2019-2020年高考数学一轮复习 几何证明选讲 第2讲　圆周角定理与圆的切线教案 理 新人教版选修4-1.doc

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2019-2020年高考数学一轮复习 几何证明选讲 第2讲　圆周角定理与圆的切线教案 理 新人教版选修4-1 【xx年高考会这样考】 考查圆的切线定理和性质定理的应用． 【复习指导】 本讲复习时，牢牢抓住圆的切线定理和性质定理，以及圆周角定理和弦切角等有关知识，重点掌握解决问题的基本方法. 基础梳理 1．圆周角定理 (1)圆周角：顶点在圆周上且两边都与圆相交的角． (2)圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧度数的一半． (3)圆周角定理的推论 ①同弧(或等弧)上的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等． ②半圆(或直径)所对的圆周角是90；90的圆周角所对的弦是直径． 2．圆的切线 (1)直线与圆的位置关系 直线与圆交点的个数 直线到圆心的距离d与圆的半径r的关系 相交 两个 d＜r 相切 一个 d＝r 相离 无 d＞r (2)切线的性质及判定 ①切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径． ②切线的判定定理 过半径外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线． (3)切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线长相等． 3．弦切角 (1)弦切角：顶点在圆上，一边与圆相切，另一边与圆相交的角． (2)弦切角定理及推论 ①定理：弦切角的度数等于所夹弧的度数的一半． ②推论：同弧(或等弧)上的弦切角相等，同弧(或等弧)上的弦切角与圆周角相等． 双基自测 1．如图所示，△ABC中，∠C＝90，AB＝10，AC＝6，以AC为直径的圆与斜边交于点P，则BP长为________． 解析　连接CP.由推论2知∠CPA＝90，即CP⊥AB，由射影定理知，AC2＝ APAB.∴AP＝3.6，∴BP＝AB－AP＝6.4. 答案　6.4 2．如图所示，AB、AC是⊙O的两条切线，切点分别为B、C，D是优弧上的点，已知∠BAC＝80， 那么∠BDC＝________. 解析　连接OB、OC，则OB⊥AB，OC⊥AC，∴∠BOC＝180－∠BAC＝100， ∴∠BDC＝∠BOC＝50. 答案　50 3．(xx广州测试(一))如图所示，CD是圆O的切线，切点为C，点A、B在圆O上，BC＝1，∠BCD＝30，则圆O的面积为________． 解析　连接OC，OB，依题意得，∠COB＝2∠CAB＝2∠BCD＝60，又OB＝OC， 因此△BOC是等边三角形， OB＝OC＝BC＝1，即圆O的半径为1， 所以圆O的面积为π12＝π. 答案　π 4． (xx深圳二次调研)如图，直角三角形ABC中，∠B＝90，AB＝4，以BC为直径的圆交AC边于点D，AD＝2，则∠C的大小为________． 解析　连接BD，则有∠ADB＝90.在Rt△ABD中，AB＝4，AD＝2，所以∠A＝60；在Rt△ABC中，∠A＝60，于是有∠C＝30. 答案　30 5．(xx汕头调研)如图，MN是圆O的直径，MN的延长线与圆O上过点P的切线PA相交于点A，若∠M＝30，AP＝2，则圆O的直径为________． 解析　连接OP，因为∠M＝30，所以∠AOP＝60，因为PA切圆O于P，所以OP⊥AP，在Rt△ADO中，OP＝＝＝2，故圆O的直径为4. 答案　4 考向一　圆周角的计算与证明 【例1】►(xx中山模拟)如图，AB为⊙O的直径，弦AC、BD交于点P，若AB＝3，CD＝1，则sin∠APB＝________. [审题视点] 连结AD，BC，结合正弦定理求解． 解析　连接AD，BC.因为AB是圆O 的直径，所以∠ADB＝∠ACB＝90. 又∠ACD＝∠ABD，所以在△ACD中，由正弦定理得：＝＝＝＝AB＝3，又CD＝1，所以sin∠DAC＝sin∠DAP＝，所以cos∠DAP＝. 又sin∠APB＝sin (90＋∠DAP)＝cos∠DAP＝. 答案　 解决本题的关键是寻找∠APB与∠DAP的关系以及AD与AB的关系． 【训练1】 如图，点A，B，C是圆O上的点，且AB＝4，∠ACB＝30，则圆O的面积等于________． 解析　连接AO，OB.因为∠ACB＝30，所以∠AOB＝60，△AOB为等边三角形，故圆O的半径r＝OA＝AB＝4，圆O的面积S＝πr2＝16π. 答案　16π 考向二　弦切角定理及推论的应用 【例2】►如图，梯形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，过B引⊙O的切线分别交DA、CA的延长线于E、F.已知BC＝8，CD＝5，AF＝6，则EF的长为________． [审题视点] 先证明△EAB∽△ABC，再由AE∥BC及＝等条件转化为线 段之间的比例关系，从而求解． 解析　∵BE切⊙O于B，∴∠ABE＝∠ACB. 又AD∥BC，∴∠EAB＝∠ABC， ∴△EAB∽△ABC，∴＝. 又AE∥BC，∴＝，∴＝. 又AD∥BC，∴＝， ∴AB＝CD，∴＝，∴＝， ∴EF＝＝. 答案　 (1)圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小． (2)涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直线(或半径)或向弦(弧)两端画圆周角或作弦切角． 【训练2】 (xx新课标全国)如图，已知圆上的弧＝，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明： (1)∠ACE＝∠BCD； (2)BC2＝BECD. 证明　(1)因为＝， 所以∠BCD＝∠ABC. 又因为EC与圆相切于点C，故∠ACE＝∠ABC， 所以∠ACE＝∠BCD. (2)因为∠ECB＝∠CDB，∠EBC＝∠BCD， 所以△BDC∽△ECB，故＝， 即BC2＝BECD. 高考中几何证明选讲问题(二) 从近两年的新课标高考试题可以看出，圆的切线的有关知识是重点考查对象，并且多以填空题的形式出现． 【示例】► (xx天津卷)如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，且DF＝CF＝，AF∶FB∶BE＝4∶2∶1.若CE与圆相切，则线段CE的长为________．