2019-2020年高一数学 小结与复习 第十三课时 第二章.doc

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2019-2020年高一数学 小结与复习 第十三课时 第二章 ●课 题 2.11.2 小结与复习（二） ●教学目标 （一）教学知识点 1.函数的对称语言. 2.数形结合思想. 3.函数思想. 4.数学模型. （二）能力训练要求 1.熟悉并掌握函数的对称语言. 2.进一步熟悉二次函数性质及其应用. 3.把握数形结合的特征和方法. 4.能够应用函数思想解题. 5.了解与函数有关的数学模型. （三）德育渗透目标 1.认识事物之间的联系. 2.用联系的观点看问题. 3.培养学生的应用意识. ●教学重点 数形结合的特征与方法 ●教学难点 函数思想的应用 ●教学方法 启发引导式 通过例题讲评，启发学生认识数形结合思想在解题中的重要性，把握数形结合的特征与方法.引导学生做好文字语言与数学语言的转换工作，用联系的观点看待客观世界中存在的数量关系，从而认清函数思想的实质，逐步强化数学应用意识，真正提高分析问题、解决问题的能力. ●教具准备 幻灯片 本节例题用幻灯片依次给出 ●教学过程 Ⅰ.复习回顾 ［师］通过上一节学习，大家了解了本章内容的整体结构，明确了本章的重难点知识，并熟悉了有关函数的基本概念和基本方法，这一节，我们将通过例题分析重点掌握数形结合的特征与方法，并进一步认清函数的思想实质，进而掌握其应用. Ⅱ.例题分析 ［例1］若奇函数f(x)在区间[3，7]上的最小值是5，那么f(x)在区间[－7，－3]上 A.最小值是5 B.最小值是－5 C.最大值是－5 D.最大值是5 分析：本题有两种思路：一是利用奇函数定义，二是利用图象. 解法一：若用定义：可设x为[－7，－3]上任意值，则－x∈[3，7] 由题意：f(－x)≥5, 由于f(x)是奇函数，所以f(－x)=－f(x) 则－f(x)≥5,得f(x)≤－5, ∴－5为f(x)在[－7，－3]上的最大值. 解法二：由于奇函数的图象关于原点对称，通过作出图象示意图，观察图象即可知：f(x)在区间[－7，－3]上有最大值－5. 答案：C ［例2］若函数f(x)=x2+bx+c对任意实数x都有f(2+x)=f(2－x)，那么 A.f(2)＜f(1)＜f(4) B.f(1)＜f(2)＜f(4) C.f(2)＜f(4)＜f(1) D.f(4)＜f(2)＜f(1) 分析：此题解决的关键是将函数的对称语言转化为对称轴方程. 解：由f(2+x)=f(2－x)可知：函数f(x)的对称轴为x=2,由二次函数f(x)开口方向向上 可得f(2)最小，又f(4)=f(2+2)=f(2－2)=f(0) 在x＜2时，y=f(x)为减函数 ∵0＜1＜2，∴f(0)＞f(1)＞f(2) 即f(2)＜f(1)＜f(4). 答案：A 评述：通过此题可将对称语言推广如下： （1）若对任意实数x,都有f(a+x)=f(a－x)成立，则x=a是函数f(x)的对称轴 （2）若对任意实数x,都有f(a+x)=f(b－x)成立，则x=是f(x)的对称轴. ［例3］求f(x)=x2－2ax+2在[2，4]上的最大值和最小值. 解：先求最小值. 因为f(x)的对称轴是x=a，可分以下三种情况： （1）当a＜2时，f(x)在[2，4]上为增函数，所以f(x)min=f(2)=6－4a; (2)当2≤a≤4时，f(a)为最小值，f(x)min=2－a2; (3)当a＞4时，f(x)在[2，4]上为减函数，所以f(x)min=f(4)=18－8a 综上所述： f(x)min= 最大值为f(2)与f(4)中较大者：f(2)－f(4)=(6－4a)－(18－8a)=12+4a (1)当a≥3时，f(2)≥f(4),则f(x)max=f(2)=6－4a; (2)当a＜3时，f(2)＜f(4),则f(x)max=f(4)=18－8a. 