r，则两个以 为半径的半圆的公共部分面积为 2[ π( )2－ r2 14 r2 ( )2]＝ ，两个半圆外部的阴影部分面积为 π r2－[ π( )22－ 12 r2 π － 2 r28 14 12 r2 ]＝ ，所以所求概率为 ＝1－ . π － 2 r28 π － 2 r28 2 π － 2 r28 14π r2 2π 40． （xx四川高考文）(1＋ x)7的展开式中 x2的系数是 ( ) A．21 B．28 C．35 D．42 【解析】选 A 依题意得知，二项式(1＋ x)7的展开式中 x2的系数等于 C 1＝21.27 41． （xx四川高考文）方程 ay＝ b2x2＋ c 中的 a， b， c∈{－2,0,1,2,3}，且 a， b， c 互不 相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有 ( ) A．28 条 B．32 条 C．36 条 D．48 条 【解析】选 B 依题意得，当方程 ay＝ b2x2＋ c 表示抛物线时，有 y＝ x2＋ ， ab≠0，又 b2a ca a， b， c∈{－2,0,1,2,3}且 a， b， c 互不相同，因此相应的数组{ a， b， c}共有 A C ＝36 组，其中当 b＝－2 与 b＝2 时，相应的( a， b， c)对应相同的抛物线的条数有 C24 13 C ＝4，因此满足题意的不同的抛物线共同有 36－4＝32 条．12 12 42． （xx辽宁高考文）在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点 C.现作一矩形，邻边长分别等 于线段 AC， CB 的长，则该矩形面积大于 20 cm2的概率为 ( ) A. B. C. D. 16 13 23 45 【解析】选 C 设| AC|＝ x cm,00 得 0”发生的概率为 13 ＝ . 1－ 13 1 23 【答案】 23 73． （xx安徽高考理）若 8的展开式中 x4的系数为 7，则实数 a＝________.( x＋ a3x) 【解析】本题考查二项展开式的通项．二项式 8展开式的通项为( x＋ a3x) Tr＋1 ＝C arx8－ r，令 8－ r＝4，可得 r＝3，故 C a3＝7，易得 a＝ .r8 43 43 38 12 【答案】 12 74． （xx浙江高考理）设二项式 5的展开式中常数项为 A，则 A＝________.( x－ 13x) 【解析】本题考查二项式定理及相关概念，考查利用二项式定理解决相关问题的能力以及 考生的运算求解能力． Tr＋1 ＝(－1) rC x ，令 15－5 r＝0，得 r＝3，故常数项r5 15－ 5r6 A＝(－1) 3C ＝－10.35 【答案】－10 75． （xx浙江高考理）将 A， B， C， D， E， F 六个字母排成一排，且 A， B 均在 C 的同侧， 则不同的排法共有________种(用数字作答)． 【解析】本题考查对排列、组合概念的理解，排列数、组合数公式的运用，考查运算求解 能力以及利用所学知识解决问题的能力． “小集团”处理，特殊元素优先，C C A A ＝480.361223 【答案】480 76． （xx重庆高考理）从 3 名骨科、4 名脑外科和 5 名内科医生中选派 5 人组成一个抗震 救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有 1 人的选派方法种数是________(用数 字作答)． 【解析】本题考查排列组合问题，意在考查考生的思维能力．直接法分类，3 名骨科，内 科、脑外科各 1 名；3 名脑外科，骨科、内科各 1 名；3 名内科，骨科、脑外科各 1 名；内 科、脑外科各 2 名，骨科 1 名；骨科、内科各 2 名，脑外科 1 名；骨科、脑外科各 2 名， 内科 1 名．所以选派种数为 C C C ＋C C C ＋C C C ＋C C C ＋C C C ＋C C C ＝590.3 14 15 34 13 15 35 13 14 24 25 13 23 25 14 23 24 15 【答案】590 77.（xx新课标 II 高考理）从 n 个正整数 1,2，…， n 中任意取出两个不同的数，若取出 的两数之和等于 5 的概率为 ，则 n＝________. 114 【解析】本题考查排列组合、古典概型等基本知识，意在考查考生的基本运算能力与逻辑 分析能力． 试验基本事件总个数为 C ，而和为 5 的取法有 1,4 与 2,3 两种取法，由古典概型概率计算2n 公式得 P＝ ＝ ，解得 n＝8. 2C2n 114 【答案】8 78． （xx北京高考理）将序号分别为 1,2,3,4,5 的 5 张参观券全部分给 4 人，每人至少 1 张，如果分给同一人的 2 张参观券连号，那么不同的分法种数是________． 【解析】本题考查排列组合中的分组安排问题，意在考查考生分析问题、解决问题的能 力．按照要求要把序号分别为 1,2,3,4,5 的 5 张参观券分成 4 组，然后再分配给 4 人，连 号的情况是 1 和 2,2 和 3,3 和 4,4 和 5，故其方法数是 4A ＝96.4 【答案】96 79． （xx山东高考理）在区间[－3,3]上随机取一个数 x，使得| x＋1|－| x－2|≥1 成立的 概率为________． 【解析】本题考查绝对值不等式的解法、几何概型等基础知识，考查分类与整合思想，考 查运算求解能力．当 x≤－1 时，不等式| x＋1|－| x－2|≥1，即－( x＋1)＋( x－2) ＝－3≥1，此时无解；当－12 时，不等式| x＋1|－| x－2|≥1，即 x＋1－ x＋2＝3≥1，解得 x>2.在 区间[－3,3]上不等式| x＋1|－| x－2|≥1 的解集为 1≤ x≤3，故所求的概率为 ＝ . 3－ 13－ － 3 13 【答案】 13 80． （xx大纲卷高考理）6 个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有 ________种．(用数字作答) 【解析】本题考查排列组合知识． 