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2019-2020年高中数学 第2章 2.2第1课时 综合法与分析法课时作业 新人教B版选修2-2
一、选择题
1．用分析法证明问题是从所证命题的结论出发，寻求使这个结论成立的( )
A．充分条件
B．必要条件
C．充要条件
D．既非充分条件又非必要条件
[答案] A
2．下面的四个不等式：
①a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca；
②a(1－a)≤；
③＋≥2；
④(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.
其中恒成立的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
[答案] C
[解析] ∵(a2＋b2＋c2)－(ab＋bc＋ac)＝[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]≥0
a(1－a)－＝－a2＋a－＝－2≤0，
(a2＋b2)(c2＋d2)＝a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2
≥a2c2＋2abcd＋b2d2＝(ac＋bd)2，
∴①②④正确．故选C.
3．设x＝，y＝－，z＝－，则x、y、z的大小顺序是( )
A．x>y>z B．z>x>y
C．y>z>x D．x>z>y
[答案] D
[解析] ∵x、y、z都是正数，又x2－z2＝2－(8－4)＝4－6＝－＞0，∴x＞z.
∵＝＝＞1.∴z＞y.
∴x>z>y.故选D.
4．若a
0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0，由零点存在性定理知，选A.
5．p＝＋，q＝(m、n、a、b、c、d均为正数)，则p、q的大小为( )
A．p≥q B．p≤q
C．p>q D．不确定
[答案] B
[解析] q＝
≥＝＋＝p.故选B.
6．已知函数f(x)＝x，a、b∈R＋，A＝f，B＝f()，C＝f，则A、B、C的大小关系为( )
A．A≤B≤C B．A≤C≤B
C．B≤C≤A D．C≤B≤A
[答案] A
[解析] ∵≥≥，又函数f(x)＝x在(－∞，＋∞)上是单调减函数，
∴f≤f()≤f.故选A.
7．若x、y∈R，且2x2＋y2＝6x，则x2＋y2＋2x的最大值为( )
A．14 B．15
C．16 D．17
[答案] B
[解析] 由y2＝6x－2x2≥0得0≤x≤3，从而x2＋y2＋2x＝－(x－4)2＋16，∴当x＝3时，最大值为15.
8．设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
[答案] B
[解析] 由正弦定理得sinBcosC＋sinCcosB＝sin2A，所以，sin(B＋C)＝sin2A，∴sinA＝sin2A，而sinA>0，∴sinA＝1，A＝，所以△ABC是直角三角形．
二、填空题
9．设a>0，b>0，c>0，若a＋b＋c＝1，则＋＋的最小值为________．
[答案] 9
[解析] ∵a>0，b>0，c>0，a＋b＋c＝1，
∴＋＋＝＋＋
＝3＋＋＋＋＋＋
≥3＋2＋2＋2＝9，
等号在a＝b＝c＝时成立．
10．若02ab(a≠b)，
∴2ab2(a≠b)，故a＋b最大．
简解：不妨取a＝，b＝，则a＋b＝，2＝，a2＋b2＝，2ab＝，显然最大为a＋b.
11．设p＝2x4＋1，q＝2x3＋x2，x∈R，则p与q的大小关系是________．
[答案] p≥q
[解析] ∵p－q＝2x4＋1－(2x3＋x2)＝(x－1)2(2x2＋2x＋1)，
又2x2＋2x＋1恒大于0，∴p－q≥0，故p≥q.
三、解答题
12．已知a、b、c∈R＋，求证：≥.
[证明] 要证≥，
只需证：≥2，
只需证：3(a2＋b2＋c2)≥a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca，
只需证：2(a2＋b2＋c2)≥2ab＋2bc＋2ca，
只需证：(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≥0，而这是显然成立的，
所以≥成立.
一、选择题
1．已知x、y为正实数，则( )
A．2lgx＋lgy＝2lgx＋2lgy B．2lg(x＋y)＝2lgx2lgy
C．2lgxlgy＝2lgx＋2lgy D．2lg(xy)＝2lgx2lgy
[答案] D
[解析] 2lg(xy)＝2(lgx＋lgy)＝2lgx2lgy.
2．已知a>0，b>0，＋＝1，则a＋2b的最小值为( )
A．7＋2 B．2
C．7＋2 D．14
[答案] A
[解析] a＋2b＝(a＋2b)＝7＋＋.
又∵a>0，b>0，∴由均值不等式可得：a＋2b＝7＋＋≥7＋2＝7＋2.当且仅当＝且＋＝1，即3a2＝2b2且＋＝1时等号成立，故选A.
3．若两个正实数x、y满足＋＝1，且不等式x＋0，y>0，＋＝1，∴x＋＝(x＋)(＋)＝2＋＋≥2＋2＝4，等号在y＝4x，即x＝2，y＝8时成立，∴x＋的最小值为4，要使不等式m2－3m>x＋有解，应有m2－3m>4，∴m<－1或m>4，故选B.
4．在f(m，n)中，m、n、f(m，n)∈N*，且对任意m、n都有：
(1)f(1,1)＝1，(2)f(m，n＋1)＝f(m，n)＋2，(3)f(m＋1,1)＝2f(m,1)；给出下列三个结论：
①f(1,5)＝9；②f(5,1)＝16；③f(5,6)＝26；
其中正确的结论个数是________个．
( )
A．3 B．2
C．1 D．0
[答案] A
[解析] ∵f(m，n＋1)＝f(m，n)＋2，∴f(m，n)组成首项为f(m,1)，公差为2的等差数列，
∴f(m，n)＝f(m,1)＋2(n－1)．
又f(1,1)＝1，∴f(1,5)＝f(1,1)＋2(5－1)＝9，
又∵f(m＋1,1)＝2f(m,1)，∴f(m,1)构成首项为f(1,1)，公比为2的等比数列，∴f(m,1)＝f(1,1)2m－1＝2m－1，∴f(5,1)＝25－1＝16，∴f(5,6)＝f(5,1)＋2(6－1)＝16＋10＝26，∴①②③都正确，故选A.
二、填空题
5．函数y＝f(x)在(0,2)上是增函数，函数y＝f(x＋2)是偶函数，则f(1)，f(2.5)，f(3.5)的大小关系是________________．
[答案] f(3.5)－.
[证明] 要证>－，
即证1>n－，只需证>n－1，
∵n≥2，∴只需证n(n－1)>(n－1)2，
只需证n>n－1，只需证0>－1，
最后一个不等式显然成立，故原结论成立．
9．观察下题的解答过程：
已知正实数a、b满足a＋b＝1，求＋的最大值．
解：∵≤＝a＋，≤＝b＋，
相加得＋＝(＋)≤a＋b＋3＝4.
∴＋≤2，等号在a＝b＝时取得，
即＋的最大值为2.
请类比上题解法使用综合法证明下题：
已知正实数x、y、z满足x＋y＋z＝2，求证：＋＋≤.
[解析] ∵≤＝x＋，
≤＝y＋，
≤＝z＋，
相加得(＋＋)≤x＋y＋z＋5＝7，
即＋＋≤7＝，等号在x＝y＝z＝时取得．
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