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2019-2020年高中数学 6.2算术平均数与几何平均数（第二课时） 大纲人教版必修
●教学目标
(一)教学知识点
1.a2+b2≥2ab(a,b∈R)；(a>0,b>0)，当且仅当a=b时取“=”号.
2.若a>0，b>0，且a＋b＝M，M为定值，则ab≤，“=”当且仅当a＝b时成立.（即两个正数的和为定值时，它们的积有最大值）.
3.若a>0，b>0，且ab＝P，P为定值，则a＋b≥2，“=”当且仅当a＝b时成立.（即两个正数的积为定值时，它们的和有最小值）
(二)能力训练要求
1.学生对问题的探索、研究、归纳，能总结出一般性的解题方法和解题规律，进一步使学生掌握所学知识点的结构特征和取“=”条件.
2.强化双语教学.
(三)德育渗透目标
本节是探索、研究性课题，始终以学生动口、动脑、动手去探索，应用公式，激发学生的学习动机，激励学生去取得成功.在分析具体问题特点的过程中，通过寻求运用公式的适当形式和具体方式，自觉提高学生思维训练，分析问题和解决问题的能力.
●教学重点
基本不等式a2＋b2≥2ab和≥（a＞0，b＞0）的应用，应注意：
(1)这两个数(或三个数)都必须是正数，例如：当xy＝4时，如果没有x、y都为正数的条件，就不能说x＋y有最小值4，因为若都是负数且满足xy＝4，x＋y也是负数，此时x＋y可以取比4小的值.
(2)这两个数必须满足“和为定值”或“积为定值”，如果找不出“定值”的条件，就不能用这个定理.
(3)要保证“=”确定能成立，如果等号不能成立，那么求出的值仍不是最值.
●教学难点
如何凑成两个(或三个)数的和或积是定值.
●教学方法
激励——探索——讨论——发现
●教具准备
小黑板或多媒体
课件一：记作6.2.2 A
几个重要的不等式
1.a2＋b2≥2ab（a，b∈R），当且仅当a＝b时取“＝”号.
2.（a＞0，b＞0），当且仅当a＝b时取“＝”号.
3. ≥2（ab＞0），当且仅当a＝b时取“＝”号.
课件二：记作6.2.2 B
试一试 寻思路
例1 已知x，y都是正数，求证：
（1）若积xy是定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值2；
（2）若和x+y是定值S，那么当x=y时，积xy有最大值S2.
课件三：记作6.2.2 C
练一练 求稳固
1.已知x≠0，当x取什么值时，x2+的值最小？最小值是多少？
2.一段长为L m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
3.设0
0,b>0,x>0,y>0,=1，求证：x+y≥()2.
2.若x,y,z∈R,x+y+z=1，求证x2+y2+z2≥.
●教学过程
[师]Good morning, everyone.
（同学们上午好）
[生]Good morning, teacher.
（老师上午好）
[师]Sit down, please.（请坐）
Today we’ll learn the new lesson.
（今天我们开始上新课）
Are you ready?
（准备好了吗？）
[生]Yes.（是的）
[师]OK! Now let’s begin.
（好！现在开始上课）
Ⅰ.课题导入
上一节课，我们学习了一个重要定理：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数(以下简称均值不等式).这个定理有时可以直接运用，有时用它的变形或推广形式，它的应用非常广泛，例如：证明不等式，求函数最值，判断变量或数学式子的取值范围等等.它们涉及到的题目活、变形多，必须把握好凑形技巧.今天，我们共同来探索研究均值不等式的应用.
Ⅱ.讲授新课
想一想 公式通
（让同学们默读、联想、记忆上一节课所学内容，并加以口头回答，教师打出课件一6.2.2 A对照检查其正确性）
[师]谁来回答我们上一节课学的定理呢？
[生1]a2＋b2≥2ab（a，b∈R），当且仅当a＝b时取“＝”号；
（a＞0，b＞0），当且仅当a＝b时取“＝”号；
[师]它有哪些推广呢？
[生2] ≥2（ab＞0），当且仅当a＝b时取“＝”号；
[生3] （a＞0，b＞0，c＞0），当且仅当a＝b＝c时取“＝”号；
a3＋b3＋c3≥3abc（a＞0，b＞0，c＞0），当且仅当a＝b＝c时取“＝”号.（注：教师可板书公式）
[师]请生3回答，你是如何想到的呢？
[生3]我是通过课本目录，看到P24阅读材料与我们本节内容有关系，通过预习知道的.
