2019-2020年高中数学 第2章 2.1第1课时 合情推理课时作业 新人教B版选修2-2.doc

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2019-2020年高中数学 第2章 2.1第1课时 合情推理课时作业 新人教B版选修2-2 一、选择题 1．下面使用类比推理正确的是(　　) A．“若a4＝b4，则a＝b”类比推出“若a0＝b0，则a＝b” B．“(a＋b)c＝ac＋bc”类比推出“(ab)c＝acbc” C．“(a＋b)c＝ac＋bc”类比推出“＝＋(c≠0)” D．“(ab)n＝anbn”类比推出“(a＋b)n＝an＋bn” [答案]　C 2．已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝(n∈N＋)，则a20＝(　　) A．0　　　　　　　 B．－ C. D． [答案]　B [解析]　∵a1＝0，∴a2＝－，a3＝＝，a4＝0，…，由此可以看出周期为3，∴a20＝a36＋2＝a2＝－. 3．下面几种推理是合情推理的是(　　) ①由圆的性质类比出球的有关性质； ②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180，归纳出所有三角形的内角和都是180； ③教室内有一把椅子坏了，则该教室内的所有椅子都坏了； ④三角形内角和是180，四边形内角和是360，五边形内角和是540，由此得凸多边形内角和是(n－2)180. A．①② B．①③④ C．①②④ D．②④ [答案]　C [解析]　①是合情推理中的类比法，排除D；②是归纳推理，排除B；④是归纳推理．故选C. 4．已知数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，an＝2an－1＋1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的一个表达式是(　　) A．n2－1 B．(n－1)2＋1 C．2n－1 D．2n－1＋1 [答案]　C [解析]　a2＝2a1＋1＝21＋1＝3， a3＝2a2＋1＝23＋1＝7， a4＝2a3＋1＝27＋1＝15，利用归纳推理，猜想an＝2n－1，故选C. 5．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝(　　) A．f(x) B．－f(x) C．g(x) D．－g(x) [答案]　D [解析]　本题考查了推理证明及函数的奇偶性内容，由例子可看出偶函数求导后都变成了奇函数，∴g(－x)＝－g(x)，选D，体现了对学生观察能力，概括归纳推理能力的考查． 6．我们把4,9,16,25，…这些数称做正方形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正方形(如下图)，则第n－1个正方形数是(　　) A．n(n－1) B．n(n＋1) C．n2 D．(n＋1)2 [答案]　C [解析]　第n－1个正方形数的数目点子可排成n行n列，即每边n个点子的正方形，∴点数为n2.故选C. 7．根据给出的数塔猜测1234569＋7等于(　　) 19＋2＝11 129＋3＝111 1239＋4＝1111 12349＋5＝11111 123459＋6＝111111 … A．1111110 B．1111111 C．1111112 D．1111113 [答案]　B [解析]　由数塔猜测应是各位都是1的七位数，即1111111. 8.观察图所示图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为(　　) A. B．△ C. D．○ [答案]　A [解析]　由每行或每列均有2个黑色图形知，本题选A. 二、填空题 9．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市； 乙说：我没去过C城市； 丙说：我们三人去过同一城市； 由此可判断乙去过的城市为________． [答案]　A [解析]　利用逻辑推理的知识求解． 由题意可推断：甲没去过B城市，但比乙去的城市多，而丙说“三人去过同一城市”，说明甲去过A，C城市，而乙“没去过C城市”，说明乙去过城市A，由此可知，乙去过的城市为A. 10．对于等差数列{an}有如下命题：“若{an}是等差数列，a1＝0，s、t是互不相等的正整数，则有(s－1)at－(t－1)as＝0”．类比此命题，给出等比数列{bn}相应的一个正确命题是________． [答案]　若{bn}是等比数列，b1＝1，s、t是互不相等的正整数，则有＝1 [解析]　这是一个从等差数列到等比数列的平行类比，等差数列中的加、减、乘、除类比到等比数列经常是乘、除、乘方、开方，类比方法的关键在于善于发现不同对象之间的“相似”，“相似”是类比的基础．∴＝＝1. 11．观察下列等式： (1＋1)＝21； (2＋1)(2＋2)＝2213； (3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23135； …… 照此规律，第n个等式可为______________________． [答案]　(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n13…(2n－1) [解析]　观察规律，等号左侧第n个等式共有n项相乘，从n＋1到n＋n，等式右端是2n与等差数列{2n－1}前n项的乘积，故第n个等式为(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n13…(2n－1)． 