2019-2020年高中数学 第三章 函数的应用 第2节 函数模型及其应用（4）教案 新人教A版必修1.doc

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2019-2020年高中数学 第三章 函数的应用 第2节 函数模型及其应用（4）教案 新人教A版必修1 教学分析　　　　　 本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学1必修(A版)》第三章的3.2.2“函数模型的应用实例”，即建立拟合函数模型解决实际问题． 函数模型的应用是中学数学的重要内容之一，它主要包含三个方面：利用给定的函数模型解决实际问题，建立确定性函数模型解决问题，建立拟合函数模型解决实际问题．而建立拟合函数模型解决实际问题是其重点，也是难点．函数模型的应用教学，既有不可替代的位置，又有重要的现实意义． 本节通过实例来说明函数模型的应用，是因为函数模型本身就来源于现实，能给学生提供更多从实际问题中发现或建立数学模型的机会，并体会数学在实际问题中的应用价值．因此在中学教学中有重要的地位． 学情分析　　　　　 学生在学习本节内容之前，已经学习了函数的图象和性质，理解了函数的图象与性质之间的关系，尤其是学习了3.2.1几类不同的函数增长模型和3.2.2函数模型的应用实例．学会了如何利用给定的函数模型解决实际问题，建立确定性函数模型解决问题，已经具备了一定的函数模型应用能力．这为理解建立拟合函数模型解决实际问题提供了基础，也为深入理解如何建立合适的拟合函数模型提供了依据．但学生对于动态数据认识薄弱，对于综合应用函数图象与性质尚不够熟练，这些都给学生选择合适的模型造成一定的困难．因此，在教学时应该为学生创设熟悉的问题情境，充分利用学生熟悉的函数图象来选择合适的模型．引导学生观察、计算、思考和理解问题的本质． 教学目标　　　　　 知识与技能：了解函数拟合的基本思想，学会建立拟合函数模型解决实际问题． 过程与方法：借助信息技术，利用数据画出函数图象，从拟合简单的一次函数模型入手，掌握多角度观察函数图象的技能，探究出各种合适的拟合函数模型．在建构知识的过程中体会数形结合的思想与从特殊到一般的归纳思想． 情感、态度与价值观：体验探究的乐趣，体验函数是描述变化规律的基本数学模型，培养学生分析解决问题的能力． 重点与难点　　　　　 重点：将实际问题化为函数模型，建立合适的拟合函数模型解决简单的实际问题． 难点：如何建立适当的函数模型来解决实际问题． 设计思想 一、创设应用情境，引出问题 前面我们学习过两种函数模型的应用，分别是利用给定函数模型解决实际问题，建立确定性的函数模型解决问题，那么在既没有给出函数模型又无法建立确定性函数模型的情况下，又该如何解决实际问题呢？ 二、组织探究 例1下表是我校从实施研究性学习以来，高一年级段学生的研究性学习小论文在我市每年一次的评比中获奖的相关数据． 年份 1 2 3 4 5 篇数 14 21 27 35 41 请描点画出获奖篇数随年份变化的图象，并写出一个能基本反映这个变化现象的函数解析式． 设计意图 以学生熟悉的实际问题为背景，激活学生的原有知识，形成学生的“再创造”欲望，让学生在熟悉的环境中发现新知识，使新知识和原知识形成联系，同时也体现了数学的应用价值． 探究： (1)组织学生读、议，小组讨论该如何分析题目？ ①列表 c1 c2 c3 c4 c5 c6 1 14 2 21 3 27 4 35 5 41 ②描点 图1 ③根据点的分布特征，可以考虑以一次函数y＝kx＋b(k≠0)作为描绘篇数与年份的变化趋势． 取(1,14)，(4,35)，有 解得这样，我们就得到函数模型y＝7x＋7. 作出此模型函数图象如下： 图2 根据上述图象，我们发现这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映我校获奖篇数与年份的变化趋势. 变式训练 我校自实施研究性学习以来，全校三个年级段学生的研究性学习小论文在我市每年一次的评比中第1年、第2年、第3年的获奖篇数分别是52、61、68.为了预测以后每年的获奖篇数，甲同学选择了模型y＝ax2＋bx＋c，乙同学选择了模型y＝pqx＋r，其中y为篇数，x为年份．a，b，c，p，q，r都是常数．结果第4年、第5年、第6年的获奖篇数分别为74、78、83，你认为谁选择的模型较好？探究组织学生读、议，小组讨论分析、解决问题．  　解：(1)列表 c1 c2 c3 c4 c5 c6 1 52 2 61 3 68 4 74 5 78 6 83 (2)画散点图 图3 (3)确定函数模型 由前三组数据，用计算器确定函数模型： 甲：y1＝－x2＋12x＋41； 乙：y2＝－52.070.778x＋92.5. (4)作出函数图象进行比较 计算x＝6时，y1＝77，y2＝80.9. 图4 可见，乙同学选择的模型较好. 设计意图 此变式训练是为进一步巩固例1的拟合函数思想，培养学生的应用数学意识与提高解决问题能力． 例2我校不同身高的男、女同学的体重平均值如下表： 身高/cm 150 152 154 156 158 160 162 164 166 168 170 172 体重/kg 42.9 44.8 46.5 48.5 50.2 52.3 54.2 56.6 59.1 61.4 63.8 66.2 (1)根据表中提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映我校同学体重y kg与身高x cm的函数关系？