2019-2020年高三数学一轮复习 专项训练 幂函数、二次函数（含解析）.doc
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2019-2020年高三数学一轮复习 专项训练 幂函数、二次函数（含解析） 1．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 ( )． A．y＝(x∈R，且x≠0) B．y＝x(x∈R) C．y＝x(x∈R) D．y＝－x3(x∈R) 解析 对于f(x)＝－x3，∵f(－x)＝－(－x)3＝－(－x3)＝－f(x)，∴f(x)＝－x3是奇函数，又∵y＝x3在R上是增函数，∴y＝－x3在R上是减函数． 答案 D 2．如图所示，给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是 ( )． A．①y＝x，②y＝x2，③y＝x，④y＝x－1 B．①y＝x3，②y＝x2，③y＝x，④y＝x－1 C．①y＝x2，②y＝x3，③y＝x，④y＝x－1 D．①y＝x3，②y＝x，③y＝x2，④y＝x－1 解析 因为y＝x3的定义域为R且为奇函数，故应为图①；y＝x2为开口向上的抛物线且顶点为原点，应为图②.同理可得出选项B正确． 答案 B 3．已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于 ( )． A．－3 B．－1 C．1 D．3 解析 f(a)＋f(1)＝0⇔f(a)＋2＝0⇔或解得a＝ －3. 答案 A 4．若f(x)是幂函数，且满足＝3.则f＝________. 解析 设f(x)＝xα，由＝3，得＝3，解得α＝log23，故f(x)＝xlog23，所以f＝log23＝2－log23＝2log2＝. 答案 5．幂函数y＝f(x)的图象经过点，则f的值为 ( )． A．1 B．2 C．3 D．4 解析 设f(x)＝xn，∴f(4)＝，即4n＝，∴f＝n＝4－n＝2. 答案 B 6．已知幂函数f(x)＝kxα的图象过点，则k＋α＝( )． A. B．1 C. D．2 解析 ∵f(x)＝kxα是幂函数，∴k＝1.又f(x)的图象过点，∴α＝，∴α＝，∴k＋α＝1＋＝. 答案 C 7、已知幂函数y＝f(x)的图象过点，则log4f(2)的值为( )． A. B．－ C．2 D．－2 解析：设f(x)＝xα，由图象过点，得α＝＝⇒α＝，log4f(2)＝＝. 答案：A 8、函数y＝的图象是( )． 解析：显然f(－x)＝－f(x)，说明函数是奇函数，同时由当0＜x＜1时，＞x；当x＞1时，＜x，知只有B选项符合． 答案B 9、如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3,0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论： ①b2＞4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a＜b. 其中正确的是( )． A．②④ B．①④ C．②③ D．①③ 解析 因为图象与x轴交于两点，所以b2－4ac＞0，即b2＞4ac，①正确； 对称轴为x＝－1，即－＝－1,2a－b＝0，②错误； 结合图象，当x＝－1时，y＞0，即a－b＋c＞0，③错误； 由对称轴为x＝－1知，b＝2a.又函数图象开口向下，所以a＜0，所以5a＜2a，即5a＜b，④正确． 答案 B 10、若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1. (1)求f(x)的解析式； (2)若在区间[－1,1]上，不等式f(x)>2x＋m恒成立，求实数m的取值范围． 审题路线 f(0)＝1求c→f(x＋1)－f(x)＝2x比较系数求a，b→构造函数g(x)＝f(x)－2x－m→求g(x)min→由g(x)min＞0可求m的范围． 解 (1)由f(0)＝1，得c＝1.∴f(x)＝ax2＋bx＋1. 又f(x＋1)－f(x)＝2x， ∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x， 即2ax＋a＋b＝2x，∴∴ 因此，f(x)＝x2－x＋1. (2)f(x)>2x＋m等价于x2－x＋1>2x＋m，即x2－3x＋1－m>0，要使此不等式在[－1,1]上恒成立，只需使函数g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上的最小值大于0即可． ∵g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上单调递减， ∴g(x)min＝g(1)＝－m－1，由－m－1>0得，m<－1. 因此满足条件的实数m的取值范围是(－∞，－1). 11、求函数f(x)＝－x(x－a)在x∈[－1,1]上的最大值． [规范解答] 函数f(x)＝－2＋的图象的对称轴为x＝，应分＜－1，－1≤≤1，＞1，即a＜－2，－2≤a≤2和a＞2三种情形讨论． (2分) (1)当a＜－2时，由图(1)可知f(x)在[－1,1]上的最大值为f(－1)＝－1－a； (5分) (2)当－2≤a≤2时，由图(2)可知f(x)在[－1,1]上的最大值为f＝； (8分) (3)当a＞2时，由图(3)可知f(x)在[－1,1]上的最大值为f(1)＝a－1. (11分) 综上可知，f(x)max＝ (12分) 12．幂函数的图象过点，则它的单调递增区间是( )． A．(0，＋∞) B．[0，＋∞) C．(－∞，0) D．(－∞，＋∞) 解析 设幂函数y＝xα，则2α＝，解得α＝－2，所以y＝x－2，故函数y＝x－2的单调递增区间是(－∞，0)． 答案 C 13．如果函数f(x)＝x2＋bx＋c对任意的实数x，都有f(1＋x)＝f(－x)，那么( )． A．f(－2)＜f(0)＜f(2) B．f(0)＜f(－2)＜f(2) C．f(2)＜f(0)＜f(－2) D．f(0)＜f(2)＜f(－2) 解析 函数f(x)＝x2＋bx＋c对任意的实数x都有f(1＋x)＝f(－x)．可知函数f(x)图象的对称轴为x＝，又函数图象开口向上，自变量离对称轴越远函数值越大． 答案 D 14．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2＋2x，若f(2－a2)＞f(a)，则实数a的取值范围是( )． A．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B．(－1,2) C．(－2,1) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞) 解析 当x≥0时，f(x)＝x2＋2x为增函数，由于f(x)是奇函数，故f(x)在R上为增函数．由f(2－a2)＞f(a)得2－a2＞a，解得－2＜a＜1.故实数a的取值范围是(－2,1)． 答案 C 15．已知函数y＝－x2＋4ax在区间[1,3]上单调递减，则实数a的取值范围是________． 解析 根据题意，得对称轴x＝2a≤1，所以a≤. 答案 16．已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________． 解析 将方程有两个不同的实根转化为两个函数图象有两个不同的交点． 作出函数f(x)的图象，如图，由图象可知，当0
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