2019-2020年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2双曲线的简单几何性质课后导练新人教B版选修.doc

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2019-2020年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2双曲线的简单几何性质课后导练新人教B版选修 基础达标 1.双曲线与椭圆=1有相同的焦点，它的一条渐近线为y=－x，则双曲线方程为（ ） A.x2-y2=96 B.y2-x2=160 C.x2-y2=80 D.y2-x2=24 答案：D 2.实轴长为45且过点A(2，-5)的双曲线的标准方程是（ ） A.=1 B.=1 C.=1 D.=1 答案：B 3.中心在坐标原点，离心率为的圆锥曲线的焦点在y轴上，则它的渐近线方程为（ ） A.y=x B.y=x C.y=x D.y=x 答案：D 4.焦点为(0，6)且与双曲线-y2=1有相同渐近线的双曲线方程是（ ） A.=1 B.=1 C.=1 D.=1 答案：B 5.若双曲线的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率e等于（ ） A. B. C. D. 答案：C 6.双曲线5y2-4x2=-20的实轴长为_____________,虚轴长为_____________,渐近线方程为,离心率为_______________. 答案：2 4 y=x 7.准线方程为x+y=1，相应的焦点为（1，1）的等轴双曲线方程是_________________. 答案：xy= 8.已知双曲线x2-3y2=3上一点P到左、右焦点的距离之比为1∶2,则P点到右准线的距离为______________. 答案：6 9.双曲线=1与直线y=kx-1只有一个公共点，求k的值. 解：直线y=kx-1过(0，-1)点，若使直线与双曲线只有一个公共点，必须直线与双曲线的渐近线平行或直线与双曲线相切. 当直线与渐近线平行时，双曲线的渐近线方程是y=x. ∴k=式. 10.双曲线与圆x2+y2=17有公共点A（4，-1），圆在A点的切线与双曲线的渐近线平行，求双曲线的标准方程. 解:∵点A与圆心O的连线的斜率为-， ∴过A的切线的斜率为4. ∴双曲线的渐近线方程为y=4x. 设双曲线方程为x2=λ. ∵点A（4，-1）在双曲线上， ∴16=λ,λ=. ∴双曲线的标准方程为=1. 综合运用 11.已知双曲线=1(a＞0,b＞0),F1、F2为双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，求|PF1||PF2|的最小值. 解:设P点的横坐标为x0，则x0≥a或x0≤-a.由焦半径公式得|PF1||PF2|=|a-ex0||a+ex0|=|a2- x02|=x02-a2=x02-a2. ∵|x0|≥a,∴x02≥a2. ∴|PF1||PF2|≥a2-a2=b2. 当|x0|=a时，上式“=”成立. ∴|PF1||PF2|的最小值为b2. 12.在双曲线=-1的一支上有不同的三点A（x1，y1）、B（x2，6）、C（x3，y3），与焦点F（0，5）的距离成等差数列. （1）求y1+y3的值； （2）求证：线段AC的垂直平分线经过某一定点，并求出定点坐标. 答案：（1）解：∵=e. ∴|PF|=ey-a.又A、B、C到F的距离成等差数列， ∴2（ey2-a）=（ey1-a）+（ey3-a）. ∴y1+y3=2y2=12. （2）证明：由题意，得. ①-②，得（y1-y3）（y1+y3）（x1-x3）（x1+x3）=0. ∴ 若x1+x3=0， 则kAC=0，y1=y3=y2=6，A、B、C三点共线，这是不可能的. ∴x1+x3≠0.则AC的中垂线方程为y-6=（x）. 即y=. 因此，AC的中垂线过定点（0，）. 13.双曲线的中心在坐标原点，离心率为4，一条准线方程是x=,求双曲线的方程. 解:∵双曲线的中心在原点，准线和x轴垂直， ∴双曲线的方程是标准的且焦点在x轴上. ∵=4,=. ∴a=2,c=8.∴b2=82-22=60. ∴双曲线的方程是=1. 拓展探究 14.已知双曲线=1，F为其右焦点，A（4，1）为平面上一点，点P为双曲线上一点，求|PA|+ |PF|的最小值（如右图）. 解：由双曲线的第二定义可知=e，其中d为P到右准线l：x=的距离，e=. ∴|PF|=ed=d. ∴|PA|+|PF|=|PA|+d. ∴|PA|+|PF|=|PA|+d，则求|PA|+|PF|的最小值：在双曲线上求一点P，使P到A的距离与到右准线l：x=的距离之和最小，如题图，由平面几何的知识知道，从直线外一点向该直线所引的线段中，垂线段最短，从而过点A向右准线l：x=作垂线ＡＢ，交双曲线于P点，此时|PA|+d最小，即|PA|+|PF|最小，最小值为垂线段AB的长，易求|AB|=，故|PA|+|PF|的最小值为. 15.已知点M(-2,0)、N(2,0),动点P满足条件|PM|-|PN|=22.记动点P的轨迹为W. (1)求W的方程; (2)若A、B是W上的不同两点,O是坐标原点,求的最小值. 解法一:(1)由|PM|-|PN|=2知动点P的轨迹是以M、N为焦点的双曲线的右支,实半轴长a=. 又半焦距c=2,故虚半轴长b=. 所以W的方程为=1,x≥. (2)设A、B坐标分别为(x1,y1),(x2,y2). 当AB⊥x轴时,x1=x2,y1=-y2. 从而=x1x2+y1y2=x12-y12=2. 当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为y=kx+m,与W的方程联立,消去y得(1-k2)x2-2kmx-m2-2=0. 故x1+x2=,x1x2=. 所以=x1x2+y1y2 =x1x2+(kx1+m)(kx2+m) =(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2 = =. 又因为x1x2＞0,所以k2-1＞0,从而＞2. 综上,当AB⊥x轴时,取得最小值2. 解法二:(1)同解法一. (2)设A、B的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),则xi2-yi2=(xi+yi)(xi-yi)=2(i=1,2). 令si=xi+yi,ti=xi-yi, 则siti=-2,且si＞0,ti＞0(i=1,2),所以 =x1x2+y1y2 =(s1+t1)(s2+t2)+(s1-t1)(s2-t2) =s1s2+t1t2≥=2. 当且仅当s1s2=t1t2,即时“=”成立. 所以的最小值是2.