2019-2020年高中数学知识精要 15.解析几何-直线与圆教案 新人教A版.doc

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2019-2020年高中数学知识精要 15.解析几何-直线与圆教案 新人教A版 1、直线的倾斜角： （1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向转到和直线重合时所转的最小正角记为，那么就叫做直线的倾斜角。当直线与轴重合或平行时，规定倾斜角为0； （2）倾斜角的范围。 如（1）直线的倾斜角的范围是____（答：）；（2）过点的直线的倾斜角的范围值的范围是______（答：） 2、直线的斜率： （1）定义：倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率，即＝tan(≠90)；倾斜角为90的直线没有斜率； （2）斜率公式：经过两点、的直线的斜率为；（3）直线的方向向量，直线的方向向量与直线的斜率有何关系？ （4）应用：证明三点共线： 。 提醒：（1）直线的倾斜角α一定存在，但斜率不一定存在。 （2）直线的倾斜角与斜率的变化关系：若直线存在斜率k，而倾斜角为α，则k=tanα.当倾斜角是锐角是，斜率k随着倾斜角α的增大而增大。当α是钝角时，k与α同增减. （3）斜率的求法： α O K 依据倾斜角：， 牢记图像　　 依据两点的坐标： 依据直线方程：化为斜截式 当已知k，求倾斜角α时： k≥0时，α=arctank；k<0时，α=π+arctank。 （4） （你知道如何由直线的方向向量来求斜率吗？） 如(1) 两条直线斜率相等是这两条直线平行的____________条件（答：既不充分也不必要）；（2）实数满足 ()，则的最大值、最小值分别为______（答：） 3、直线的方程： （1）点斜式：已知直线过点斜率为，则直线方程为,它不包括垂直于轴的直线。 （2）斜截式：已知直线在轴上的截距为和斜率，则直线方程为,它不包括垂直于轴的直线。 （3）两点式：已知直线经过、两点，则直线方程为，它不包括垂直于坐标轴的直线。 （4）截距式：已知直线在轴和轴上的截距为,则直线方程为，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线。 （5）一般式：任何直线均可写成(A,B不同时为0)的形式。 如（1）经过点（2，1）且方向向量为=(－1,)的直线的点斜式方程是___________（答：）；（2）直线，不管怎样变化恒过点______（答：）；（3）若曲线与有两个公共点，则的取值范围是_______（答：） 提醒： (1)直线方程的各种形式都有局限性.（如点斜式不适用于斜率不存在的直线，还有截距式呢？）； (2)直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.直线两截距相等直线的斜率为-1或直线过原点；直线两截距互为相反数直线的斜率为1或直线过原点；直线两截距绝对值相等直线的斜率为或直线过原点。 如过点，且纵横截距的绝对值相等的直线共有___条（答：3） 4.设直线方程的一些常用技巧： （1）知直线纵截距，常设其方程为； （2）知直线横截距，常设其方程为(它不适用于斜率为0的直线)； （3）知直线过点，当斜率存在时，常设其方程为，当斜率不存在时，则其方程为； （4）与直线平行的直线可表示为（）； （5）与直线垂直的直线可表示为. （6）已知直线l1：A1x+B1y+C1=0，直线l2：A2x+B2y+C2=0，则方程A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0表示过l1与l2交点的直线系（不含l2）.不仅可以建立直线方程还可解决直线过定点问题. 提醒：（1）求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式，利用待定系数法求解。 （2）求解直线方程的最后结果，如无特别强调，都应写成一般式. （3）求一个角的平分线所在的直线方程的方法： 法一、利用角的平分线所在的直线的方向向量 ①由顶点坐标（含线段端点）或直线方程求得角两边的方向向量； ②求出角平分线的方向向量 ③由点斜式或点向式得出角平分线方程。 {直线的点向式方程：过P（），其方向向量为，其方程为} 法二、利用角平分线定理： 法三、利用点到直线的距离公式：设为角平分线所在直线上的任意一点，通过到两边距离相等而得. 5、点到直线的距离及两平行直线间的距离： （1）点到直线的距离； （2）两平行线间的距离为。 提醒：（1）公式要求直线方程为一般式. （2）求平行直线间的距离时，一定要把 x、y项系数化成对应相等的系数. 6、直线与直线的位置关系： （1）平行（斜率）且（在轴上截距）； （2）相交； （3）重合且。 提醒：（1） 、、仅是两直线平行、相交、重合的充分不必要条件！为什么？ （2）在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合，而在立体几何中提到的两条直线都是指不重合的两条直线； （3）直线与直线垂直。 如（1）设直线和，当＝_______时∥；当＝________时；当_________时与相交；当＝_________时与重合（答：－1；；；3）； （2）已知直线的方程为，则与平行，且过点（—1，3）的直线方程是______（答：）； （3）两条直线与相交于第一象限，则实数的取值范围是____（答：）； （4）设分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对边的边长，则直线与的位置关系是____（答：垂直）； （5）已知点是直线上一点，是直线外一点，则方程＝0所表示的直线与的关系是____（答：平行）； （6）直线过点（１，０），且被两平行直线和所截得的线段长为9，则直线的方程是________（答：） 　7.对称是平面几何的基本变换，有关对称的一些结论　 ① 点（ａ，ｂ）关于ｘ轴、ｙ轴、原点、直线y=x的对称点分别是（ａ，－ｂ），（－ａ，ｂ），（－ａ，－ｂ），（ｂ，ａ） ② 如何求点A (ａ，ｂ）关于直线Ax+By+C=0的对称点? 点关于直线的对称点是什么？ ③ 直线Ax+By+C=0关于ｘ轴、ｙ轴、原点、直线y=x的对称的直线方程分别是什么，关于点（ａ，ｂ）对称的直线方程又是什么？你能用哪些方法来求一条直线关于另一条直线的对称直线？ ④ 如何处理与光的入射与反射问题？ 8、圆的方程： ⑴圆的标准方程：。 ⑵圆的一般方程：， 特别提醒：只有当时，方程才表示圆心为，半径为的圆（二元二次方程表示圆的充要条件是什么？ （且且））； 在圆的标准方程中有三个参数；在圆的一般方程 中，也有三个参数。所以说三个互相独立的条件确定一个圆。在平面几何中也是熟悉的事实：不共线的三点唯一地确定一个圆。 确定一个圆，包括确定圆的位置和大小两个方面。圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。又称圆心是圆的定位条件，半径是圆的定形条件。 ⑶圆的参数方程：（为参数），其中圆心为，半径为。 在参数方程中，当为参数，为常量时表示一个圆，有几何意义；而当为参数，为常量时，表示一条直线，也有几何意义。 圆的参数方程的主要应用是三角换元：； 。 ⑷为直径端点的圆方程 过两圆交点的圆系方程 设圆， 圆有公共点，则经过圆和圆的公共点的圆系方程为：（其中为参数，，方程不包括圆。）在有些问题中需检验圆是否也为所求；当时，该方程是一条直线的方程，此直线就是两圆的公共弦所在直线。 3. 过直线与圆的交点的圆系方程 设直线与圆有公共点，则过其交点的圆系方程为。 如（1）圆C与圆关于直线对称，则圆C的方程为____________（答：）； （2）圆心在直线上，且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是__________ （答：或）； （3）已知是圆（为参数，上的点，则圆的普通方程为________，P点对应的值为_______，过P点的圆的切线方程是___________（答：；；）； （4）如果直线将圆：x2+y2-2x-4y=0平分，且不过第四象限，那么的斜率的取值范围是____（答：[0，2]）； （5）方程x2+y２－x+y+k=0表示一个圆，则实数k的取值范围为____（答：）； （6）若（为参数，，，若，则b的取值范围是_________（答：） 8、点与圆的位置关系：已知点及圆，（1）点M在圆C外；（2）点M在圆C内 ；（3）点M在圆C上 。