三、解答题 12．已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，有如下的性质： (1)通项an＝am＋(n－m)d(n>m，n，m∈N*) (2)若m＋n＝p＋q，其中，m、n、p、q∈N*，则am＋an＝ap＋aq. (3)若m＋n＝2p，m，n，p∈N*，则am＋an＝2ap. (4)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n构成等差数列． 类比上述性质，在等比数列{bn}中，写出相类似的性质． [解析]　等比数列{bn}中，设公比为q，前n项和为Sn. (1)an＝amqn－m(n>m，n，m∈N*)． (2)若m＋n＝p＋q，其中m，n，p，q∈N*， 则aman＝apaq. (3)若m＋n＝2p，其中，m，n，p∈N*，则a＝aman. (4)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n(各项均不为零)构成等比数列． 一、选择题 1．设0<θ<，已知a1＝2cosθ，an＋1＝，则猜想an＝(　　) A．2cos B．2cos C．2cos D．2sin [答案]　B [解析]　∵a1＝2cosθ，a2＝＝2＝2cos，a3＝＝2＝2cos……，猜想an＝2cos.故选B. 2．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是(　　) ①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等； ②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等； ③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等． A．① B．①② C．①②③ D．③ [答案]　C [解析]　正四面体的面(或棱)可与正三角形的边类比，正四面体的相邻两面成的二面角(或共顶点的两棱的夹角)可与正三角形相邻两边的夹角类比，故①②③都对．故选C. 3．把3、6、10、15、21、…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形(如下图)，试求第六个三角形数是(　　) A．27 B．28 C．29 D．30 [答案]　B [解析]　观察归纳可知第n－1个三角形数共有点数：1＋2＋3＋4＋…＋n＝个，∴第六个三角形数为＝28.故选B. 4．(xx甘肃省会宁一中高二期中)如图，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，当⊥时，其离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”，类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率为(　　) A. B． C.＋1 D．－1 [答案]　A [解析]　类比“黄金椭圆”，在黄金双曲线中，|OA|＝a，|OB|＝b，|OF|＝c， 当⊥时，|BF|2＋|AB|2＝|AF|2， ∴b2＋c2＋c2＝a2＋c2＋2ac， ∵b2＝c2－a2，整理得c2＝a2＋ac， ∴e2－e－1＝0，解得e＝，或e＝(舍去)． 故黄金双曲线的离心率e＝. 二、填空题 5．在平面上，若两个正三角形的边长比为12，则它们的面积比为14.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为12，则它们的体积比为________． [答案]　18 [解析]　＝＝＝＝. 6．(xx陕西文，16)观察下列等式 1－＝ 1－＋－＝＋ 1－＋－＋－＝＋＋ …… 据此规律，第n个等式可为_________________________________． [答案]　1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋ [解析]　观察等式知：第n个等式的左边有2n个数相加减，奇数项为正，偶数项为负，且分子为1，分母是1到2n的连续正整数，等式的右边是＋＋…＋.故答案为1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋ 三、解答题 7．在△ABC中，不等式＋＋≥成立， 在四边形ABCD中，不等式＋＋＋≥成立， 在五边形ABCDE中，不等式＋＋＋＋≥成立，猜想在n边形A1A2…An中，有怎样的不等式成立？ [解析]　根据已知特殊的数值：、、，…，总结归纳出一般性的规律：(n≥3且n∈N*)． ∴在n边形A1A2…An中：＋＋…＋≥(n≥3且n∈N*)． 8．已知等式sin210＋cos240＋sin10cos40＝，sin26＋cos236＋sin6cos36＝.请写出一个具有一般性的等式，使你写出的等式包含已知的等式，并证明结论的正确性． [解析]　等式为sin2α＋cos2(30＋α)＋sinαcos(30＋α)＝.证明如下： sin2α＋cos2(30＋α)＋sinαcos(30＋α) ＝sin2α＋＋sinα(cos30cosα－sin30sinα)＝＋sin2α＋＋sin2α－sin2α＝＋sin2α＋(cos2α－sin2α)＋sin2α－sin2α＝＋sin2α＋cos2α－sin2α＋sin2α－sin2α＝＋sin2α＋(1－2sin2α)＝.