2019-2020年高三数学一轮复习 专项训练 平面向量的概念及线性运算（含解析）.doc

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2019-2020年高三数学一轮复习 专项训练 平面向量的概念及线性运算（含解析） 1．下列命题中，正确的是(　　)． A．若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b B．若ab＝0，则a＝0或b＝0 C．若ka＝0，则k＝0或a＝0 D．若a，b都是非零向量，则|a＋b|＞|a－b| 解析　对于A，显然不能得知a＝b或a＝－b，因此选项A不正确；对于B，易知不正确；对于C，易知正确；对于D，注意到(a＋b)2－(a－b)2＝4ab，显然ab与零的大小关系不确定，因此选项D不正确．综上所述，选C. 答案　C 2．给出下列命题： ①向量的长度与向量的长度相等； ②向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反； ③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； ④两个有公共终点的向量，一定是共线向量； ⑤向量与向量是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上． 其中不正确命题的序号是________． 解析　①中，∵向量与为相反向量， ∴它们的长度相等，此命题正确． ②中若a或b为零向量，则满足a与b平行，但a与b的方向不一定相同或相反，∴此命题错误． ③由相等向量的定义知，若两向量为相等向量，且起点相同，则其终点也必定相同，∴该命题正确． ④由共线向量知，若两个向量仅有相同的终点，则不一定共线，∴该命题错误． ⑤∵共线向量是方向相同或相反的向量，∴若与是共线向量，则A，B，C，D四点不一定在一条直线上，∴该命题错误． 答案　②④⑤ 1、如图，在平行四边形OADB中，设＝a， ＝b，B＝ ， ＝ .试用a，b表示， 及. 解　由题意知，在平行四边形OADB中， ＝B ＝ ＝( －)＝(a－b)＝a－b， 则＝＋＝b＋a－b＝a＋b. ＝ ＝(＋)＝(a＋b)＝a＋b， ＝－＝(a＋b)－a－b＝a－b. 2、(1) (xx四川卷)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，＋＝λ ，则λ＝________. (2)已知P，A，B，C是平面内四点，且＋＋＝，那么一定有 (　　)． A.＝2 B.＝2 C.＝2 D.＝2 解析　(1)∵＋＝＝2，∴λ＝2. (2)∵＋＋＝＝－， ∴＝－2＝2. 答案　(1)2　(2)D 3、在△OAB中，＝a，＝b，OD是AB边上的高，若＝λ，则实数λ＝ (　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　 A. B.C. D. 解析　由＝λ，∴||＝λ||. 又∵||＝|a|cos A＝|a|＝， ||＝|b－a|，∴λ＝＝.故选C. 答案　C 4．若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是(　　)． A.＝＋ B.＝－ C.＝－＋ D.＝－－ 解析　由图可知＝－. 答案　B 5．若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足5＝＋3，则△ABM与△ABC的面积比为(　　)． A. B. C. D. 解析　 设AB的中点为D，由5＝＋3，得3－3＝2－2，即3＝2.如图所示，故C，M，D三点共线，且＝ ，也就是△ABM与△ABC对于边AB的两高之比为3∶5，则△ABM与△ABC的面积比为，选C. 答案　C 6．在▱ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝________(用a，b表示)． 解析　由＝3，得4＝3 ＝3(a＋b)，＝a＋b，所以＝－＝(a＋b)－＝－a＋b. 答案　－a＋b 7．在△ABC中，D，E分别为BC，AC边上的中点，G为BE上一点，且GB＝2GE，设＝a，＝b，试用a，b表示，. 解　＝(＋)＝a＋b； ＝＋＝＋＝＋(＋) ＝＋(－)＝＋＝a＋b. 8．已知A，B，C 是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，动点P满足＝， 则点P一定为三角形ABC的(　　)． A．AB边中线的中点 B．AB边中线的三等分点(非重心) C．重心 D．AB边的中点 解析　设AB的中点为M，则＋＝，∴＝(＋2)＝＋，即3＝＋2，也就是＝2，∴P，M，C三点共线，且P是CM上靠近C点的一个三等分点． 答案　B 9. 在△ABC中，E，F分别为AC，AB的中点，BE与CF相交于G点，设＝a，＝b，试用a，b表示. 解　＝＋＝＋λ ＝＋(＋)＝＋(－) ＝(1－λ)＋＝(1－λ)a＋b. 又＝＋＝＋m ＝＋(＋) ＝(1－m)＋＝a＋(1－m)b， ∴解得λ＝m＝，∴＝a＋b. 考点：向量共线定理及其应用 1、设两个非零向量a与b不共线． (1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)．求证：A，B，D三点共线； (2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线． (1)证明　∵＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)． ∴＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5. ∴，共线，又它们有公共点B， ∴A，B，D三点共线． (2)解　假设ka＋b与a＋kb共线， 则存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)， 即(k－λ)a＝(λk－1)b. 又a，b是两不共线的非零向量， ∴k－λ＝λk－1＝0.∴k2－1＝0.∴k＝1. 2、已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c与d同向，则实数λ的值为_____． 解析　由于c与d同向，所以c＝kd(k＞0)， 于是λa＋b＝k[a＋(2λ－1)b]， 整理得λa＋b＝ka＋(2λk－k)b. 由于a，b不共线，所以有 整理得2λ2－λ－1＝0，所以λ＝1或λ＝－. 又因为k＞0，所以λ＞0，故λ＝1. 答案　1 3．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的(　　)． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　若a＋b＝0，则a＝－b，所以a∥b.若a∥b，则a＝λb，a＋b＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件． 答案　A 4．设a，b是两个不共线向量，＝2a＋pb，＝a＋b，＝a－2b，若A，B，D三点共线，则实数p的值为________． 解析　∵＝＋＝2a－b，又A，B，D三点共线， ∴存在实数λ，使＝λ.即∴p＝－1. 答案　－1