2019-2020年高中数学 1.3第2课时 相似三角形的性质练习 新人教A版选修4-1.doc

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2019-2020年高中数学 1.3第2课时 相似三角形的性质练习 新人教A版选修4-1 1．相似三角形的性质定理： (1)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于____________． (2)相似三角形周长的比等于____________． (3)相似三角形面积的比等于__________________________． 2．相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于______________． 3．如图，在△ABC中，AB＝14 cm，＝，DE∥BC，CD⊥AB，CD＝12 cm，则△ADE的面积和周长分别是__________，__________． 预习导学 1．(1)相似比　(2)相似比　(3)相似比的平方 2．相似比的平方 3. cm2　15 cm ►一层练习 1．在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC上的点，且DE∥BC，若AE∶EC＝1∶2，且AD＝4 cm，则DB等于(　　) 　　　　　 　　　　　 　　 　　　　 A．2 cm B．6 cm C．4 cm D．8 cm 1．D　 2．在△ABC中，AB＝9，AC＝12，BC＝18，点D为AC上一点，DC＝AC，在AB上取一点E，得到△ADE，若△ADE与△ABC相似，则DE的长为(　　) A．6 B．8 C．6或8 D．14 2.C 3．△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的角平分线，且AD∶A′D′＝5∶3，下面给出四个结论： ①BC∶B′C′＝5∶3；②△ABC的周长∶△A′B′C′的周长＝3；③△ABC与△A′B′C′的对应高之比为5∶3；④△ABC与△A′B′C′的对应中线之比为5∶3. 其中正确的有(　　) A.1个 B．2个 C．3个 D．4个 3.D 4．两个相似三角形的一对对应边长分别是24 cm和12 cm. (1)若它们的周长和是120 cm，则这两个三角形的周长分别为________和________； (2)若它们的面积差是420 cm2，则这两个三角形的面积分别为________和________． 4．(1)80 cm　40 cm　(2)560 cm2　140 cm2 ►二层练习 5．在△ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，且DE∥BC，△ADE的面积是2 cm2，梯形DBCE的面积为6 cm2，则DE∶BC的值为(　　) A．1∶ B．1∶2 C．1∶3 D．1∶4 　5．B 6．如图所示，已知在△ABC中，∠C＝90，正方形DEFG内接于△ABC，DE∥AC，EF∥BC，AC＝1，BC＝2，则AF∶FC等于(　　) A．1∶3 B．1∶4 C．1∶2 D．2∶3 6.C 7．在△ABC中，点D为BC上一点，且∠BAC＝∠ADC，BC＝16 cm，AC＝12 cm，则DC＝______cm. 7.9　 8．两相似三角形的相似比为1∶3，则其周长之比为________，内切圆面积之比为________． 8.1∶3　1∶9　 ►三层练习 9．点D、E、F是△ABC的三边中点，设△DEF的面积为4，△ABC的周长为9，则△DEF的周长与△ABC的面积分别是(　　) A．4.5，16 B．9，4 C．4.5，8 D.，16 9.A 10．如图所示，点D、E、F、G、H、Ι是△ABC三边的三等分点，△ABC的周长是l，则六边形DEFGHI的周长是(　　) A.l B．3l C．2l D.l 10．解析：易得DE綊BC. HI綊AC. GF綊AB. 又DI＝AB， HG＝BC，EF＝AC. 则所求周长为(AB＋AC＋BC)＝l. 答案：D 11．如图所示，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，则AE＝______． 11．2 12．(xx佛山一模)如图，M是平行四边形ABCD的边AB的中点，直线l过点M分别交AD，AC于点E，F.若AD＝3AE，则AF∶FC＝________． 12．解析：延长CD与直线l交于点G， 设AB＝2a，则CD＝2a，而M是AB的中点， 则AM＝AB＝a. 由已知得△AME∽△DGE，∴＝⇒＝. ∵AD＝3AE，∴＝⇒DG＝2a. 又∵△FCG∽△FAM，＝⇒＝＝＝，即AF∶FC＝1∶4. 答案：1∶4 13.(xx清远市高三上学期期末考试)如图，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，则∠ACB＝________． 13．30 14．如图，△ABC中，AB＝AC，AD是中线，P为AD上一点，CF∥AB，BP延长线交AC、CF于E、F，求证：PB2＝PEPF. 14．证明：连接PC， 易证PC＝PB，∠ABP＝∠ACP， ∵CF∥AB， ∴∠F＝∠ABP， 从而∠F＝∠ACP， 又∠EPC为△CPE与△FPC的公共角， 从而△CPE∽△FPC，∴＝. ∴PC2＝PEPF，又PC＝PB， ∴PB2＝PEPF，命题得证． 1．