2019-2020年高中数学第1章统计5用样本估计总体教学案北师大版必修3.doc
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2019-2020年高中数学第1章统计5用样本估计总体教学案北师大版必修3 1．众数、中位数、平均数 (1)众数的定义： 一组数据中重复出现次数最多的数称为这组数的众数，一组数据的众数可以是一个，也可以是多个． (2)中位数的定义及求法： 把一组数据按从小到大的顺序排列，把处于最中间位置的那个数(或中间两数的平均数)称为这组数据的中位数． (3)平均数： ①平均数的定义： 如果有n个数x1、x2、…、xn，那么＝，叫作这n个数的平均数． ②平均数的分类： 总体平均数：总体中所有个体的平均数叫总体平均数． 样本平均数：样本中所有个体的平均数叫样本平均数． 2．标准差、方差 (1)标准差的求法： 标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示． s＝. (2)方差的求法： 标准差的平方s2叫作方差． s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]． 其中，xn是样本数据，n是样本容量，是样本均值． (3)方差的简化计算公式： s2＝[(x＋x＋…＋x)－n2] ＝(x＋x＋…＋x)－2. 3．极差 一组数据的最大值与最小值的差称为这组数据的极差． 4．数字特征的意义 平均数、中位数和众数刻画了一组数据的集中趋势，极差、方差刻画了一组数据的离散程度． [问题思考] 1．一组数据的众数一定存在吗？若存在，众数是唯一的吗？ 提示：不一定．若一组数据中，每个数据出现的次数一样多，则认为这组数据没有众数；不是，可以是一个，也可以是多个． 2．如何确定一组数据的中位数？ 提示：(1)当数据个数为奇数时，中位数是按从小到大顺序排列的中间位置的那个数． (2)当数据个数为偶数时，中位数为排列在最中间的两个数的平均值． 讲一讲 1.据报道，某公司的33名职工的月工资(单位：元)如下： 职务 董事长 副董事长 董事 总经理 经理 管理员 职员 人数 1 1 2 1 5 3 20 工资 5 500 5 000 3 500 3 000 2 500 2 000 1 500 (1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数． (2)假设副董事长的工资从5 000元提升到20 000元，董事长的工资从5 500元提升到30 000元，那么新的平均数、中位数、众数又是什么？(精确到元) (3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平，结合此问题谈一谈你的看法． [尝试解答] (1)平均数是＝1 500＋ ≈1 500＋591＝2 091(元)． 中位数是1 500元，众数是1 500元． (2)新的平均数是′＝1500＋ ≈1 500＋1 788＝3 288(元)． 中位数是1 500元，众数是1 500元． (3)在这个问题中，中位数或众数均能反映该公司员工的工资水平，因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平． 1．众数、中位数与平均数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要的量． 2．众数考查各个数据出现的频率，大小只与这组数据中的部分数据有关，当一组数据中有不少数据多次重复出现时，其众数往往更能反映问题． 3．中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响，中位数可能在所给的数据中，也可能不在所给的数据中．当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述它的某种集中趋势． 练一练 1．某公司销售部有销售人员15人，销售部为了制定某种商品的月销售定额，统计了这15人某月的销售量如下： 销售量(件) 1 800 510 250 210 150 120 人数 1 1 3 5 3 2 (1)求这15位销售人员该月销售量的平均数、中位数及众数； (2)假设销售部负责人把月销售额定为320件，你认为是否合理，为什么？如不合理，请你制定一个较为合理的销售定额． 解：(1)平均数为(1 8001＋5101＋2503＋2105＋1503＋1202)＝320(件)，中位数为210件，众数为210件． (2) 不合理，因为15人中有13人的销售量未达到320件，也就是说，虽然320是这一组数据的平均数，但它却不能反映全体销售人员的销售水平．销售额定为210件更合理些，这是由于210既是中位数，又是众数，是大部分人都能达到的定额. 讲一讲 2.甲、乙两机床同时加工直径为100 cm的零件，为了检验质量，各从中抽取6件进行测量，分别记录数据为： 甲：99 100 98 100 100 103 乙：99 100 102 99 100 100 (1)分别计算两组数据的平均数及方差； (2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定． [尝试解答] (1)甲＝(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100， 乙＝(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100， s＝[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝， s＝[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1. (2)两台机床所加工零件的直径的平均数相同，又s>s，所以乙机床加工零件的质量更稳定． 在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要研究方差，方差描述了数据相对平均数的离散程度，在平均数相同的情况下，方差越大，离散程度越大，数据波动性越大，稳定性就越差；方差越小，数据越集中，质量越稳定． 练一练 2．对划艇运动员甲、乙两人在相同的条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度(单位：m/s)的数据如下： 甲：27 38 30 37 35 31 乙：33 29 38 34 28 36 根据以上数据，试估计两人最大速度的平均数和标准差，并判断他们谁更优秀． 解：甲＝(27＋38＋30＋37＋35＋31)＝＝33， s＝[(27－33)2＋(38－33)2＋(30－33)2＋(37－33)2＋(35－33)2＋(31－33)2]＝， s甲＝≈3.96， 乙＝(33＋29＋38＋34＋28＋36)＝＝33， s＝[(33－33)2＋(29－33)2＋(38－33)2＋(34－33)2＋(28－33)2＋(36－33)2]＝， s乙＝≈3.56. 由上知，甲、乙两人最大速度的平均数均为33 m/s，甲的标准差为3.96 m/s，乙的标准差为3.56 m/s，说明甲、乙两人的最大速度的平均值相同，但乙的成绩比甲的成绩更稳定，故乙比甲更优秀． 讲一讲 3.在一次科技知识竞赛中，两组学生的成绩如下表： 分数 50 60 70 80 90 100 人数 甲组 2 5 10 13 14 6 乙组 4 4 16 2 12 12 已经算得两个组的平均分都是80分．请根据你所学过的统计知识，进一步判断这两个组在这次竞赛中的成绩谁优谁劣，并说明理由． [尝试解答] (1)甲组成绩的众数为90分，乙组成绩的众数为70分，从成绩的众数比较看，甲组成绩好些． (2)甲＝(502＋605＋7010＋8013＋9014＋1006) ＝4 000＝80(分)， 乙＝(504＋604＋7016＋802＋9012＋10012)＝4 000＝80(分)． s＝[2(50－80)2＋5(60－80)2＋10(70－80)2＋13(80－80)2＋14(90－80)2＋6(100－80)2]＝172， s＝[4(50－80)2＋4(60－80)2＋16(70－80)2＋2(80－80)2＋12(90－80)2＋12(100－80)2]＝256. ∵s
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