2019-2020年高中数学课时跟踪检测十三空间向量的数乘运算新人教A版选修.doc

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2019-2020年高中数学课时跟踪检测十三空间向量的数乘运算新人教A版选修 1．已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，有＝x＋＋，则x的值为(　　) A．1　　　　　　　　　　 B．0 C．3 D. 解析：选D　∵＝x＋＋，且M，A，B，C四点共面，∴x＋＋＝1，x＝. 2．已知空间向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是(　　) A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D 解析：选A　∵＝＋＝2a＋4b＝2， ∴A，B，D三点共线． 3．若空间中任意四点O，A，B，P满足＝m＋n，其中m＋n＝1，则(　　) A．P∈AB B．P∉AB C．点P可能在直线AB上 D．以上都不对 解析：选A　因为m＋n＝1，所以m＝1－n， 所以＝(1－n) ＋n， 即－＝n(－)， 即＝n，所以与共线． 又，有公共起点A， 所以P，A，B三点在同一直线上， 即P∈AB. 4．在下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是(　　) A．＝3－2－ B．＋＋＋＝0 C．＋＋＝0 D．＝－＋ 解析：选C　∵＋＋＝0， ∴＝－－， ∴M与A，B，C必共面． 5．已知正方体ABCDA1B1C1D1中，＝，若＝x＋y(＋)，则(　　) A．x＝1，y＝ B．x＝，y＝1 C．x＝1，y＝ D．x＝1，y＝ 解析：选D　因为＝＋＝＋＝＋(＋)，所以x＝1，y＝. 6．化简：(a＋2b－3c)＋5－3(a－2b＋c)＝________. 解析：原式＝a＋b－c＋a－b＋c－3a＋6b－3c＝a＋b＋c＝a＋b－c. 答案：a＋b－c 7．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ＝________. 解析：＝－＝－＝－(－)＝＋，又＝＋λ，所以λ＝. 答案： 8．有下列命题： ①若∥，则A，B，C，D四点共线； ②若∥，则A，B，C三点共线； ③若e1，e2为不共线的非零向量，a＝4e1－e2，b＝－e1＋e2，则a∥b； ④若向量e1，e2，e3是三个不共面的向量，且满足等式k1e1＋k2e2＋k3e3＝0，则k1＝k2＝k3＝0. 其中是真命题的序号是________(把所有真命题的序号都填上)． 解析：根据共线向量的定义，若∥，则AB∥CD或A，B，C，D四点共线，故①错； 因为∥且，有公共点A，所以②正确； 由于a＝4e1－e2＝－4－e1＋e2＝－4b，所以a∥b.故③正确； 易知④也正确． 答案：②③④ 9.在空间四边形ABCD中，G为△BCD的重心，E，F分别为边CD和AD的中点，试化简＋－，并在图中标出化简结果的向量． 解：∵G是△BCD的重心，BE是CD边上的中线， ∴＝. 又＝(－) ＝－＝－＝， ∴＋－ ＝＋－＝ (如图所示)． 10.如图，平行六面体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1. (1)证明：A，E，C1，F四点共面； (2)若＝x＋y＋z，求x＋y＋z的值． 解：(1)证明：∵ABCDA1B1C1D1是平行六面体， ∴＝＝＝， ∴＝，＝， ∴＝＋＋＝＋＋＋ ＝＋＝＋＋＋＝＋，由向量共面的充要条件知A，E，C1，F四点共面． (2)∵＝－＝＋－(＋)＝＋－－＝－＋＋，又＝x＋y＋z，∴x＝－1，y＝1，z＝， ∴x＋y＋z＝. 层级二　应试能力达标 1．