故f(x)max= 评述：本题属于二次函数在给定区间上的最值问题，由于二次函数的系数含有参数，对称轴是变动的，属于“轴动区间定”，由于图象开口向上，所以求最小值要根据对称轴x=a与区间[2，4]的位置关系，分三种情况讨论；最大值在端点取得时，只须比较f(2)与f(4)的大小，按两种情况讨论即可，实质上是讨论对称轴位于区间中点的左、右两种情况. ［例4］已知f(x)=|lgx|,且0＜a＜b＜c,若f(a)＜f(b)＜f(c),则下列一定成立的是 A.a＜1,b＜1,且c＞1 B.0＜a＜1,b＞1且c＞1 C.b＞1,c＞1 D.a,b,c都大于1 分析：画出y=|lgx|的图象如图：f(x)在（0，1）内是减函数，在（1，+∞）上为增函数. 观察图象，因为f(a)＜f(b)＜f(c),所以当0＜a＜1时，b＞1,c＞1;当a≥1时，b＞1,c＞1. 答案：C 评述：通过此题体会数形结合思想，体会函数图象在函数单调性问题中的应用. [例5]函数f(x)=x2－bx+c，满足对于任何x∈R都有f(1+x)=f(1－x)，且f(0)=3,则f(bx)与f(cx)的大小关系是 A.f(bx)≤f(cx) B.f(bx)≥f(cx) C.f(bx)＜f(cx) D.f(bx)＞f(cx) 分析：由对称语言f(1+x)=f(1－x)可以确定函数对称轴，从而确定b值，再由f(0)=3,可确定c值，然后结合bx,cx的大小关系及二次函数的单调区间使问题得以解决. 解：∵f(1+x)=f(1－x), ∴f(x)的对称轴x=－=1 ∴b=2,又f(0)=3, ∴c=3, ∴f(x)=x2－2x+3 (1)当x＞0时，1＜2x＜3x,且f(x)在[1，+∞)上是增函数 所以f(2x)＜f(3x),即f(bx)＜f(cx) (2)当x＜0时，1＞2x＞3x,且f(x)在（－∞,1）上是减函数，所以f(2x)＜f(3x) 即f(bx)＜f(cx) (3)当x=0时，2x=3x=1 则f(2x)=f(3x),即f(bx)=f(cx) 综上所述，f(bx)≤f(cx). 答案：A 评述：此题考查的是学生对函数表达式的认识和图象的观察能力，是一道在新情景下设问，以能力立意的题目. ［例6］经市场调查，某商品在近100天内，其销售量和价格均是时间t的函数，且销售量近似地满足关系g(t)=－ (t∈N*,0＜t≤100),在前40天内价格为f(t)=t+22(t∈N*,0≤t≤40),在后60天内价格为f(t)=－t+52(t∈N*,40＜t≤100)，求这种商品的日销售额的最大值（近似到1元）. 分析：本题考查用数学知识解决实际问题的能力，弄清“日售额”“日销量”“价格”的概念以及它们之间的关系是解本题的关键，另外还要注意价格函数 f(t)实为分段函数，求最值可采用配方法. 解：前40天日售额为： S=( =－ ∴S=－ ∵0＜t≤40,t∈N* ∴当t=10或11时,Smax=808.5≈809 后60天内日售额S=(－t+52)(－ ∴S= (t－106.5)2－ ∵40＜t≤100,t∈N* ∴当t=41时，Smax=714 综上所述：当t=10或11时，Smax=809 答：第10天或11天日售额最大值为809元. 