[师]非常好！请同学们为上述同学能主动积极回答问题加油鼓掌.
试一试 寻思路
[教师打出课件二6.2.2 B，让同学们根据公式试着做如下题目，并通过讨论（同学间讨论、师生间交流），归纳出解决问题的基本思想]
［例1］已知x、y都是正数，求证：
(1)若积xy是定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2；
(2)若和x＋y是定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2.
［生4］（1）∵x，y都是正数
∴
当积xy＝P为定值时，有，
即x＋y≥2.
上式中，当x＝y时取“＝”号，故当x＝y时，和x＋y有最小值2.
[生5](2) ∵x>0,y>0, ∴x+y≥2，∴≤
当和x＋y＝S为定值时，有，
即xy≤S2.
上式中，当x=y时取“=”号，故当x=y时积xy有最大值S2.
(生推导，师欣赏，鼓励学生，生板演，得出)
（生积极主动，推导板演，师欣赏，鼓励学生勇于探索）
[生6]（方法一）∵a>0,b>0,∴a2+b2≥2ab，∴a2≥2ab-b2，
∴a3+b3=aa2+bb2≥a(2ab-b2)+b(2ab-a2)=a2b+ab2.
[生7]（方法二）∵a>0,b>0,c>0,
∴a3+b3+c3≥3abc，
又∵a>0,b>0，
∴a2b+ab2=aab+abb≤=a3+b3，
即a3+b3≥a2b+ab2.
（师：做完一道题目，如果能够广开思维方向，积极进行多途径探索，将会促使你的解题能力快速提高）
（让同学们进行交流、归纳，总结出上述同学们完成题目的基本思想）
［生8］对例1的证明告知我们，运用均值不等式解决函数的最值问题时，有下面的方法：若两个正数之和为定值，则当且仅当两数相等时，它们的积有最大值；若两个正数之积为定值，则当且仅当两数相等时，它们的和有最小值.
[生9]在利用均值不等式求函数的最值问题时，我们应把握好以下两点：(1)函数式中，各项(必要时，还要考虑常数项)必须都是正数.例如，对于函数式x＋，当x＜0时，绝不能错误地认为关系式x＋≥2成立，并由此得出x＋的最小值是2.事实上，当x＜0时，x＋的最大值是－2，这是因为x＜0－x＞0，－＞0－（x＋）＝（－x）＋（－）≥2＝2x＋≤－2.同时还可以看出，最大值是－2，它在x＝－1时取得.(2)函数式中，含变数的各项的和或积必须是常数，并且只有当各项相等时，才能利用均值不等式求函数的最值.
[生10]在运用均值不等式时应注意：“算术平均数”是以“和”为其本质特征，而“几何平均数”是以“积”为其本质特征.
[师]上述题目的解决启发我们：观察所求式，联想所学公式的结构特征，构造出符合公式结构的形式，转化为利用公式求解（数学思想方法的提炼）
练一练 求稳固
（打出课件三6.2.2 C，让同学们通过课堂练习进一步巩固本节的重要不等式——均值不等式，以达到熟练运用均值不等式解决问题的能力）
Ⅲ.课堂练习
1.已知x≠0，当x取什么值时，x2＋的值最小?最小值是多少?
[生11]x≠0x2＞0，＞0.
∴x2＋≥2＝1８，
当且仅当x2＝，即x＝3时取“＝”号.
故x=3时，x2+的值最小，其最小值是18.
2.一段长为Ｌ m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少?
[生12]（方法一）设矩形菜园的宽为x m，则长为（Ｌ－2x）m，其中0＜x＜，其面积
S＝x（Ｌ－2x）＝2x（Ｌ－2x）≤，
当且仅当2x＝Ｌ－2x，即x＝时菜园面积最大，即菜园长m，宽为 m时菜园面积最大为 m2.
