2019-2020年高中数学 2.1.1矩阵的概念教案 苏教版选修4-2.doc

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2019-2020年高中数学 2.1.1矩阵的概念教案 苏教版选修4-2 教学目标： 知识与技能：1.掌握矩阵的概念以及基本组成的含义(行、列、元素) 2.掌握零矩阵、行矩阵、列矩阵、矩阵相等的概念. 3.尝试将矩阵与生活中的问题联系起来, 用矩阵表示丰富的问题, 体会矩阵的现实意义. 过程与方法： 从具体的实例开始，通过具体的实例让学生认识到，某些几何变换可以用矩阵来表示，丰富学生对矩阵几何意义的理解，并引导学生用映射的观点来认识矩阵、解线性方程组 情感、态度与价值观： 体会代数与几何的有机结合，突出数形结合的重要思想 教学重点：矩阵的概念以及基本组成的含义 教学难点：矩阵的概念以及基本组成的含义 教学过程： 一、问题情境: y x 2 3 O P (2, 3) 设O(0, 0)，P(2, 3)，则向量 = (2, 3)，将的坐标排成一列，并简记为 2 3 2 3 2．日常生活——矩阵 （1）某电视台举办歌唱比赛，甲、乙两名选手初、复赛成绩如下： 初赛 复赛 甲 80 90 乙 86 88 （2）某牛仔裤商店经销A、B、C、D、E五种不同牌子的牛仔裤，其腰围大小分别有28英寸、30英寸、32英寸、34英寸四种，在一个星期内，该商店的销售情况可用下列矩阵形式表示： A B C D E 28英寸 1 3 0 1 2 30英寸 5 8 6 1 2 32英寸 2 3 5 6 0 34英寸 0 1 1 0 3 3．图——矩阵 A B C D A B C D 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 B A C D 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 A B C A 0 3 1 B 3 0 0 C 1 0 2 A C B 二、建构数学 矩阵： 记号：A，B，C，…或（aij）(其中i,j分别元素aij所在的行和列) 要素：行——列——元素 矩阵相等行列数目相等并且对应元素相等。 特别：（1）21矩阵，22矩阵（二阶矩阵），23矩阵 （2）零矩阵 （3）行矩阵：[a11,a12] 列矩阵：，一般用a，b等表示。 （4）行向量与列向量 三、教学运用 A B C y x O 例1、用矩阵表示图中的△ABC , 其中A(-1 , 0) , B(0 , 2) , C(2 , 0) . 思考: 如果用矩阵M= 表示平面中的图形, 那么该图形有什么几何特征? 例2、某种水果的产地为A1 , A2 , 销地为B1 , B2 , 请用矩阵表示产地Ai 运到销地Bj 的水果数量(aij), 其中i=1 , 2 , j=1 , 2 . 例3、用矩阵表示下列方程组中的未知量的系数. (1) (2) 例4、已知A= , B= , 若A=B , 试求x , y , z . 四、课堂小结 五、课堂练习： 1.书P10 1 , 2 , 4 2.设A= , B= , 若A=B , 试求x , y , m , n的值. 六、回顾反思： 七、课外作业： 1.用矩阵表示图中的△ABC, 其中A(2 , 3) , B(-4, 6), C(5 , -3). y x A C B O 2.在学校组织的数学智力竞赛中, 甲、乙、丙三位同学获得的成绩分别为: 甲95分, 乙99分, 丙89分, 如果分别用1 , 2 , 3表示甲、乙、丙三位同学, 试用矩阵表示各位同学的得分情况. 3.设A= , B= , 若A=B , 试求x , y , m , n . 4.下图是各大洋面积统计表. 海洋名 面积/万千米2 太平洋 17967.9 大西洋 9165.5 印度洋 7617.4 北冰洋 1475.0 如果分别用1 , 2 , 3 , 4表示太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋, 试用矩阵表示各大洋的面积. 5.请设计一个可用矩阵 来表示的实际问题. 2.1.2二阶矩阵与平面列向量的乘法- 教学目标： 知识与技能： 1.