2019-2020年高中数学《第45课时逆矩阵、特征向量与特征值》教学案新人教A版必修3.doc

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2019-2020年高中数学《第45课时逆矩阵、特征向量与特征值》教学案新人教A版必修3 基础训练 1．矩阵的逆矩阵是________． 2．点P(2,3)经矩阵A＝对应的变换作用下得到点P′，点P′再经过矩阵A－1对应的变换作用下得到点P″，则点P″的坐标是________． 3．矩阵的特征值是________． 4．若A＝，B＝，则(AB)－1＝________. 重点讲解 1．矩阵的逆矩阵 (1)一般地，设ρ是一个线性变换，如果存在线性变换σ，使得σρ＝ρσ＝I，则称变换ρ可逆．并且称σ是ρ的逆变换． (2)设A是一个二阶矩阵，如果存在二阶矩阵B，使得BA＝AB＝E，则称矩阵A________，或称矩阵A是____________，并且称B是A的__________． (3)(性质1)设A是一个二阶矩阵，如果A是可逆的，则A的逆矩阵是________．A的逆矩阵记为________． (4)(性质2)设A，B是二阶矩阵，如果A，B都可逆，则AB也可逆，且(AB)－1＝__________. (5)已知A，B，C为二阶矩阵，且AB＝AC，若矩阵A____________，则B＝C. (6)对于二阶可逆矩阵A＝(ad－bc≠0)，它的逆矩阵为A－1＝. 2．二阶行列式与方程组的解 对于关于x，y的二元一次方程组我们把称为二阶行列式，它的运算结果是一个________(或多项式)，记为det(A)＝＝ad－bc. 若将方程组中行列式记为D，记为Dx，记为Dy，则当D≠0时，方程组的解为 3．二阶矩阵的特征值和特征向量 (1)特征值与特征向量的概念 设A是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使得Aα＝λα，那么λ称为A的一个________，α称为A的一个属于特征值λ的一个__________． (2)特征多项式 设λ是二阶矩阵A＝的一个特征值，它的一个特征向量为α＝，则A＝________________，即也即(*) 定义：设A＝是一个二阶矩阵，λ∈R，我们把行列式f(λ)＝＝__________________________称为A的特征多项式． (3)矩阵的特征值与特征向量的求法 如果λ是二阶矩阵A的特征值，则λ一定是二阶矩阵A的特征多项式的一个根，即f(λ)＝0，此时，将λ代入二元一次方程组 (*)，就可得到一组非零解，于是非零向量即为A的属于λ的一个______________． 典题拓展 例1已知矩阵A＝，B＝，求(AB)－1. 例2已知二阶矩阵M有特征值λ＝8及对应的一个特征向量e1＝，并且矩阵M对应的变换将点(－1,2)变换成(－2,4)． (1)求矩阵M； (2)求矩阵M的另一个特征值，及对应的一个特征向量e2的坐标之间的关系； (3)求直线l：x－y＋1＝0在矩阵M的作用下的直线l′的方程． 变式： 矩阵M＝，向量X＝，求M4X. 例3 在军事密码学中，密码发送的数学原理是：发送方将要传送的信息数字化后用一个矩阵X表示(不足的元素可以补上0，字与字之间的空格也以0记，且以密码先后顺序按列组成矩阵)，在矩阵的左边乘上一个双方约定的可逆矩阵A，得到B＝AX，则B即为传送出去的密码，接收方收到密码后，只需左乘A的逆矩阵A－1，即可得到发送出去的明码X＝A－1B.不妨以二阶矩阵为例，先将英文字母数字化，让a→1，b→2，…，z→26.现已知发送方传出的密码为7,13,39,67，双方约定的可逆矩阵为，试破解发送的密码． 变式：现用矩阵对信息进行加密后传递，规定英文字母数字化为：a→1，b→2，…，z→26，双方约定的矩阵为，发送方传递的密码为67,30,31,8，密码按列组成矩阵，此组密码所发信息为________． 巩固迁移 1．设可逆矩阵A＝的逆矩阵A－1＝，则a，b，c的值分别为________，________，________. 2．矩阵A＝的逆矩阵A－1＝______. 3．已知二元一次方程组从线性变换的角度求解时应把向量绕原点作________(填“顺”或“逆”)时针旋转________的旋转变换． 4．矩阵M＝的特征值与特征向量分别为__________________． 5．设A＝，则A6＝________ ；若A＝，则A＝________. 6．利用逆矩阵知识解方程组 7．设M是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸压变换． (1)求矩阵M的特征值及相应的特征向量 (2)求逆矩阵M－1以及椭圆＋＝1在M－1的作用下的新曲线的方程． 8．已知矩阵A＝，α＝，求A100α. 9．设矩阵A＝(a≠0)． (1)求A2，A3； (2)猜想An(n∈N*)； (3)证明：An(n∈N*)的特征值是与n无关的常数，并求出此常数．