[生13]（方法二）设矩形的长为x m，则宽为m，面积
S＝
≤（m2）.
当且仅当x＝Ｌ－x，即x＝（m）时，矩形的面积最大.也就是菜园的长为m，宽为m时，菜园的面积最大，最大面积为m2.
3.设0＜x＜2，求函数f（x）＝的最大值，并求出相应的x值.
[生14]∵0＜x＜2
∴3x＞0，8－3x＞0
∴f（x）＝≤＝4
当且仅当3x＝8－3x时，即x＝时取“＝”号.
故函数f（x）的最大值为4，此时x＝.
4.利用算术平均数与几何平均数的关系定理(均值不等式)，可以很容易地解决本章开始的引言中提出的问题：
某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800 m3，深为3 m，如果池底每1 m2的造价为150元，池壁每1 m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元?
［生15］设水池底面一边的长度为x m，则另一边的长度为m，又设水池总造价为ｌ元.根据题意，得
ｌ＝150＋120（23x＋23）
＝240000＋720（x＋）.
≥240000＋7202
＝240000＋720240＝297600.
当x＝，即x＝40时，ｌ有最小值297600.
故当水池的底面是边长为40 m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元.
[师]（巡视，欣赏，帮助个别学生解决）
［生16］用均值不等式解决应用题时，应按如下步骤进行：
（留给学生时间进行讨论交流，让学生归纳出运用均值不等式解决应用题的一般步骤）
(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；
(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；
(4)正确写出答案.
[师]同学们完成得很好！我们继续看下面的问题：
议一议 谋发展
[打出课件四6.2.2 D通过学生探索、讨论，进一步加深对均值不等式的理解，而且激励学生参与或自主发现新知识，感受到知识的发生、发展的过程，并认识到“合情推理”是发明、发现新知识（学生变式思维和创新意识得到发展）的重要法宝]
[探究性学习——点击高考]
1.已知a>0，b>0，x>0，y>0，=1，求证：x+y≥()2.
[学生探索、讨论]巧用条件“1=”的整体代入，变形后应用二元均值不等式.
[生17]（常见的错误解法）
由二元均值不等式，得
1=≥2，
即，
所以x+y≥2≥22=4，故x+y≥4.
显然上述证法中未出现（）2，证法错了.
[师]谁勇敢地再来尝试一下呢？
[生18]（方法一）∵1=，
∴x+y=(x+y)1=(x+y)( )（巧用条件）
=a+b+a+b≥a+b+2=()2.
即x+y≥()2.
[生19]（方法二）∵=1，
∴设=sin2θ，=cos2θ(0<θ<)，
则有x=acsc2θ，y=bsec2θ，
∴x+y=acsc2θ+bsec2θ（巧换元）
=a(1+cot2θ)+b(1+tan2θ)
=a+b+(cotθ)2+(tanθ)2
≥a+b+2cotθtanθ
=()2，
故x+y≥()2.
[生20]（方法三）∵=1，
∴y==b+(x>a)，
∴x+y=x+b+（解代消元）
=(x-a)++a+b（巧配凑）
≥2+a+b
=()2，
即x+y≥()2.
[生21]（方法四）若令m=x+y，与=1联立消去y，就得关于x的一元方程.可用判别式法证之.具体步骤：略.
[师]（证法的灵活关键在于条件的巧用）
2.若x，y，z∈R，x+y+z=1，求证x2+y2+z2≥.
[学生探索1]从所证不等式是二次式，而已知等式是一次式出发，易想到先对条件平方，再设法用二元均值不等式证之.
[生22]（方法一）∵x+y+z=1，
∴1=(x+y+z)2=x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx
≤x2+y2+z2+(x2+y2)+(y2+z2)+(z2+x2)=3(x2+y2+z2)，
∴x2+y2+z2≥.
[生23]（方法二）3(x2+y2+z2)=x2+y2+z2+(x2+y2)+(y2+z2)+(z2+x2)
≥x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx=(x+y+z)2=1，
即x2+y2+z2≥.
[学生探索2]活用二元均值不等式的关键在于创设条件，进行恰当的分拆或配凑.易知本例所证不等式取等号的条件是x=y=z=，此时x2=y2=z2=，则有如下证法.