掌握二阶矩阵与列向量的乘法规则, 并了解其现实背景. 2.理解变换的含义, 了解变换与矩阵之间的联系. 3.能够熟练进行由矩阵确定的变换 过程与方法： 从具体的实例开始，通过具体的实例让学生认识到，某些几何变换可以用矩阵来表示，丰富学生对矩阵几何意义的理解，并引导学生用映射的观点来认识矩阵、解线性方程组 情感、态度与价值观：体会代数与几何的有机结合，突出数形结合的重要思想 教学重点：二阶矩阵与列向量的乘法规则 教学难点：二阶矩阵与列向量的乘法规则 教学过程： 一、问题情境: 在某次歌唱比赛中, 甲的初赛和复赛的成绩用A=[80 90]表示, 乙的初赛和复赛成绩用B=[60 85]表示, C=表示初赛和复赛成绩在比赛总分中所占的比重, 那么如何用矩阵的形式表示甲、乙的最后成绩呢? 二、建构数学 1.行矩阵和列矩阵的乘法规则 2.二阶矩阵与列向量的乘法规则 3.变换 三、教学运用 例1、计算: (1) (2) (3) 例2、求在矩阵 对应的变换作用下得到点(3 , 2)的平面上的点P的坐标. 例3、(1)已知变换 , 试将它写成坐标变换的形式; (2)已知变换→, 试将它写成矩阵乘法的形式. 例4、 求△ABC在矩阵 对应的变换作用下得到的几何图形, 其中A(1 , 2) , B(0 , 3) , C(2 , 4). 例5、求直线y=2x在矩阵 作用下变换得到的图形. 四、课堂小结 五、课堂练习： 六、回顾反思： 七、课外作业： 1.计算 (1) (2) 2. (1)已知→ , 试将它写成坐标变换形式; (2)已知→, 试将它写成矩阵的乘法形式. 3. (1)点A(5 , 7)在矩阵 对应的变换作用下得到的点为________ ; (2)在矩阵 对应的变换作用下得到点(19 , -19)的平面上点P的坐标为 . 4.已知矩阵P=, Q=且Px=Q , 求矩阵x . 5.线段AB , A(-2 , 3) , B(1 , -4)在矩阵 作用下变换成何种图形? 与原线段有何区别? 6.求直线x+y=1在矩阵 作用下变换所得图形. 2.2几种常见的平面变换（1）-恒等变换、伸压变换 教学目标： 知识与技能： 1.掌握恒等变换矩阵和伸压变换矩阵的特点. 2.熟练运用恒等变换和伸压变换进行平面图形的变换 过程与方法： 借助立体几何图形的三视图来研究平面图形的几何变换，让学生感受具体到抽象的过程 情感、态度与价值观： 提供自主探索的空间，通过研究实例，学会从实际出发探究问题，总结过程，得出结论。 教学重点：恒等变换、伸压变换的概念 教学难点：恒等变换、伸压变换的矩阵 教学过程： 一、问题情境: 已知△ABC , A(2 , 0) , B(-1 , 0) , C(0 , 2) , 它们在变换T作用下保持位置不变, 能否用矩阵M来表示这一变换? 二、建构数学 1.恒等变换矩阵(单位矩阵) 2.恒等变换 3.伸压变换矩阵 4.伸压变换 三、教学运用 例1、求x2+y2=1在矩阵M= 作用下的图形 例2、已知曲线y=sinx经过变换T作用后变为新的曲线C , 试求变换T对应的矩阵M , 以及曲线C的解析表达式. 例3、验证图C : x2+y2=1在矩阵A= 对应的伸压变换下变为一个椭圆, 并求此椭圆的方程. 四、课堂小结： 五、课堂练习：P33 1 , 2 . 六、回顾反思： 七、课外作业： 1.已知平行四边形ABCD, A(-1 , 0) , B(0 , 2) , C(3 , 2) , D(0 , 2) , 它们在变换T作用前后保持位置不变, 则变换矩阵M=__________ . 2.已知菱形ABCD, A(2 , 0) , B(0 , 1) , C(-2 , 0) , D(0 , -1), 在矩阵M= 作用下变为A′, B′, C′, D′, 求A′, B′, C′, D′的坐标, 并画出图形. 3.求△OBC在矩阵 作用下变换的结果, 其中O为原点, B(-1 , 0) , C(1 , 0) . 4.求正方形ABCD在矩阵 作用下得到的图形, 并画出示意图, 其中A(1 , 0) , B(0 , 1) , C(-1 , 0) , D(0 , -1) . 5.求抛物线 y=x2在矩阵 作用下得到的新的曲线C , 并求曲线C的函数表达式. 6.研究函数y=cosx在矩阵变换作用下的结果. 