如点P(5a+1,12a)在圆(x－１)２＋y2=1的内部,则a的取值范围是______（答：） 9、直线与圆的位置关系：直线和圆 有相交、相离、相切。可从代数和几何两个方面来判断：（1）代数方法（判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况）：相交；相离；相切；（2）几何方法（比较圆心到直线的距离与半径的大小）：设圆心到直线的距离为，则相交；相离；相切。 提醒：判断直线与圆的位置关系一般用几何方法较简捷。 如（1）圆与直线，的位置关系为____（答：相离）； （2）若直线与圆切于点，则的值____（答：2）； （3）直线被曲线所截得的弦长等于 （答：）；（4）一束光线从点A(－1,1)出发经x轴反射到圆C:(x-2)2+(y-3)2=1上的最短路程是 （答：4）； （5）已知是圆内一点，现有以为中点的弦所在直线和直线，则A．，且与圆相交 　 B．，且与圆相交　　C．，且与圆相离 D．，且与圆相离（答：C）；（6）已知圆C：，直线L：。①求证：对，直线L与圆C总有两个不同的交点；②设L与圆C交于A、B两点，若，求L的倾斜角；③求直线L中，截圆所得的弦最长及最短时的直线方程. （答：②或　　③最长：，最短：） 10、圆与圆的位置关系（用两圆的圆心距与半径之间的关系判断）：已知两圆的圆心分别为，半径分别为，则（1）当时，两圆外离；（2）当时，两圆外切；（3）当时，两圆相交；（4）当时，两圆内切；（5）当时，两圆内含。 如双曲线的左焦点为F1，顶点为A1、A2，P是双曲线右支上任意一点，则分别以线段PF1、A1A2为直径的两圆位置关系为 （答：内切） 特别提醒：圆系方程有哪些？ （04年上海卷.文理8）圆心在直线上的圆C与y轴交于两点, 则圆C的方程为 . 两圆相交弦所在直线方程的求法：圆C1的方程为：x2+y2+D1x+E1y+C1=0.圆C2的方程为：x2+y2+D2x+E2y+C2=0. 把两式相减得相交弦所在直线方程为：(D1-D2)x+(E1-E2)y+(C1-C2)=0 注意：两圆相切要区分内切还是外切. 11、圆的切线与弦长： (1)切线：①过圆上一点圆的切线方程是：，过圆上一点圆的切线方程是：，一般地，如何求圆的切线方程？（抓住圆心到直线的距离等于半径）； ②从圆外一点引圆的切线一定有两条，可先设切线方程，再根据相切的条件，运用几何方法（抓住圆心到直线的距离等于半径）来求；③过两切点的直线（即“切点弦”）方程的求法：先求出以已知圆的圆心和这点为直径端点的圆，该圆与已知圆的公共弦就是过两切点的直线方程； ③切线长：过圆（）外一点所引圆的切线的长为（）； 如设A为圆上动点，PA是圆的切线，且|PA|=1，则P点的轨迹方程为__________（答：）； （2）弦长问题：①圆的弦长的计算：常用弦心距，弦长一半及圆的半径所构成的直角三角形来解：；②过两圆、交点的圆(公共弦)系为，当时，方程为两圆公共弦所在直线方程.。 12.解决直线与圆的关系问题时，要充分发挥圆的平面几何性质的作用(如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形，切线长定理、割线定理、弦切角定理等等)! 圆心在过切点垂直于切线的直线上 垂径定理：弦的垂直平分线过圆心（弦的中点与圆心的连线垂直弦所在的直线） 弦心距的d、半径r、弦长l的关系是什么？ 12.圆上一定到某点或者某条直线的距离的最大、最小值的求法。 （04年全国卷三. 文16）设P为圆上的动点，则点P到直线的距离的最小值为 . 点评：通过参数法，将几何问题转化为三角值域研究. 也可设切线，由求出C，最后由两平行线间距离公式求出最小值. 注意防止由于“零截距”和“无斜率”造成丢解