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2019-2020年高中数学 1．2.2 函数的表示法 第二课时教案精讲 新人教A版必修1
1．分段函数
如果函数y＝f(x)，x∈A，根据自变量x在A中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数．
2．映射
设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．
[小问题大思维]
1．分段函数中，分几段就是几个函数，对吗？
提示：不对．分段函数是一个函数，只不过它的解析式是(对应关系)是分段表示的，其图象是由几段图象构成．
2．函数y＝的定义域是什么？
提示：定义域为(－∞，0)∪[1，＋∞)．
3．函数与映射有哪些联系与区别？
提示：(1)联系：映射的概念是在函数的现代定义(集合语言定义)基础上引申、拓展的；函数是一个特殊的映射，反过来，要善于用映射的语言来叙述函数的问题．
(2)区别：函数是非空数集A到非空数集B的映射；而对于映射而言，A和B不一定是数集．
分段函数求值问题
[例1] 已知函数f(x)＝
求f(－5)，f(－)，f(f(－))的值．
[自主解答] 由－5∈(－∞，－2]，－∈(－2,2)，－∈(－∞，－2]，知f(－5)＝－5＋1＝－4，f(－)＝(－)2＋2(－)＝3－2.
∵f(－)＝－＋1＝－，－2<－<2，
∴f(f(－))＝f(－)＝(－)2＋2(－)＝－3＝－.
在本例中，若f(a)＝3，则a为何值？
解：①当a≤－2时，f(a)＝a＋1，
∴a＋1＝3.∴a＝2>－2不合题意，舍去．
②当－2
0时，B中对应元素不唯一)；在D中，集合A中元素为0时，其倒数不存在，因而0在B中无对应元素，故同样不是映射；B符合定义．
答案：B
解题高手
易错题
审题要严，做题要细，一招不慎，满盘皆输，试试能否走出迷宫！
某农户计划建一矩形羊圈，现有可作为围墙的材料总长度为100米，求羊圈的面积S与长x的函数关系．
[错解] 设羊圈的长为x米，则宽为(50－x)米，由题意，得S＝x(50－x)．
故函数关系式为S＝x(50－x)．
[错因] 错解中函数关系式不完整，缺少自变量x的取值范围．
[正解] 设羊圈的长为x米，则宽为(50－x)米，由题意，得S＝x(50－x)．
因为当自变量x取非正数或不小于50的数时，S的值是0或负数，即羊圈的面积为0或负数，这不符合实际情况，所以自变量x的取值范围为0100时y＝1000.5＋(x－100)0.4＝10＋0.4x.
答案：y＝
5．已知从集合A到集合B的映射是f1：x→2x－1，从B到C的映射是f2：y→，则从A→C的映射为________．
解析：由已知可得＝，
∴A→C的映射为x→.
答案：x→
6．在交通拥挤及事故多发地段，为了确保交通安全，规定在此地段内，车距d是车速v(公里/小时)的平方与车身长S(米)的积的正比例函数，且最小车距不得小于车身长的一半．现假定车速为50公里/小时，车距恰好等于车身长，试写出d关于v的函数关系式(其中S为常数)．
解：根据题意可得d＝kv2S.∵v＝50时，d＝S，代入d＝kv2S中，解得k＝.
∴d＝v2S.当d＝时，可解得v＝25.
∴d＝
一、选择题
1．下列集合A到集合B的对应关系f是映射的是( )
A．A＝{－1,0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数平方
B．A＝{0,1}，B＝{－1,0,1，}，f：A中的数开方
C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数
D．A＝R，B＝{正实数}，f：A中的数取绝对值
解析：B中元素1在f下有两个元素1与之对应，不是映射；C中元素0无倒数，不是映射；D中元素0在B中无元素与之对应，不是映射．
答案：A
2．已知f(x)＝则f(f(－7))的值为( )
A．100 B．10
C．－10 D．－100
解析：f(－7)＝10，f(f(－7))＝f(10)＝1010＝100.
答案：A
3．给出下列四个对应，其中是映射的是( )
解析：B项中M中元素2、4在N中没有元素与之对应；C项，M中元素1、2在N中对应不唯一；D项，M、N中元素重复，而且，M中元素3在N中对应不唯一．
答案：A
4．若定义运算a⊙b＝，则函数f(x)＝x⊙(2－x)的值域是( )
A．(－∞，1] B．(－∞，1)
C．(－∞，＋∞) D．(1，＋∞)
解析：∵f(x)＝x⊙(2－x)＝
∴f(x)的值域为(－∞，1]．
答案：A
二、填空题
5．已知函数f(x)＝若f(a)＝3，则a等于________．
解析：由f(a)＝3，当a≤－1时，a＋2＝3，
∴a＝1>－1(舍去)．
当－1m)．设集合A＝[0，t](t>0)，集合B＝[a，b](b>a)，从集合A到集合B的映射f：x→y＝2x＋t，若集合B的长度比集合A的长度大5，则实数t＝________.
解析：由于集合A和集合B均是数集，则该映射f：x→y是函数，且f(x)＝2x＋t.当x∈A时，f(x)的值域为[f(0)，f(t)]，即[t,3t]，所以集合B的长度为3t－t＝2t，又集合A的长度为t－0＝t，则2t－t＝5，解得t＝5.
答案：5
三、解答题
9．已知在函数f(x)＝1＋(－2
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