2.2几种常见的平面变换（2）-反射变换 教学目标： 知识与技能：1.理解反射变换的有关概念, 熟知常用的几种反射变换矩阵. 2.能熟练地对各种平面图形进行反射变换. 过程与方法： 借助立体几何图形的三视图来研究平面图形的几何变换，让学生感受具体到抽象的过程 情感、态度与价值观： 提供自主探索的空间，通过研究实例，学会从实际出发探究问题，总结过程，得出结论。 教学重点：反射变换的概念 教学难点：反射变换矩阵 教学过程： 一、问题情境: 已知在平面直角坐标的第一象限有一张汽车图片F, 将它做关于x轴、y轴和坐标原点对称的变换, 分别得到图片F1 , F2 , F3 , 这些变换能用矩阵来刻画吗? 二、建构数学: 1.反射变换的有关概念 2.常用的几种反射变换矩阵 3.二阶非零矩阵对应的变换的特点及线性变换. 三、教学运用 例1、求直线y=4x在矩阵 作用下变换所得的图形. 例2、求曲线y=(x≥0)在矩阵 作用下变换所得的图形. 例3、求矩形OBCD在矩阵 作用下变换所得的图形, 并画出示意图, 其中O(0 , 0), B(2 , 0) , C(2 , 1), D(0 , 1). A E B C D 1 2 3 1 4 2 3 y x 练习: 1.如图, 已知格纸上有一面小旗子, 请在格纸上画出它关于x轴、y轴和原点对称的图形, 并利用矩阵计算进行验证. 2.求平行四边形ABCD在矩阵M= 作用下变换所得的 几何图形, 并画出示意图, 其中A(0 , 0), B(3 , 0) , C(4 , 2), D(1 , 2). 四、课堂小结： 五、课堂练习： 六、回顾反思： 七、课外作业： 1. 将图形变换为关于x轴对称的图形的变换矩阵为_____________ . 将图形变换为关于y轴对称的图形的变换矩阵为_____________ . 将图形变换为关于原点对称的图形的变换矩阵为_____________ . 2.求△ABC在矩阵M= 作用下变换得到的图形, 其中A(1 , 1) , B(4 , 2) , C(3 , 0) . 3.求出曲线y=(x>0)在矩阵M= 作用下变换得到的曲线. 4.求曲线y=lgx(x>0), 在矩阵M= 作用下变换得到的曲线. 5.求曲线y=经M1= 和M2= 作用下变换得到的曲线. 2.2几种常见的平面变换（3）-旋转变换 教学目标： 知识与技能：1.理解旋转变换的有关概念, 掌握旋转变换的特点. 2.熟练运用旋转变换矩阵对平面图形进行旋转变换 过程与方法： 借助立体几何图形的三视图来研究平面图形的几何变换，让学生感受具体到抽象的过程 情感、态度与价值观： 提供自主探索的空间，通过研究实例，学会从实际出发探究问题，总结过程，得出结论。 教学重点：旋转变换的概念 教学难点：旋转变换矩阵 教学过程： 一、问题情境: y x P P′ O 如图, OP绕O点逆时针方向旋转θ角到OP′, 这种几何变换如何用矩阵来刻画? 二、建构数学: 1.旋转变换的有关概念 2.旋转变换的特点 三、教学运用 例1、已知A(0 , 0), B(2 , 0) , C(2 , 1) , D(0 , 1) , 求矩形ABCD绕原点逆时针旋转90后得到的图形, 并求出其顶点坐标, 画出示意图. 思考: 若旋转30, 结果如何呢? 旋转45呢? 例2、求△ABC在矩阵M= 作用下变换得到的图形, 并画出示意图, 其中A(0 , 0) , B(2 , ), C(0 , 3) . 例3、已知曲线C : y=lgx , 将它绕原点顺时针旋转90得到曲线C′, 求C′的方程. 四、课堂小结： 五、课堂练习：练习: 书P33 7 , 8 六、回顾反思： 七、课外作业： 1.矩阵 对应的旋转变换的旋转角θ=____________ . 矩阵 对应的旋转变换的旋转角θ=____________ (0≤θ<360) 2.已知△ABC, A(0 , 0) , B(2 , 0) , C(1 , 2) , 求△ABC绕原点逆时针旋转90后所得到的图形, 并求出其顶点坐标, 画出示意图. 3.已知 ABCD, A(0 , 0) , B(2 , 0) , C(3 , 1) , D(1 , 1) , 求 ABCD绕原点顺时针旋转90后所得到的图形, 并求出其顶点坐标. 4.研究函数y=sinx , x∈[0 , 2π]的图象绕原点逆时针旋转90得到的曲线. 