《2019-2020年高考数学二轮复习第二部分板块（二）系统热门考点——以点带面教学案理.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019-2020年高考数学二轮复习第二部分板块（二）系统热门考点——以点带面教学案理.doc（76页珍藏版）》请在装配图网上搜索。
2019-2020年高考数学二轮复习第二部分板块（二）系统热门考点——以点带面教学案理
函数性质主要指函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性，要深刻理解并加以巧妙地运用．
以对称性为例，若函数f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则函数图象关于直线x＝对称；若函数f(x)满足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，则函数图象关于点对称．
[例1] 定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－2)＝－f(x)，且在[0,1]上是增函数，则有( )
A．f
2时，f(x)单调递增．因为x1＋x2<4且(x1－2)(x2－2)<0，设x1<20时，f(x)为增函数，log0.53＝－log23，∴log25>|－log0.53|>0.
∴b＝f(log25)>a＝f(log0.53)>c＝f(2m)．
3．已知y＝f(x)＋x2是奇函数，且f(1)＝1.若g(x)＝f(x)＋2，则g(－1)＝________.
解析：由题意得g(－1)＝f(－1)＋2.又f(－1)＋(－1)2＝－[f(1)＋12]＝－2，所以f(－1)＝－3.
故f(－1)＋2＝－3＋2＝－1，即g(－1)＝－1.
答案：－1
4．函数f(x)是定义在R上的偶函数，且满足f(x＋2)＝f(x)．当x∈[0,1]时，f(x)＝2x.若在区间[－2,3]上方程ax＋2a－f(x)＝0恰有四个不相等的实数根，则实数a的取值范围是________．
解析：由f(x＋2)＝f(x)，得函数的周期是2.
由ax＋2a－f(x)＝0，
得f(x)＝ax＋2A．
设y＝f(x)，则y＝ax＋2a，作出函数y＝f(x)，y＝ax＋2a的图象，如图．
要使方程ax＋2a－f(x)＝0恰有四个不相等的实数根，则直线y＝ax＋2a＝a(x＋2)的斜率满足kAH0)，则当函数h(x)有三个零点时，实数m的取值范围为( )
A． B．
C． D．
[解析] 选C 在同一直角坐标系中，作出函数y＝f(x)和y＝g(x)的图象如图所示．
当两函数图象交于点A(1,0)时，即有1－1＋m－＝0，解得m＝，
所以当函数h(x)有三个零点时，
即为点A和y＝f(x)与x轴的两个交点，
若满足条件，则需
解得0⇒f(x)为增函数；
②f′(x)<0⇒f(x)为减函数；
③f′(x)＝0⇒f(x)为常数函数．
2．求函数f(x)极值的方法
求函数的极值应先确定函数的定义域，解方程f′(x)＝0，再判断f′(x)＝0的根是否是极值点，可通过列表的形式进行分析，若遇极值点含参数不能比较大小时，则需分类讨论．
[例1] 若函数f(x)＝2sin x(x∈[0，π))的图象在切点P处的切线平行于函数g(x)＝2的图象在切点Q处的切线，则直线PQ的斜率为( )
A． B．2
C． D．
[解析] 选A 由题意得f′(x)＝2cos x，g′(x)＝x＋x－.设P(x1，f(x1))，Q(x2，g(x2))，
又f′(x1)＝g′(x2)，即2cos x1＝x2＋x－2，
故4cos2x1＝x2＋x＋2，
所以－4＋4cos2x1＝x2＋x－2，
即－4sin2x1＝(x2－x－2)2，
所以sin x1＝0，x1＝0，x2＝x－2，x2＝1，
故P(0,0)，Q，故kPQ＝.
