2019-2020年高中数学《平面向量的实际背景及基本概念》教案3 新人教A版必修4.doc

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2019-2020年高中数学《平面向量的实际背景及基本概念》教案3 新人教A版必修4 教学目的： 1．了解平面向量的实际背景； 2．掌握向量的几何表示； 3．理解向量的有关概念； 4．逐步培养学生观察、分析、综合和类比能力和“知识重组”意识和“数形结合”能力。 教学重点：向量的概念、相等向量的概念、向量的几何表示。 教学难点：向量的概念和共线向量的概念。 授课类型：新授课 授课方式：讲授式、探究式 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，反过来，向量的理论和方法，又成为解决物理学和工程技术的重要工具，向量之所以有用，关键是它具有一套良好的运算性质，通过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算，这样通过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种有关问题。 向量不同于数量，它是一种新的量，关于数量的代数运算在向量范围内不都适用。因此，本章在介绍向量概念时，重点说明了向量与数量的区别，然后又重新给出了向量代数的部分运算法则，包括加法、减法、实数与向量的积、向量的数量积的运算法则等。之后，又将向量与坐标联系起来，把关于向量的代数运算与数量(向量的坐标)的代数运算联系起来，这就为研究和解决有关几何问题又提供了两种方法——向量法和坐标法。 本章共分五大节。第一节是“平面向量的实际背景及基本概念”，内容包括向量的物理背景与概念、向量的几何表示、相等向量与共线向量。 本节从物理学中的位移、力这些既有大小又有方向的量出发，抽象出向量的概念，并重点说明了向量与数量的区别，然后介绍了向量的几何表示、向量的长度、零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量等基本概念。 在“向量的物理背景与概念”中介绍向量的定义；在“向量的几何表示”中，主要介绍有向线段、有向线段的三个要素、向量的表示、向量与有向线段的区别与联系、向量的长度、零向量、单位向量、平行向量；在“相等向量与共线向量”中，主要介绍相等向量，共线向量定义等。 教学过程： 一、引入 同学们都知道，数学是一门基础学科，是解决其它一些学科问题的有力工具。其实数学的很多理论是由其它学科的一些知识抽象而来的。成为理论后又反过来对其它学科起作用。比如同学们学习的物理，它与数学就有非常密切的关系。 二、新授课 （一）向量的物理背景与概念 （提问）请同学们回忆在物理中所学习过哪些既有大小又有方向的量？ 在现实生活中，我们会遇到很多量，其中一些量在取定单位后用一个实数就可以表示出来，如长度、质量等。还有一些量，如我们在物理中所学习的位移、力是一个既有大小又有方向的量，例如：物体受到的重力是竖直向下的（图2.1-1），物体的质量越大，它受到的重力越大；物体在液体中受到的浮力是竖直向上的（图2.1-2），物体浸在液体中的体积越大，它受到的浮力越大；被拉长的弹簧的弹力是向左的（图2.1-3），被压缩的弹簧的弹力是向右的（图2.1-4），并且在弹性限度内，弹簧拉长或压缩的长度越大，弹力越大。 我们可以对位移、力……这些既有大小又有方向的量进行抽象，形成一种新的量。这种量就是我们本章所要研究的——向量。 向量是数学中的重要概念之一，向量和数一样也能进行运算，而且用向量的有关知识还能有效地解决数学、物理等学科中的很多问题，在这一章，我们将学习向量的概念、运算及其简单应用。这一节课，我们将学习向量的有关概念。 向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量（物理学中常称为矢量） （而把那些只有大小，没有方向的量如：年龄、身高长度、面积、体积、质量等，称为数量。物理学中常称为标量） 注意：1数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。 （二）向量的几何表示 引入：（由于实数与数轴上的点一一对应，所以数量常常用数轴上的一个点表示，而且不同的点表示不同的数量。） 对于向量，我们常用带箭头的线段——有向线段来表示，线段按一定比例（标度）画出，它的长短表示向量的大小，箭头的指向表示向量的方向。 A起点 B终点 有向线段：带有方向的线段叫有向线段。（如图） 我们在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向。以A为起点、 B为终点的有向线段记作，起点写在终点的前面。 已知，线段AB的长度也叫做有向线段的长度，记作. 有向线段的三要素：起点、方向、长度。（知道了有向线段的起点、方向和长度，它的终点就唯一确定。） 向量的表示方法： 几何表示：①用有向线段表示； 字母表示：②用表示向量的有向线段的起点与终点字母表示如：； ③用字母、、等表示。 问题1：“向量就是有向线段，有向线段就是向量。”的说法对吗？（提问） （①向量是自由向量，只有大小和方向两个要素；与起点无关：只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量； ②有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段） 向量的长度（或称模）：向量的大小，也就是向量的长度（或称模）：记作。 零向量、单位向量概念： ①长度为0的向量叫零向量，记作。 注意与0的区别（及书写方法）。 ②长度等于1个单位的向量，叫单位向量。 说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向。 例1 如图2.1-6，试根据图中的比例尺以及三地的位置，在图中分别用向量表示A地至B、C两地的位移，并求出A地至B、C两地的实际距离（精确到1km） 解：表示A地至B地的位移，且 240km . 表示A地至C地的位移，且 300km . （三）平行向量、共线向量与相等向量 平行向量定义： ①方向相同或相反的非零向量叫平行向量； ②我们规定与任一向量平行。 说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义； （2）向量平行，记作。 共线向量定义： 平行向量也叫做共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上. 说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系； （2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. 相等向量定义： 长度相等且方向相同的向量叫相等向量。 说明：（1）向量与相等，记作； （2）零向量与零向量相等； （3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关。在平面上，两个长度相等且指向一致的有向线段表示同一个向量，因为向量完全由它的方向和模确定。 问题2：两个向量是否可以比较大小？（向量不能比较大小，我们知道，长度相等且方向相同的两个向量表示相等向量，但是两个向量之间只有相等关系，没有大小之分，“对于向量、，或”这种说法是错误的。） 例2 判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由. ①向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上； ②单位向量都相等； ③若＝，则四边形ABCD是平行四边形； ④若一个向量的模为0，则该向量的方向不确定； ⑤共线的向量，若起点不同，则终点一定不同。 解：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量、在同一直线上。 ②不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定。 A B C ③不正确.④正确.⑤不正确.如图与共线，虽起点不同，但其终点却相同. 评述：本题考查基本概念，对于零向量、单位向量、平行向量、共线向量的概念特征及相互关系必须把握好。 三、练习： 1．下列各量中不是向量的是（ ） A.浮力 B.风速 C.位移 D.密度 2.下列说法中错误的是（ ） A.零向量是没有方向的 B.零向量的长度为0 C.零向量与任一向量平行 D.零向量的方向是任意的 3．把平面上一切单位向量的始点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形是（ ） A.一条线段 B.一段圆弧 C.圆上一群孤立点  D.一个单位圆 4．已知非零向量,若非零向量，则与必定 . 5．已知、是两非零向量,且与不共线,若非零向量与共线,则与必定 . 6.设在平面上给定了一个四边形ABCD,点K、L、M、N分别是AB、BC、CD、DA的中点,则 参考答案：1.D 2.A 3.D 4.平行 5.不共线6. ， 四、小结 ： 1．了解平面向量的实际背景； 2．掌握向量的几何表示； 3．理解向量的有关概念。 五、作业 P86习题2.1相关内容，预习p85 例2 六、板书设计（略）