5.已知曲线xy=1 , 将它绕原点顺时针旋转90后得到什么曲线? 曲线方程是什么? 2.2几种常见的平面变换（4）-投影变换 教学目标： 知识与技能：1.理解投影变换的有关概念, 掌握投影变换的特点. 2.熟知常用的几种投影变换矩阵, 能熟练地对各种平面图形进行投影变换. 过程与方法： 借助立体几何图形的三视图来研究平面图形的几何变换，让学生感受具体到抽象的过程 情感、态度与价值观： 提供自主探索的空间，通过研究实例，学会从实际出发探究问题，总结过程，得出结论。 教学重点：投影变换的概念 教学难点：投影变换的矩阵 教学过程： 一、问题情境: 1.研究矩阵 所确定的变换. 2.研究矩阵 所确定的变换. 二、建构数学： 1.投影变换矩阵, 投影变换. 2.投影变换的特点. 三、教学运用 例1、矩阵 对应的变换是投影变换吗? 它的变换作用如何? 例2、研究线段AB在矩阵 作用下变换得到的图形, 其中A(0 , 0) , B(1 , 2). 例3、研究直线x+y=0在矩阵 作用下变换得到的图形. 例4、△ABC在矩阵 作用下变换得到何种图形? 并画出示意图, 其中A(1, 1) , B(1 , 0) , C(0 , 1) . 四、课堂小结： 五、课堂练习：练习: P34 9 , 10 六、回顾反思： 七、课外作业： 1.直线x+2y=5在矩阵 对应的变换作用下变成了什么图形? 2.研究△ABC在矩阵 作用下其面积发生了什么变化? 其中A(1 , 1) , B(2 , 0) , C(3 , 1) 3.圆x2+y2=1在矩阵 对应的变换作用下变成了何种图形? 4.求直线y=4x在矩阵 变换后, 再经过矩阵 的变换, 最终得到什么图形? 5.说明线段AB在矩阵 作用下变换得到的图形, 其中A(1 , 1) , B(2 , 3). 2.2几种常见的平面变换（5）-切变变换 教学目标： 知识与技能：1.掌握切变变换的特点, 熟知常用的几种切变变换矩阵. 2.能熟练地对各种平面图形进行切变变换 过程与方法： 借助立体几何图形的三视图来研究平面图形的几何变换，让学生感受具体到抽象的过程 情感、态度与价值观： 提供自主探索的空间，通过研究实例，学会从实际出发探究问题，总结过程，得出结论。 教学重点：切变变换的概念 教学难点：切变变换的矩阵 教学过程： 一、问题情境: 二、建构数学： 1.切变变换 2.切变变换矩阵 3.切变变换的特点 三、教学运用 例1、如图所示, 已知矩形ABCD在变换T的作用下变成图形A′B′C′D′, 试求变换T对应的矩阵M . y x 1 2 D′ 1 C′ A′ B′ 3 y x 1 2 D 1 C A B 例2、求矩形ABCD在矩阵作用下变换得到的几何图形, 其中A(-2 , 0) , B(2 , 0), C(2 , 2) , D(-2 , 2) , 并说明图形的变换特点. 例3、求把三角形ABC变成三角形A′B′C′的变换矩阵, 其中A(2 , 1) , B(1 , 3) , C(4 , 2) , A′(, 1), B′(, 3) , C′(5 , 2) . 例4、研究函数y=cosx在矩阵 变换作用下的结果. 四、课堂小结： 五、课堂练习：练习: P34 11 , 12 六、回顾反思： 七、课外作业： 1.矩阵 的作用是把平面上的点P(x , y)沿x轴方向平移________个单位, 当y>0时 , 沿x轴_______方向移动, 当y<0时, 沿x轴________方向移动, 当y=0时, 原地不动, 在此变换作用下, __________上的点为不动点. 2.直线x－2y=3在矩阵 对应的变换作用下变成了什么图形? 画出此图形. 3.求曲线y=|x|在矩阵 对应的变换作用下变成的图形. 4.求出正方形ABCD在矩阵M= 作用后的图形, 其中A(0 , 0) , B(2 , 0) , C(2 , 2) , D(0 , 2). y x B A C O y x O A′ C′ B′ 5.求把△ABC变换成△A′B′C′的变换矩阵, 其中A(-2 , 1) , B(0 , 1) , C(0 , -1) , A′(-2 , -3), B′(0 , 1), C′(0 , -1) . 2.3.1矩阵乘法的概念 教学目标： 知识与技能：1.