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2019-2020年高三数学大一轮复习 2.9函数的应用教案 理 新人教A版
xx高考会这样考 1.综合考查函数的性质；2.考查一次函数、二次函数、分段函数及基本初等函数的建模问题；3.考查函数的最值．
复习备考要这样做 1.讨论函数的性质一定要在定义域内；2.充分搜集、应用题目信息，正确建立函数模型；3.注重函数与不等式、数列、导数等知识的综合．
1． 几类函数模型及其增长差异
(1)几类函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b (a、b为常数，a≠0)
反比例函
数模型
f(x)＝＋b (k，b为常数且k≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c
(a，b，c为常数，a≠0)
指数函数模型
f(x)＝bax＋c
(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
对数函数模型
f(x)＝blogax＋c
(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
幂函数模型
f(x)＝axn＋b (a，b为常数，a≠0)
(2)三种函数模型的性质
y＝ax
(a>1)
y＝logax
(a>1)
y＝xn
(n>0)
在(0，＋∞)
上的增减性
单调递增
单调递增
单调递增
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的变化
随x的增大逐渐表现为与y轴平行
随x的增大逐渐表现为与x轴平行
随n值变化而各有不同
值的比较
存在一个x0，当x>x0时，有logax
22%
B．x<22%
C．x＝22%
D．x的大小由第一年的产量确定
答案 B
解析 设第一年的产量为a，则a(1＋x)2＝a(1＋44%)，
∴x＝20%.
5． (xx东莞一模)某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月车载货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1，y2分别是2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站 ( )
A．5千米处 B．4千米处
C．3千米处 D．2千米处
答案 A
解析 由题意得，y1＝，y2＝k2x，其中x>0，当x＝10时，代入两项费用y1，y2分别是2万元和8万元，可得k1＝20，k2＝，y1＋y2＝＋x≥2＝8，当且仅当＝x，
即x＝5时取等号，故选A.
题型一 二次函数模型
例1 某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量
x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y＝－48x＋8 000，已知此生产线年产量最大为210吨．
(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；
(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？
最大利润是多少？
思维启迪：(1)根据函数模型，建立函数解析式．(2)求函数最值．
解 (1)每吨平均成本为(万元)．
则＝＋－48≥2－48＝32，
当且仅当＝，即x＝200时取等号．
∴年产量为200吨时，每吨平均成本最低为32万元．
(2)设可获得总利润为R(x)万元，
则R(x)＝40x－y＝40x－＋48x－8 000
＝－＋88x－8 000
＝－(x－220)2＋1 680 (0≤x≤210)．
∵R(x)在[0,210]上是增函数，∴x＝210时，
R(x)有最大值为－(210－220)2＋1 680＝1 660.
∴年产量为210吨时，可获得最大利润1 660万元．
探究提高 二次函数是常用的函数模型，建立二次函数模型可以求出函数的值域或最
值．解决实际中的优化问题时，一定要分析自变量的取值范围．利用配方法求最值时，
一定要注意对称轴与给定区间的关系：若对称轴在给定的区间内，可在对称轴处取一最
值，在离对称轴较远的端点处取另一最值；若对称轴不在给定的区间内，最值都在区间
的端点处取得．
某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y＝3 000＋20x－0.1x2 (00)．
(1)如果m＝2，求经过多少时间，物体的温度为5摄氏度；
(2)若物体的温度总不低于2摄氏度，求m的取值范围．
解 (1)若m＝2，则θ＝22t＋21－t＝2，
当θ＝5时，2t＋＝，令2t＝x≥1，则x＋＝，
即2x2－5x＋2＝0，解得x＝2或x＝(舍去)，此时t＝1.
所以经过1分钟，物体的温度为5摄氏度．
(2)物体的温度总不低于2摄氏度，即θ≥2恒成立，
亦m2t＋≥2恒成立，亦即m≥2恒成立．
令＝x，则020，
x－2 008>＝＝28.7，
则x>2 036.7，即x＝2 037.
三、解答题(共25分)
8． (12分)
如图所示，在矩形ABCD中，已知AB＝a，BC＝b (a>b)．在AB、AD、CD、CB上分别截取AE、AH、CG、CF都等于x，当x为何值时，四边形EFGH的面积最大？求出这个最大面积．
解 设四边形EFGH的面积为S，
由题意得S△AEH＝S△CFG＝x2，
S△BEF＝S△DHG＝(a－x)(b－x)．
由此得S＝ab－2
＝－2x2＋(a＋b)x＝－22＋.
函数的定义域为{x|0b>0，所以0b，即a>3b时，函数S＝－22＋在(0，b]上是增函数，因此，当x＝b时，面积S取得最大值ab－b2.
综上可知，若a≤3b，当x＝时，四边形EFGH的面积取得最大值；若a>3b，
当x＝b时，四边形EFGH的面积取得最大值ab－b2.
9． (13分)某种出口产品的关税税率为t，市场价格x(单位：千元)与市场供应量p(单位：万
件)之间近似满足关系式：p＝2(1－kt)(k－b)2，其中k，b均为常数．当关税税率t＝75%
时，若市场价格为5千元，则市场供应量为1万件；若市场价格为7千元，则市场供应
量约为2万件．
(1)试确定k，b的值；
(2)市场需求量q(单位：万件)与市场价格x近似满足关系式：q＝2－x，当p＝q时，市场
价格称为市场平衡价格，当市场平衡价格不超过4千元时，试确定关税税率的最大值．
解 (1)由已知，
⇒.
解得b＝5，k＝1.
(2)当p＝q时，2(1－t)(x－5)2＝2－x，
∴(1－t)(x－5)2＝－x⇒t＝1＋＝1＋
而f(x)＝x＋在(0,4]上单调递减，
∴当x＝4时，f(x)有最小值，
故当x＝4时，关税税率的最大值为500%.
B组 专项能力提升
一、选择题(每小题5分，共15分)
1． 某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2
＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得最大利润为 ( )
A．45.606万元 B．45.6万元
C．45.56万元 D．45.51万元
答案 B
解析 依题意可设甲销售x辆，则乙销售(15－x)辆，总利润S＝L1＋L2，则总利润S＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)＝－0.15x2＋3.06x＋30＝－0.15(x－10.2)2＋0.1510.22＋30 (x≥0)．∴当x＝10时，Smax＝45.6(万元)．
2．
某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些
边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x、y应为 ( )
A．x＝15，y＝12 B．x＝12，y＝15
C．x＝14，y＝10 D．x＝10，y＝14
答案 A
解析 由三角形相似得＝，得x＝(24－y)，
∴S＝xy＝－(y－12)2＋180，
∴当y＝12时，S有最大值，此时x＝15.
3． (xx江西)如图，
已知正四棱锥S－ABCD所有棱长都为1，点E是侧棱SC上一动点，过点E垂直于SC
的截面将正四棱锥分成上、下两部分．记SE＝x(0
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