[生24]（方法三）∵=++,
∴x2+y2+z2=(x2+)(y2+)+(z2+)-
≥2x+2y+2z-
=(x+y+z)-
=-=，
故x2+y2+z2≥.
[生25]（常见的错误证法）
∵x+y+z=1，
∴令x=-t，y=-2t，z=+3t（t为参数）
则有x2+y2+z2
=(-t)2+(-2t)2+(+3t)2
=+14t2≥，
即x2+y2+z2≥.
[师生交流]上述证法，一方面，在条件x+y+z=1中，只要确定了x,y,z中的两个字母的值，其第三个字母的值也就自然确定了.而另一方面，令x=-t，y=-2t,z=+3t后，只要确定了参数t的值即可确定出x,y,z的值.这就是上述证法犯了以特殊代替一般的错误.
[学生探索3]采用增量换元法.
[生26]∵x+y+z=1，
∴可设x=+t1，y=+t2，z=+t3，则有t1+t2+t3=0，
∴x2+y2+z2
=(+t1)2+(+t2)2+(+t3)2
=+(t1+t2+t3)+(t12+t22+t32)
=+(t12+t22+t32)≥，
即x2+y2+z2≥.
[师]同学们能从多角度深化题目：“若x,y,z∈R，且x+y+z=1，求证：x2+y2+z2≥”吗？
（让同学们探索、思考、讨论、解决，问题激励、语言激励）
[生（齐）]能！
[师]需要老师给你们举一些例子吗？
[生]NO！我们自己解决！
[师]好！我相信同学们一定会做得很出色！
（问题再次激励同学们去探索、创新）
（同学们积极探索、讨论，教师巡视、欣赏，指导并帮助个别学生举一些恰当的例子）
[生27]从指数方向推广，有如下例子：
（1）若x>0，y>0，z>0，x+y+z=1，求证：x3+y3+z3≥.
（2）若x，y，z∈R，x+y+z=1，求证：x4+y4+z4≥.
[生28]从项数方向推广，有如下例子：
（1）若a，b，c，d∈R，a+b+c+d=1，求证：a2+b2+c2+d2≥.
（2）若ai∈R(i=1,2,…,n)，a1+a2+…+an=1，求证：a12+a22+…+an2≥.
[生29]从指数和项数两方面进行推广，有如下例子：
若a>0，b>0，c>0，d>0，a+b+c+d=1，求证：a3+b3+c3+d3≥.
[师]棒极了！更深层次的推广，还请同学们在以后的学习中不断探索创新.
[师点]培养学生探究性学习的好习惯，重在点击悟性、打开思路、启迪智慧、授之以法.让学生学会学习、学会思考、学会沟通、学会运用.注重发散思维和聚敛思维训练，脱离题海，给高考“善事”以“利器”之技巧.
Ⅳ.课时小结
[师]我们一起回忆，小结这节课所学的内容.
[生]（总结）本节课我们用均值不等式顺利解决了函数的一些最值问题.在解决问题时，我们重点从以下三个方面加以考虑：一是均值不等式成立的条件(各因式或项都取正值)；二是合理寻求各因式的和或项的积为定值；三是确定等号能够成立.同时，我们用探究性的学习方法，在分析具体问题特点的过程当中合理运用公式的适当形和具体方式，解决某些实际问题，实实在在地提高数学素质，培养我们的创新能力，能顺利面对新的挑战.
Ⅴ.课后作业
(一)1.预习：课本P12 6.3.1 不等式的证明.
2.预习提纲：
(1)用比较法证明不等式.
(2)用比较法证明不等式的一般步骤：
作差(或商)→变形→判断差（或商）的符号(差与零或商与1的大小)→得证.
（二）做一做 肯定行
课本P11习题6.2 4、5、7
●板书设计
6.2.2 算术平均数与几何平均数(二)
想一想 公式通 （公式 性质）
试一试 寻思路 （例题 探索）
练一练 求稳固 （内容 巩固）
议一议 谋发展 （点击高考 知识创新）
做一做 肯定行 （探究学习 掌握策略）
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