掌握二阶矩阵乘法法则及矩阵乘法的几何意义. 2.能灵活运用矩阵乘法进行平面图形的变换 . 3.了解初等变换及初等变换矩阵的含义. 过程与方法：从实例中理解矩阵乘法的代数运算和几何意义，掌握运算规则，从几何角度验证乘法规则 情感、态度与价值观： 教学重点：二阶矩阵乘法法则及矩阵乘法的几何意义 教学难点：二阶矩阵乘法法则及矩阵乘法的几何意义 教学过程： 一、问题情境: 对向量先做变换矩阵为N=的反射变换T1, 得到向量, 再对所得向量做变换矩阵为M=的伸压变换T2得到向量, 这两次变换能否用一个矩阵来表示? 二、建构数学： 1.矩阵乘法的乘法规则 2.矩阵乘法的几何意义 3.初等变换, 初等变换矩阵 三、教学运用 例1、(1)已知A=, B=; 计算AB . (2)已知A=, B= , 计算AB, BA . (3)已知A=, B=, C=, 计算AB、AC . 例2、已知A=, 求A2, A3 , A4 , 你能得到An的结果吗? (n∈N*) 例3、已知梯形ABCD, 其中A(0 , 0) , B(3 , 0) , C(1 , 2) , D((1 , 2), 先将梯形作关于x轴的反射变换, 再将所得图形绕原点逆时针旋转90. (1)求连续两次变换所对应的变换矩阵M ; (2)求点A , B , C , D在TM作用下所得到的结果; (3)在平面直角坐标系内画出两次变换对应的几何图形, 并验证(2)中的结论. 例4、已知A= , B= , 求AB, 并对其几何意义给予解释. 四、课堂小结： 五、课堂练习：练习: P46 1 , 2 六、回顾反思： 七、课外作业： 1.计算: (1) (2) (3) (4) 2.已知A= , 求A2 , A3 , 你能得到An的结果吗? (n∈N*) . 3.计算, 并用文字描述二阶矩阵对应的变换方式. 4.已知△ABC, 其中A(1 , 2), B(2 , 0), C(4 , -2), 先将三角形绕原点按顺时针旋转90, 再将所得图形的横坐标伸长为原来的3倍, 纵坐标不变. (1)求连续两次变换所对应的变换矩阵M ; (2)求点A , B , C在变换矩阵M作用下所得到的结果; (3)如果先将图形的横坐标伸长为原来的3倍, 再将所得图形绕原点顺时针旋转90, 则连续两次变换所对应的变换矩阵M′是什么呢? 5.设m , n∈k , 若矩阵A=把直线l : x－5y+1=0变换成另一直线 l′: 2x+y+3=0, 试求出m , n的值. 2.3.2矩阵乘法的的简单性质 教学目标： 知识与技能：1.能从矩阵运算和图形变换的角度理解矩阵乘法的简单性质. 2.能运用矩阵乘法的简单性质进行矩阵乘法的运算 过程与方法： 情感、态度与价值观： 教学重点：矩阵乘法的简单性质 教学难点：矩阵乘法的简单性质 教学过程： 一、问题情境: 实数的乘法满足交换律、结合律和消去律, 那么矩阵的乘法是否也满足这些运算律呢? 二、建构数学： 1.矩阵的乘法不满足交换律 2.矩阵的乘法满足结合律 3.矩阵的乘法不满足消去律 三、教学运用： 例1、已知梯形ABCD , A(0 , 0) , B(3 , 0) , C(2 , 2 ) , D(1 , 2) , 变换T1对应的矩阵P=, 变换T2对应的矩阵Q=, 计算PQ , QP , 比较它们是否相同, 并从几何变换的角度予以解释. 例2、已知M= , P=, Q=, 求PMQ . 例3、已知M= , N= , J= . (1)试求满足方程MX=N的二阶方阵X ; (2)试求满足方程JYN=M的二阶方阵Y . 例4、已知A= , B= , 证明AB=BA , 并从几何变换的角度予以解释. 四、课堂小结： 五、课堂练习：练习: P46 1 , 2 六、回顾反思： 七、课外作业： 1.(1)已知M=, N=, 求MN , NM . （2）已知M= , N=, 求MN , NM . 2.已知A= , P= , Q= , 求PAQ . 3.证明下列等式, 并从几何变换的角度给予解释. (1) = (2) = 4.已知△ABC , A(0 , 0) , B(2 , 0), C(1 , 2) , 对它先作M=对应的变换, 再作N=对应的变换, 试研究变换作用后的结果, 并用一个矩阵来表示这两次变换. y x A B C C′ B′ A′ O 1 2 -1 1 2 3 5.