法一：(间接法)A －A A ＝480.6 25 法二：(直接法)A A ＝480.425 【答案】480 81． （xx四川高考理）二项式( x＋ y)5的展开式中，含 x2y3的项的系数是________．(用 数字作答) 【解析】本题考查二项式的通项，意在考查考生的运算能力．因为 C ＝10，故含 x2的项的35 系数是 10. 【答案】10 82.（xx天津高考理） 6的二项展开式中的常数项为________．( x－ 1x) 【解析】本题考查二项式定理的应用，意在考查考生的运算求解能力．二项式 6展( x－ 1x) 开式的第 r＋1 项为 Tr＋1 ＝C x6－ r(－ )r＝C (－1) rx6－ r，当 6－ r＝0，即 r＝4 时是常r6 1x r6 32 32 数项，所以常数项是 C (－1) 4＝15.46 【答案】15 83． （xx重庆高考文）若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率 为________． 【解析】本题主要考查古典概型，考查考生的逻辑思维能力．三人站成一排有：甲乙丙、 甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲，共 6 种排法，其中甲、乙相邻有 4 种排法， 所以甲、乙两人相邻而站的概率为 ＝ . 46 23 【答案】 23 84． （xx江苏高考文）现有某类病毒记作 XmYn，其中正整数 m， n(m≤7， n≤9)可以任意 选取，则 m， n 都取到奇数的概率为________． 【解析】本题考查古典概型的相关知识，意在考查用枚举法求概率． 基本事件总数为 N＝79＝63，其中 m， n 都为奇数的事件个数为 M＝45＝20，所以所求 概率 P＝ ＝ . MN 2063 【答案】 2063 85． （xx大纲卷高考文）从进入决赛的 6 名选手中决出 1 名一等奖，2 名二等奖，3 名三 等奖，则可能的决赛结果共有________种．(用数字作答) 【解析】本题主要考查组合、分步计数乘法原理的应用．第一步决出一等奖 1 名有 C 种情16 况，第二步决出二等奖 2 名有 C 种情况，第三步决出三等奖 3 名有 C 种情况，故可能的25 3 决赛结果共有 C C C ＝60 种情况．16253 【答案】60 86． （xx福建高考文）利用计算机产生 0～1 之间的均匀随机数 a，则事件“3 a－1<0”发 生的概率为________． 【解析】本题主要考查几何概型与随机模拟等基础知识，意在考查或然与必然思想，考查 考生的数形结合能力、转化和化归能力、运算求解能力．由题意，得 0E(X2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大． 130． （xx辽宁高考理）现有 10 道题，其中 6 道甲类题，4 道乙类题，张同学从中任取 3 道题解答． (1)求张同学至少取到 1 道乙类题的概率； (2)已知所取的 3 道题中有 2 道甲类题，1 道乙类题．设张同学答对每道甲类题的概率都是 ，答对每道乙类题的概率都是 ，且各题答对与否相互独立．用 X 表示张同学答对题的个 35 45 数，求 X 的分布列和数学期望． 解：本题主要考查概率的综合应用，离散型随机变量的分布列和数学期望．同时也考查考 生分析问题以及应用知识解决实际问题的能力． (1)设事件 A＝“张同学所取的 3 道题至少有 1 道乙类题” ，则有 ＝“张同学所取的 3 道题A 都是甲类题” ． 因为 P( )＝ ＝ ，所以 P(A)＝1－ P( )＝ .A C36C310 16 A 56 (2)X 所有的可能取值为 0,1,2,3. P(X＝0)＝C 0 2 ＝ ；02 ( 35) (25) 15 4125 P(X＝1)＝C 1 1 ＋C 0 2 ＝ ；12 ( 35) (25) 15 02(35) (25) 45 28125 P(X＝2)＝C 2 0 ＋C 1 1 ＝ ；2 ( 35) (25) 15 12(35) (25) 45 57125 P(X＝3)＝C 2 0 ＝ ；2 ( 35) (25) 45 36125 所以 X 的分布列为： X 0 1 2 3 P 4125 28125 57125 36125 所以 E(X)＝0 ＋1 ＋2 ＋3 ＝2. 4125 28125 57125 36125 131． （xx安徽高考理）某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试 活动，分别由李老师和张老师负责．已知该系共有 n 位学生，每次活动均需该系 k 位学生 参加( n 和 k 都是固定的正整数)．假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、 随机地发给该系 k 位学生，且所发信息都能收到．记该系收到李老师或张老师所发活动通 知信息的学生人数为 X. (1)求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率； (2)求使 P(X＝ m)取得最大值的整数 m. 解：本题主要考查古典概型，计数原理，分类讨论思想等基础知识和基本技能，考查抽象 的思想，逻辑推理能力，运算求解能力，以及运用数学知识分析和解决实际问题的能力． (1)因为事件 A：“学生甲收到李老师所发信息”与事件 B：“学生甲收到张老师所发信息” 是相互独立的事件，所以 与 相互独立．由于 P(A)＝ P(B)＝ ＝ ，故 P( )＝ P( )A B Ck－ 1n－Ckn kn A B ＝1－ ，因此学生甲收到活动通知信息的概率 P＝1－ 2＝ . kn (1－ kn) 2kn－ k2n2 (2)当 k＝ n 时， m 只能取 n，有 P(X＝ m)＝ P(X＝ n)＝1. 当 k
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2019年高考数学
五年高考真题分类汇编
第九章
计数原理、概率、随机变量及其分布
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