给出下列命题： ①若A，B，C，D是空间任意四点，则有＋＋＋＝0； ②|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件； ③若，共线，则AB∥CD； ④对空间任意一点O与不共线的三点A，B，C，若＝x ＋y ＋z (其中x，y，z∈R)，则P，A，B，C四点共面． 其中不正确命题的个数是(　　) A．1　　　　　　　　　 　B．2 C．3 D．4 解析：选C　显然①正确；若a，b共线，则|a|＋|b|＝|a＋b|或|a＋b|＝||a|－|b||，故②错误；若，共线，则直线AB，CD可能重合，故③错误；只有当x＋y＋z＝1时，P，A，B，C四点才共面，故④错误．故选C. 2．若a，b是平面α内的两个向量，则(　　) A．α内任一向量p＝λa＋μb(λ，μ∈R) B．若存在λ，μ∈R使λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0 C．若a，b不共线，则空间任一向量p＝λa＋μb(λ，μ∈R) D．若a，b不共线，则α内任一向量p＝λa＋μb(λ，μ∈R) 解析：选D　当a与b共线时，A项不正确；当a与b是相反向量，λ＝μ≠0时，λa＋μb＝0，故B项不正确；若a与b不共线，则平面α内任意向量可以用a，b表示，对空间向量则不一定，故C项不正确，D项正确． 3．已知i与j不共线，则存在两个非零常数m，n，使k＝mi＋nj是i，j，k共面的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A　若i与j不共线，则k与i，j共面⇔存在唯一的一对实数x，y，使k＝xi＋yj，x，y不一定非零．故选A. 4．若P，A，B，C为空间四点，且有＝α＋β，则α＋β＝1是A，B，C三点共线的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选C　若α＋β＝1，则－＝β(－)，即＝β，显然A，B，C三点共线；若A，B，C三点共线，则存在实数λ，使＝λ，故－＝λ(－)，整理得＝(1＋λ) －λ，令α＝1＋λ，β＝－λ，则α＋β＝1，故选C. 5.如图，已知空间四边形ABCD中，＝a－2c，＝5a＋6b－8c，对角线AC，BD的中点分别为E，F，则＝______(用向量a，b，c表示)． 解析：设G为BC的中点，连接EG，FG，则＝ ＋ ＝＋ ＝(a－2c)＋(5a＋6b－8c) ＝3a＋3b－5c. 答案：3a＋3b－5c 6.如图所示，在四面体OABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝________(用a，b，c表示)． 解析：＝＋＝a＋＝a＋(－)＝a＋＝a＋(＋)＝a＋b＋c. 答案：a＋b＋c 7.如图，已知M，N分别为四面体ABCD的面BCD与面ACD的重心，G为AM上一点，且GM∶GA＝1∶3.求证：B，G，N三点共线． 证明：设＝a，＝b，＝c，则＝＋＝＋ ＝－a＋(a＋b＋c) ＝－a＋b＋c， ＝＋＝＋(＋) ＝－a＋b＋c＝， ∴∥. 又BN∩BG＝B，∴B，G，N三点共线． 8.如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是ABCD所在平面外的一点，连接PA，PB，PC，PD.设点E，F，G，H分别为△PAB，△PBC，△PCD，△PDA的重心． (1)试用向量方法证明E，F，G，H四点共面； (2)试判断平面EFGH与平面ABCD的位置关系，并用向量方法证明你的判断． 证明：(1)分别连接PE，PF，PG，PH并延长，交对边于点M，N，Q，R， 连接MN，NQ，QR，RM， ∵E，F，G，H分别是所在三角形的重心， ∴M，N，Q，R是所在边的中点，且＝，＝，＝，＝. 由题意知四边形MNQR是平行四边形， ∴＝＋＝(－)＋(－) ＝(－)＋(－) ＝(＋)． 又＝－＝－＝. ∴＝＋， 由共面向量定理知，E，F，G，H四点共面． (2)平行．证明如下： 由(1)得＝， ∴∥， ∴∥平面ABCD. 又＝－＝－ ＝，∴∥. 即EF∥平面ABCD. 又∵EG∩EF＝E， ∴平面EFGH与平面ABCD平行．