两个矩阵的乘法的几何意义是对应变换的复合, 反过来, 可以对平面中的某些几何变换进行简单的分解, 你能根据如图所示变换后的图形进行分解, 从而知道它是从原来图形经过怎样的复合变换过来的吗? 2.4.1逆矩阵的概念 教学目标： 知识与技能：1.理解逆变换和逆矩阵的概念, 能用几何变换的观点判断一个矩阵是否存在逆矩阵. 2.掌握求矩阵的逆矩阵的方法. 3.掌握AB可逆的条件及(AB) -1 的求法, 理解矩阵乘法满足消去解的条件 . 过程与方法： 情感、态度与价值观： 教学重点：逆变换和逆矩阵的概念 教学难点：求矩阵的逆矩阵 教学过程： 一、问题情境: 已知二阶矩阵对应的变换把点(x , y)变换为 (x′, y′) , 是否存在一个变换能把点(x′, y′)变换为(x , y)呢? 二、建构数学： 1.逆变换和逆矩阵的概念 注: ①如果A可逆, 那么逆矩阵唯一. ②二阶矩阵可逆的条件 2.逆矩阵的求法: ①定义法 ②几何变换法 3.AB可逆的条件及(AB) -1 的求法 4.矩阵乘法满足消去解的条件. 三、教学运用： 例1、用几何变换的观点判断下列矩阵是否存在逆矩阵, 若存在, 求出其逆矩阵. (1)A= (2)B= (3)C= (4)D= 例2、求下列矩阵的逆矩阵. (1)A= (2) B= 例3、试从几何变换的角度求解AB的逆矩阵. (1) A= , B= (2) A= , B= 例4、设可逆矩阵A= 的逆矩阵A -1 = , 求a , b . 四、课堂小结： 五、课堂练习：P63 1. (1) (2) 2. (1) 六、回顾反思： 七、课外作业： 1.用几何变换的观点判断下列矩阵是否存在逆矩阵, 若存在, 把它求出来. (1) A= (2) B= (3) C= (4) D= 2.求下列矩阵的逆矩阵 (1) A= (2) B= (3) C= 3.试从几何变换的角度求矩阵AB的逆矩阵. (1) A= , B= (2) A= , B= 4.已知矩阵A=, B=, 求A-1 , B-1 , (AB)-1 5.已知二阶矩阵A , B , C的逆矩阵分别为A -1 , B -1 , C -1 , 那么(ABC) -1 , (ACB) -1 , (BCA) -1 分别等于什么? 你能将你的结论作进一步的推广吗? 2.4.2二阶矩阵与二元一次方程组 教学目标： 知识与技能：1.掌握二阶行列式的定义及运算方法, 了解行列式与矩阵的异同. 2.掌握运用行列式解方程组的方法. 3.能利用逆矩阵理解二元一次方程组的求解过程, 掌握从几何变换的角度判断方程组的解的情况 过程与方法： 情感、态度与价值观： 教学重点：二阶行列式的定义及运算方法 教学难点：运用行列式解方程组 教学过程： 一、问题情境: 关于x , y的二元一次方程组当ab－bc≠0时, 方程的解为, 观察方程组的解的结果, 与矩阵, , 有何联系? 二、建构数学： 1.二阶行列式及运算公式; 2.二元一次方程组的行列式解法; 3.利用逆矩阵理解二元一次方程组的求解过程及从几何变换的角度判断方程组的解的情况. 三、教学运用： 例1、利用行列式解方程组. 思考: 如何用逆矩阵的知识解这个方程组? 例2、利用行列式方法求矩阵A=的逆矩阵. 例3、试从几何变换的角度说明方程组 解的存在性和唯一性. 例4、已知二元一次方程组Ax=B, A=, B=, 试从几何变换的角度研究方程组解的情况. 四、课堂小结： 五、课堂练习： 1.设A=, x=, B=, 用两种方法解方程组Ax=B ; 2.已知方程组Ax=B , A=, x=, B=, 试从几何变换的角度研究方程组解的情况. 六、回顾反思： 七、课外作业： 1.已知M= , 且det(M)=0 , 求λ. 2.设A= , B= . (1)计算det(A) , det(B) (2)判断矩阵AB是否可逆, 若可逆, 求其逆矩阵. 3.利用行列式解下列方程组: (1) (2) 4.设A= , x=, B=, 用两种方法解方程Ax=B . 5.试从几何变换角度说明方程的解的存在性和唯一性. 6.已知=A, 求使等式成立的矩阵A . 2.5特征值与特征向量（1） 教学目标： 知识与技能： 1.理解特征值与特征向量的含义. 2.