试写出这个函数模型的解析式． (2)若体重超过相同身高的同学体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，下面请各位同学对照拟合函数模型来测算自己的体重是否正常？ 设计意图 本例题以学生熟悉的问题出发再创设情境，引起学生的学习兴趣，再次引发学生构建自身基础上的“再创造”，并通过小组合作学习，培养学生解决问题的能力，应用数学的意识． 问题(1)的探究： ①通过学生自主活动分析数据，发现本题只给出了通过测量得到的数据表，要想由这些数据直接发现函数模型是困难的． ②教师引导学生将表中的数据输入计算器或计算机，画出它们的散点图．教师提问所作散点图与已知的哪个函数图象最接近，从而选择这个函数模型． 图5 由图可发现指数型函数y＝abx的图象可能与散点图的吻合较好，可选之． ③教师再问：如何确定拟合函数模型中a，b值． ④教师把学生每4人分成一小组合作探究，求出拟合函数模型中a，b的值，然后画出图形，得到的拟合函数效果如何？ ⑤教师下去巡视后，请小组中的1名成员上台到实物投影处讲解． 组1：选取(150,42.9)，(154,46.5)两组数据，用计算器得a＝0.918，b＝1.026. 从而得函数解析式为y＝0.9181.026x，画出这个函数图象与散点图． 图6 我们发现，函数y＝0.9181.026x不能很好地反映我校学生身高与体重的关系． 组2：选取(168,61.4)，(172,66.2)两组数据，用计算器算出a＝3.065，b＝1.018. 这样得到函数模型为y＝3.0651.018x，画出这个函数图象与散点图． 图7 我们发现，函数y＝3.0651.018x不能很好地反映我校学生身高与体重关系． 组3：选取(154,46.5)，(168,61.4)两组数据，用计算器算出a＝2.2，b＝1.02. 这样得出函数模型为y＝2.21.02x，画出这个函数图象与散点图． 图8 我们发现，散点图上的点基本上或大多数接近函数y＝2.21.02x的图象，所以函数y＝2.21.02x很好地刻画了我校学生身高与体重的关系． 教师引导学生回顾问题的特点及解决问题的过程与方法．本题需要判断选择的函数模型与问题所给数据的吻合程度，当取表中不同的两组数据时，得到的函数解析式可能会不一样，需不断修正．当然本题若运用计算器或计算机的拟合功能，那么获得的函数模型会更精确，下课后同学们自己试一试，并且本例题体现了一个完整的建立函数模型进而解决问题的过程． 在教师引导下，请一学生归纳解决问题的基本过程： 设计意图 引导学生进行反思和总结，并将之一般化，用流程的形式表达出来，培养了学生的反思能力及总结提升的能力． 问题(2)探究： 由于是研究学生自身的体重问题，因而学生的兴趣很高，每人很快都编好了自己的问题，解答起来．如一男生身高175 cm，体重80 kg，他的计算如下： 将x＝175代入y＝2.21.02x，得y＝2.21.02175≈70.4. 由于8070.4≈1.136<1.2. 所以，该男生体重正常． 设计意图 采用师生平等对话交流，学生单独完成的模式．因为本题是测算自己本身体重的问题，所以学生兴趣很高．本题问题难度不大，但意义重大，是培养数学应用意识的重要素材，即用拟合函数来预测自己关心的日常生活问题，学生体验过程方式教学，体现了新课程的理念． 三、练习反馈 教材本节练习1. 学生完成后在小组中互相批改、交流． 设计意图 本环节以个别指导为主，体现面对全体学生的理念，使学生及时巩固所学知识、方法，以达到教学目标． 四、小结反思 以小组中1人总结，3人倾听的方式，对本课内容进行自主小结，教师归纳强调建立拟合函数模型解决实际问题的基本过程． 设计意图 提高学习主动性，培养学生表达、交流的数学能力，自主小结的形式是将课堂还给学生，是对所学内容的回顾与梳理． 五、课外作业 教材习题3.2A组1题，B组1题． 六、课外实践 通过拟合函数模型看温州经济发展． 上网收集1995～xx年温州的国内生产总值、财政收支、对外经济三项数据，建立适当的拟合函数模型，画出拟合函数模型的图象，并通过拟合函数图象来预测温州在xx年的经济发展状况． 设计意图 课外作业为巩固作业，课外实践为拓展作业，培养学生应用数学知识、提高解决问题的能力，培养学生的探究和再创造能力． 教学流程　　　　　 ——实际问题引入，激发学生兴趣． ↓ ——画出散点图，建立模型，体会不同函数模型拟合的准确程度． ↓ ——由数据画出散点图，建立拟合函数模型，尝试选择不同的函数拟合数据并不断修正． ↓ ——师生交流共同小结，归纳建立拟合函数模型应用题的求解方法与步骤． ↓ ——强化基本方法及过程，规范基本格式． ↓ ——收集生活中的具体实际问题，运用拟合函数思想来解决，培养问题意识及提高应用数学的能力． 知识结构　　　　　 问题探讨　　　　　 (1)第三章的3.2.2函数模型的应用实例是否可以设置为3课时，给定的函数模型、建立确定性函数模型、建立拟合函数模型解决实际问题各设置1课时，这样可以让学生感受到函数的广泛应用，真实体验到数学是有用的；体现新课程的问题性，应用性特点；培养学生的问题意识，更加拓展学生数学活动的空间，发展学生“做数学”“用数学”的意识． (2)在函数模型的应用中，建立拟合函数模型解决实际问题是实际应用最广泛、学生最陌生、也是难度最大的，尤其是如何建立适当的拟合函数模型来解决实际问题．建议在教材中是否可安排更多的建立拟合函数模型解决实际问题的例题，加深学生对如何建立适当拟合函数模型的理解．并在练习中多安排渗透拟合函数思想的思考题． 学习资源