2019-2020年高中数学第二章平面向量2.5平面向量应用举例2.5.1平面几何中的向量方法课后集训新人教A版必修.doc

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2019-2020年高中数学第二章平面向量2.5平面向量应用举例2.5.1平面几何中的向量方法课后集训新人教A版必修 基础达标 1.在菱形ABCD中，下列关系式不正确的是（ ） A.∥ B.（+）⊥(+) C.（-）(-)=0 D.= 解析：A正确；B、C正确，因为菱形两对角线互相垂直；D不正确，因为、夹角与、夹角互补. 答案：D 2.已知A（2，1）、B（3，2）、C（-1，4），则△ABC是（ ） A.等边三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形 解析：=（1，1），=（-3，3）. ∵=0，∴AB⊥AC. ∴△ABC为直角三角形. 答案：C 3.在四边形ABCD中，若=，且||=||+1，=0，则四边形ABCD是（ ） A.矩形 B.菱形 C.梯形 D.正方形 解析：由=得四边形为平行四边形，又因为=0，所以AB⊥BC，且||≠||,所以选A. 答案：A 4.已知ABCD的顶点B（1，1），C（4，2），D（5，4）,则顶点A的坐标为（ ） A.（2，3） B.（3，3） C.（3，4） D.（1，3） 解析：设A（x,y）,则=, 即（1-x,1-y）=(-1,-2), ∴∴ 答案：A 5.在△ABC中，若（+）（-）=0，则△ABC为（ ） A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.无法确定 解析：由条件得（+）=0，由平行四边形法则，取AB中点D，则+=2， ∴⊥, ∴△ABC为等腰三角形. 答案：C 6.如右图，在△ABC中，若||=4，||=5.||=,则∠A=______________. 解析：∵=-, ∴, 即||2=||2-2||||cos∠A+||2. ∴cos∠A= =.∴∠A=60. 答案：60 综合运用 7.在矩形ABCD中，=，=，设=（a,0）,=(0,b),当⊥时，求得的值为（ ） A. B. C.2 D.3 解析：由条件可得 =+=+ =+=（）, =-=-=（，-b）. ∵⊥, ∴==0, ∴=. 答案：A 8.O为空间中一定点，动点P在A、B、C三点确定的平面内且满足（-）（-）=0，则点P一定在过△ABC的__________的直线上（ ） A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 解析：由条件⊥，∴P在CB的高线上，故选D. 答案：D 9.(xx湖南文，9)P是△ABC所在平面上一点，若==，则P是△ABC的（ ） A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 解析：由=得（-）=0，即=0， ∴P在CA的高线上，同理可得P也在AB的高线上，故P为△ABC的垂心. 答案：D 拓展探究 10.已知△ABC的面积为14 cm2,D、F分别为边AB、BC上的点，且AD∶DB=BE∶EC=2∶1，求△APC的面积. 思路分析：考查灵活利用平面向量基本定理和向量共线的等价条件.可用基本定理和共线条件求出点P的位置后用比例关系计算面积，也可用坐标工具来进行上述运算. 解析：如右图，设=a，=b为一组基底，则=a+b，=a+b. ∵点A、P、E和D、P、C分别共线， ∴存在λ和μ，使 =λ=λa+λb， =μ=μa+μb. 又∵=+=(+μ)a+μb, ∴解得 于是，△PAB的面积=14=8（cm2）, △PBC的面积=14（1-）=2（cm2）. 故△APC的面积=14-8-2=4（cm2）. 备选习题 11.设I是△ABC的内心，当AB=AC=5，且BC=6时，=λ+μ，则λ=_____________, μ=_____________. 解析：如右图所示，设AI交BC于D点.∵AB=AC，∴△ABC为等腰三角形，∴D为BC的中点，∴AD⊥BC,以BC为x轴，AD为y轴建立平面直角坐标系，则A（0，4），B（-3，0），C（3，0），设I（0，y）则=（3，4），BI=（3，y），=（3，0），由∠ABI=∠IBD得. 代入坐标解得y=,∴=(0,-). 由条件(0,)=λ(-3,-4)+μ(6,0), ∴λ=,μ=. 答案： 12.证明正方形的对角线互相垂直平分. 证明：如右图，设一组基底=a，=b，则=a+b.=a-b, ∵=(a+b)(a-b) =a2-b2=|a|2-|b|2=0， ∴⊥,即BD⊥AC. 设AC与BD交于O点， ∵与共线， ∴=λ=λ（a+b）,① 又∵与共线，∴=μ=μ（a-b）, ∵在△BOC中=+. =b+μa-μb=μa+(1-μ)b② 由①②得：解得λ==μ. ∴AC与BD互相平分. 综上，正方形的对角线垂直且互相平分. 13.利用平面向量证明：顺次连结菱形四边中点的四边形是矩形. 证明：如右图，设E、F、G、H分别是菱形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，则=+=（+）=，= +=（+）=. ∴=,∴EFHG,故有EFGH.① ∵=+=（+）=（-）， ∴=（+）（-） =（||2-||2）=0， ∴⊥.② 由①②知，EFGH是矩形. 14.经过△OAB重心G的直线与OA、OB分别交于P、Q两点，若=m，=n，求证：=3. 证明：∵如右图所示，点G是△OAB的重心， ∴=(+) ∴=- =(+)-m=(-m)+, 由于P、G、Q三点共线，则存在实数λ,使=λ=λ［（-m）+］ 又∵=-=n-m 即n-m=λ［（-m）+］ =λ（-m）+λ， ∴消去λ，得 15.已知ABCD是边长为6的正方形，E为AB的中点，点F在边BC上，且BF∶FC=2∶1，AF与EC相交于点P.求四边形APCD的面积. 解：建如右图坐标系,则有A（0,0）,B(6,0),C(6,6),D(0,6). ∴F(6,4),E(3,0). 设P（x,y）则有=（x,y）,=(6,4),=(x-3,y),=(3,6),由∥，∥, 得解得 ∴S=ADx+CD(6-y)=. ∴四边形的面积为.