相似三角形的性质常用于： (1)计算边长、周长、面积等； (2)用来证明线段成比例、角相等，在进行计算时常常结合方程的思想进行． 2．研究相似三角形的性质时，切记从相似比入手即可，涉及线段的比均等于相似比，只有面积的比是相似比的平方． 3．在三角形中有平行于一边的直线时，通常考虑三角形相似，利用比值获得线段的长或三角形的面积． 【习题1.3】 1．证明：如图所示，连接BE，CD.∵∠ABE和∠ACD是同弧所对的圆周角，∴∠ABE＝∠ACD.又∵∠A＝∠A，∴△ABE∽△ACD，∴＝. 2．证明：(1)如图所示，在△ABE和△ACD中，∵∠BAE＝∠CAD，∠ABE＝∠ACD，∴△ABE∽△ACD，∴＝，∴ABCD＝ACBE. (2)在△ABC和△AED中，∵∠BAC＝∠BAE＋∠EAC，∠EAD＝∠CAD＋∠EAC，且∠BAE＝∠CAD，∴∠BAC＝∠EAD.又∵∠BCA＝∠EDA，∴△ABC∽△AED，∴＝.∴ACED＝ADBC. 3．解析：如图所示，设A′C′＝x，∵∠A＝∠A′，∴要使△ABC∽△A′B′C′，只需＝即可．∴当x＝时，△ABC∽△A′B′C′. 4．解析：如图所示．作法：①作线段B′C′，使B′C′＝BC.②以B′为顶点，B′C′为始边作∠D′B′C′＝∠B.③在B′D′上截取线段B′A′，使B′A′＝AB.④连接A′C′.则△A′B′C′为所求作的三角形． 5．证明：如图所示，∵EF∥AD∥BC，∴＝，＝，∵AD＝BC，∴＝，∴＝，又∵∠AEB＝∠HEG，∴△AEB∽△HEG，∴∠ABE＝∠HGE，∴GH∥AB. 6．证明：如图所示 ．∵DE∥AB，∴＝＝.　　　　　　① 又∵EF∥BC，∴＝＝. ② 由①②知＝，而∠FOD＝∠COA， ∴△FOD∽△COA，∴＝. ∴在△ABC和△DEF中， 有＝＝，∴△DEF∽△ABC. 7．证明：如图所示，在△ACD和△BCE中，∵∠ADC＝∠BEC＝90，∠ACD＝∠BCE，∴△ACD∽△BCE，∴＝，即ADBC＝BEAC. 8．解析：设计三种方案仅供参考． 方案1：①如图所示，在地面适当位置取一点C，连接BC，测量出BC的距离． ②在点C处竖立处竖立一根垂直于地面的标杆． ③在BC的延长线上取一点D，使点D，标杆的顶点E和树尖A在一条直线上． ④测量出CD的距离．在这个方案中，由于△DCE∽△DBA，而BC，CD，CE的长可以由测量而得，所以可以求出树高AB(没有考虑测量仪的脚架高)． 方案2：①如图所示，在地面上选取一点C，连接BC. ②测出∠BCA的度数． ③在地面上选取一点D，使∠DCB＝∠BCA. ④过D作BC的垂线，交BC于E. ⑤测量DE，CE，BC的长，由这三个量可以求得AB的长．因为按方案2的实施，易知Rt△ABC∽Rt△DEC(没有考虑测量仪的脚架高)． 方案3：①如图所示，把一面镜子放在离树a m的点E处．②一个人望着镜子后退到点D，这时恰好在镜子里望到树梢点A.③量得ED等于b m，人的眼睛距地面的高度为cm，即可求出AB的长．因为根据光学中的反射定律，知∠AEB＝∠CED，所以△ABE∽△CDE. 9．已知：如图所示，设△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，AD是△ABC中BC边上的中线，A′D′是△A′B′C′中B′C′边上的中线．AE是△ABC的角平分线，A′E′是△A′B′C′的角平分线．求证： (1)＝k； (2)＝k. 证明：(1)∵△ABC∽△A′B′C′， ∴＝. 又∵D，D′分别为BC，B′C′的中点， ∴＝＝＝. 且由题意知∠B＝∠B′， ∴△ABD∽△A′B′D′， ∴＝＝k.其余两组对应边上的对应中线之比同理可证． (2)∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠BAC＝∠B′A′C′，∠B＝∠B′，∵AE，A′E′分别是∠BAC，∠B′A′C′的平分线，∴∠BAE＝∠B′A′E′，∴△ABE∽△A′B′E′，∴＝＝k.同理可证，其余两个对应角的平分线的对应之比也等于相似比． 10．解析：∵AE∶EB＝1∶2，∴AE∶AB＝1∶3.由题意知在△AEF和△CDF中，∠EAF＝∠DCF，∠EFA＝∠DFC，∴△AEF∽△CDF， ∴＝＝＝，∴＝，而S△AEF＝6，∴S△CDF＝9S△AEF＝96＝54(cm2)． 11．解析：相似三角形内切圆的直径比、周长比等于相似比，内切圆的面积比等于相似比的平方．证明略．问题有很多．以下三个问题仅供参考． 问题1：相似三角形对应交的外角平分线之比等于相似比．证明：如图所示，设∠ABC∽∠A′B′C′，AD，A′D′分别是∠BAC，∠B′A′C′的外角平分线，分别交BC，B′C′的延长线于D，D′.∵△ABC ∽△A′B′C′， ∴∠BAC＝∠B′A′C′.又∵∠BAC＋∠1＋∠2＝∠B′A′C′＋∠3＋∠4，而∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠1＝∠3，∴∠BAD＝∠B′A′D′.又∵∠B＝∠B′，∴△ABD∽△A′B′D′，∴＝＝k. 问题2：△ABC∽△A′B′C′，以△ABC的三条边为直径，分别向△ABC外作半圆(如图所示)，同样，以△A′B′C′的三条边为直径， 分别向△A′B′C′外作半圆，则两个三角形中三个对应半圆的面积之比等于相似比的平方(说明：将三个半圆改为三个等边三角形、正方形、正多边形等，可以得到更多的命题)．证明略． 问题3：如图所示，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，＝，则＝k.证明略．