掌握求矩阵的特征值和特征向量的方法, 并能从几何变换的角度加以解释. 过程与方法： 情感、态度与价值观： 教学重点：特征值与特征向量的含义 教学难点：求矩阵的特征值和特征向量 教学过程： 一、问题情境: 已知伸压变换矩阵M=, 向量α=和β=在M对应的变换作用下得到的向量α′和β′分别与α, β有什么关系? 对伸压变压矩阵N=呢? 二、建构数学： 1.矩阵的特征值和特征向量的定义. 2.特征多项式 3.矩阵M=的特征值和特征向量的计算方法: (1)构造特征多项式f (λ)=0; (2)解方程f(λ)=0 ; (2)将λ代入, 求出对应的一个特征向量. 注: 如果向量α是属于λ的特征向量, 那么tα(t∈R , t≠0)也是属于λ的特征向量. 三、教学运用： 例1.求下列矩阵的特征值和特征向量, 并从几何变换的角度加以解释. (1)A= (2) B= 例2.已知A=, P=, Q=, 试求矩阵PAQ的特征值与特征向量. 例3.已知α是矩阵M属于特征值λ=3的特征向量, 其中M=, α=, 且a+b+m=3 , 求a , b , m . 四、课堂小结： 五、课堂练习：P72 1 六、回顾反思： 七、课外作业： 1.向量在矩阵变换下（ ） A.改变了方向, 长度不变 B.改变了长度, 方向不变 C.方向和长度都不变 D.以上都不对 2.下列对于矩阵A的特征值λ的描述正确的是 ( ) A.存在向量α, 使得Aα=λα B.对任意向量α, 有Aα=λα C.对任意非零向量α, Aα=λα成立 D.存在一个非零向量α, 有Aα=λα 3.矩阵 的特征值为__________ , 对应的特征向量为_____________ . 4.求下列矩阵的特征值和特征向量: (1) (2) 5.已知M=, 试说明和都是矩阵A的对应于不同的特征值的特征向量. 6.已知α是矩阵A属于特征值λ=－2的特征向量, 其中A=, α=, 求a , b . 7.如果向量α既是矩阵M的特征向量, 又是矩阵N的特征向量, 证明: α必是MN及NM的特征向量. 2.5特征值与特征向量（2） 教学目标： 知识与技能： 1.进一步理解特征值与特征向量的概念, 能熟练求矩阵的特征值和特征向量. 2.能利用矩阵的特征值和特征向量求向量多次变换的结果. 过程与方法： 情感、态度与价值观： 教学重点：特征值与特征向量的概念 教学难点：求矩阵的特征值和特征向量 教学过程： 一、复习回顾: 1.已知A= , B=, 求矩阵BA的特征值与特征向量; 2.说明矩阵 没有实数特征值和特征向量. 注意： 1.矩阵M有特征值λ及对应的特征向量α, 则M n α=λn α(n∈N*). 2.如果矩阵M有两个不共线的特征向量α1 ,α2 , 其对应的特征值分别为λ1 , λ2 , 那么平面内任意个向量α=Sα1+tα2 , 因此M nα=Sλ1 nα1 +tλ2 nα2 . 二、教学运用： 例1、已知M=, β=, 求M2β. 例2、已知M=,β=, 计算M50β. 例3、 已知矩阵M=有属于特征值λ1 = 8的特征向量α1 = , 及属于特征值λ2=－3的特征向量α2 =. (1)对向量α=, 记作α=α1－3α2 , 利用这一表达式计算M3α及M50α; (2)对向量β=, 求M5β及M100β. 三、课堂小结： 四、课堂练习：P72 1 五、回顾反思： 六、课外作业： 1.设A=, 矩阵A的特征值为 ( ) A. 3和1 B. 3和－1 C. －3和1 D. －3和－1 2.设M= , 矩阵M的特征向量可以是 ( ) A. B. C. D. 3.设A是旋转角为π的旋转变换, μ是一个任意向量, μ在A下的象Aμ=－μ, 则A的属于特征－1的特征向量为平面上的____________ . 4.(1)求矩阵M=的特征值与特征向量; (2)向量α=, 求M 4α, M 100α. 5.已知矩阵A=及向量α=. (1)计算A nα, 并分析讨论当n的值越来越大时, A nα的变化趋势. (2)给出A nα的一个近似公式, 并利用这一近似公式计算A 100α. 6.若矩阵A有特征向量i =和j =, 且它们所对应的特征值分别为λ1 =2 , λ2 =－1 . (1)求矩阵A及其逆矩阵A -1 ; (2)求逆矩阵A-1 的特征值及特征向量; (3)对任意向量α=, 求A 100α及A -1α. 2.6矩阵的简单应用 教学目标： 知识与技能：1.