评述：应用题的具体内容可以多种多样，千变万化，而抽象其数量关系，并建立函数关系是具有普遍意义的方法，应注意加强这方面的训练. Ⅲ.课堂练习 1.定义在区间（－∞,+∞）的奇函数f(x)为增函数；偶函数g(x)在区间（0，+∞）的图象与f(x)的图象重合，设a＞b＞0,给出下列不等式： ①f(b)－f(－a)＞g(a)－g(－b); ②f(b)－f(－a)＜g(a)－g(－b); ③f(a)－f(－b)＞g(b)－g(－a); ④f(a)－f(－b)＜g(b)－g(－a). 其中成立的是 A.①与③ B.②与③ C.①与④ D.②与④ 解：由题意：f(－a)=－f(a),f(－b)=－f(b),g(a)=f(a),g(b)=f(b),g(－a)=g(a),g(－b)=g(b）. 这样，4个不等式可以简化为： ①f(b)＞0,②f(b)＜0, ③f(a)＞0,④f(a)＜0. 由于f(x)是奇函数又是增函数，且a＞b＞0,故f(a)＞f(b)＞f(0)=0 从而上述不等式中成立的是①和③. 答案：A 2.已知f(x)=x2－4x－4,x∈[t,t+1](t∈R)，求f(x)的最小值(t）的解析式. 解：f(x)=(x－2)2－8 (1)当2∈[t,t+1]时，即1＜t＜2时，(t)=f(2)=－8. (2)当t＞2时，f(x)在[t,t+1]上是增函数，故(t)=f(t)=t2－4t－4. (3)当t+1＜2，即t＜1时，f(x)在[t,t+1]上是减函数. 故(t)=f(t+1)=t2－2t－7 综上所述： (t)= Ⅳ.课时小结 ［师］通过本节学习，要求大家掌握二次函数在给定区间上求最值的方法，把握数形结合的特征与方法，逐步掌握函数思想在实际问题中的应用. Ⅴ.课后作业 1.设函数f(x)在（－∞,0）∪(0,+∞)上是奇函数，又f（x）在（0，+∞）上是减函数，并且f(x)＜0,指出F(x)=在（－∞,0）上的增减性，并证明你的结论. 解：设x1,x2∈(－∞,0)，且x1＜x2,则－x1＞－x2＞0 ∵f(x)在（0，+∞）上是减函数， ∴f(－x1)＜f(－x2) ① 又f(x)在(－∞,0)∪(0,+∞)上是奇函数， ∴f(－x1)=－f(x1),f(－x2)=－f(x2) 由①式有：－f(x1)＜－f(x2), ∴f(x1)＞f(x2) 当x1＜x2＜0时，有F(x2)－F(x1)= ∵f(x)在（0，+∞）上恒负， ∴f(x1)=－f(－x1)＞0, f(x2)=－f(－x2)＞0 又f(x1)＞f(x2), ∴F(x2)－F(x1)＞0,且x1＜x2＜0 故F(x)=在（－∞,0）上是增函数. 2.某农工贸集团开发的养殖业和养殖加工生产业的年利润分别是T和Q（万元），这两项生产与投入的奖金a(万元)的关系是P=，Q=，该集团今年计划对这两项生产共投入奖金60万元，为获得最大利润，对养殖业与养殖加工生产业投入应各为多少万元？最大利润为多少万元？ 解：设投入养殖业为x万元，则投入养殖加工生产业为60－x万元 由题意：P+Q= (0≤x≤60) 设t=,则0≤t≤,x=60－t2 P+Q= (60－t2)+ =－ (t－5)2+ ∴当t=5时，即x=35时，（P+Q）max=. ∴对养殖业投入35万元，对养殖加工生产业投入25万元，可获最大利润万元. 评述：纵观近几年的高考试题，考查函数的思想方法已放在一个突出的位置上，因此在函数学习中，一定要认识函数思想实质，强化应用意识. ●板书设计 2.11.2 小结与复习（二） 1.数形结合思想 例1 例2 例3 练习 （1） （2） 作业 （1） （2） 2.函数思想 例4 例5 例6