熟悉线阶矩阵的一些简单应用, 能利用矩阵解决一些简单的实际问题. 2.通过矩阵的一些计算, 认识各种问题中的数学规律. 过程与方法： 情感、态度与价值观： 教学重点：矩阵的一些简单应用 教学难点：利用矩阵解决一些简单的实际问题 教学过程： 一、问题情境: A B C 如图是A、B、C三个城市间的交通情况, 小月想从其中某一城市出发直达另一个城市, 她可以有几种选择? 如果她想从某一城市出发, 先经过一个城市再到达另一个城市, 她又可以有几种选择? 二、建构数学： 1.网络图 2.一级路矩阵和二级路矩阵 三、教学运用 例1、已知一级路矩阵表示一个网络图, 它们的结点分别为A , B , C , 试画出一个网络图. 思考: 你能求出“七桥问题”中的一级路矩阵和二级路矩阵吗? 例2、已知盒子A中装有3只大小和重量相同的小球, 其中2只黑色的, 1只白色的; 盒子B中装有5只大小和重量相同的小球, 其中3只黑色的, 2只白色的. 假定A、B两个盒子很难分辨, 而且可以任取一个, 现在要求先取一个盒子, 那么从中摸到一只黑色小球的概率有多大? 例3. 书 P74 例2 例4. 书 P77 例5 例5. 书 P77 例6 四、课堂小结： 五、课堂练习：P72 1 六、回顾反思： 七、课外作业： 1.有甲、乙两个车间都生产a , b , c , d四种产品, 每月生产量(单位: 千件) 由矩阵A=给出, 每生产一千件同一种产品, 一、二、三月份的耗电量各不相同, a、b、c、d四种产品的这三个月的耗电量(单位: 千度) 由下面的矩阵给出: B= ,问甲、乙两个车间一、二、三月份的耗电量为多少? 2.已知一级路矩阵表示一个网络图, 它们的结点分别是A , B , C , 试画出一个网络图, 并依图写出其二级路矩阵. 3.在一次军事密码发送任务中, 需要对方获知的密码信息为“stop”, 双方约定的可逆方阵A=, 问发送方传送出的密码是什么? 4.已知甲、乙两个种群相互影响, 其数量分别为{an} , {bn} , a1=20 , b1=30 , 且有关系式, 试求10个时段后甲、乙两个种群的数量. 2矩阵与变换章节复习 教学目标： 知识与技能：1.对本章的知识进行归纳和梳理 2.熟练进行图形的变换和矩阵运算 3.能运用矩阵解决实际问题. 过程与方法： 情感、态度与价值观： 教学重点：本章的知识 教学难点：进行图形的变换和矩阵运算、能运用矩阵解决实际问题. 教学过程： 一、知识梳理: 二、例题分析： 例1、已知M=, 试求在M对应的变换TM作用下对应得到P(1 , 0) , Q(0 , 1)的原象点. 例2、已知. a , b∈R , 若M= 所对应的变换TM把直线l: 2x－y=3变换为自身, 求实数a , b的值. 例3、已知M= , N= , J= . (1)试求满足方程MX=N的二阶方阵X ; (2)试求满足方程NYM=J的二阶方程Y . 例4、已知M= 为可逆矩阵, 求x的取值范围及M -1 . 例5、给定矩阵M= 及向量α=. (1)求M的特征值及对应的特征向量; (2)确定实数a , b , 使α=ae1+be 2 ; (3)利用(2)计算M3α, M nα. 例6、已知点列P1 (x1 , y1) , P2(x2 , y2), … , Pn (x n , y n ), 满足 且x1=1 , y1=－2, n=1 , 2 , 3 , … , 问: 当n逐渐变大时, Pn (xn , yn)有何变化趋势. 三、课外作业： 1.已知变换T把平面上的点(2 , －1), (－1, 2)分别变换成点(3 , －4) , (0 , 5), 试求变换T对应的矩阵M . 2.变换矩阵把曲线y=lgx变换成什么几何图形? 3.判断下列矩阵是否存在逆矩阵, 若存在, 求出逆矩阵. (1) (2) (3) 4.已知矩阵M= , N=及向量1 =, 2 =. (1)证明M和N互为逆矩阵; (2)证明1 和2 同时是M和N的特征向量. 5.设A=, 利用矩阵的特征值和特征向量计算A3 . 6.矩阵A=有特征向量α1 =,α2 =. (1)求出α1 ,α2 对应的特征值; (2)对向量α=, 计算A4α, A20α, Anα.