[技法领悟]
求曲线的切线方程时，要注意是在点P处的切线还是过点P的切线，前者点P为切点，后者点P不一定为切点．
[例2] 已知函数f(x)(x∈R)满足f(1)＝1，且f(x)的导数f′(x)<，则不等式f(x2)<＋的解集为________．
[解析] 设F(x)＝f(x)－x，∴F′(x)＝f′(x)－，∵f′(x)<，∴F′(x)＝f′(x)－<0，即函数F(x)在R上单调递减．∵f(x2)<＋，∴f(x2)－1，即x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
[答案] (－∞，－1)∪(1，＋∞)
[例3] 已知函数f(x)＝(ax＋b)ln x－bx＋3在(1，f(1))处的切线方程为y＝2.
(1)求a，b的值；
(2)求函数f(x)的极值；
(3)若g(x)＝f(x)＋kx在(1,3)上是单调函数，求k的取值范围．
[解] (1)因为f(1)＝－b＋3＝2，所以b＝1.
又f′(x)＝＋aln x＋a－b＝＋aln x＋a－1，
而函数f(x)在(1，f(1))处的切线方程为y＝2，
所以f′(1)＝1＋a－1＝0，所以a＝0.
(2)由(1)得f(x)＝ln x－x＋3，f′(x)＝－1(x>0)．
令f′(x)＝0，得x＝1.
当00；当x>1时，f′(x)<0，
所以f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
故f(x)的极大值为f(1)＝2，无极小值．
(3)由g(x)＝f(x)＋kx，得g(x)＝ln x＋(k－1)x＋3(x>0)，g′(x)＝＋k－1，
又g(x)在x∈(1,3)上是单调函数，
若g(x)为增函数，有g′(x)≥0，
即g′(x)＝＋k－1≥0，即k≥1－在x∈(1,3)上恒成立．
又1－∈，所以k≥.
若g(x)为减函数，有g′(x)≤0，
即g′(x)＝＋k－1≤0，即k≤1－在x∈(1,3)上恒成立，
又1－∈，所以k≤0.
综上，k的取值范围为(－∞，0]∪.
[技法领悟]
破解此类问题需注意两点：
(1)求函数的单调区间时应优先考虑函数的定义域；
(2)求得函数在多个区间单调性相同时，区间之间用“，”分割，或用“和”相连，一般不用“∪”．
[经典好题——练一手]
1．f(x)＝x(2 016＋ln x)，若f′(x0)＝2 017，则x0＝( )
A．e2 B．1
C．ln 2 D．e
解析：选B f′(x)＝2 016＋ln x＋x＝2 017＋ln x，由f′(x0)＝2 017，得2 017＋ln x0＝2 017，所以ln x0＝0，解得x0＝1.
2．定义：如果函数f(x)在[m，n]上存在x1，x2(m0，b>0)，则函数g(x)＝aln x＋在点(b，g(b))处的切线斜率的最小值是________．
解析：因为f′(x)＝x2－bx＋a，
所以g(x)＝aln x＋＋1.
所以g′(x)＝＋(x>0)，
因为a>0，b>0，则g′(b)＝＋＝＋≥2，当且仅当a＝b＝1时取“＝”，
所以斜率的最小值为2.
答案：2
4．已知函数f(x)＝(x＋1)2ln(x＋1)－x，φ(x)＝mx2.
(1)当m＝时，求函数g(x)＝f(x)－φ(x)的极值；
(2)当m＝1且x≥0时，证明：f(x)≥φ(x)；
(3)若x≥0，f(x)≥φ(x)恒成立，求实数m的取值范围．
解：(1)当m＝时，
g(x)＝f(x)－φ(x)＝(x＋1)2ln(x＋1)－x－，x>－1，
所以g′(x)＝2(x＋1)ln(x＋1)＋(x＋1)2－1－x＝2(x＋1)ln(x＋1)．
由解得x＝0，
当x变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下表：
x
(－1,0)
0
(0，＋∞)
g′(x)
－
0
＋
g(x)
极小值
所以函数g(x)的极小值为g(0)＝0，无极大值．
(2)证明：当m＝1时，令p(x)＝f(x)－φ(x)＝(x＋1)2ln(x＋1)－x－x2(x≥0)，
所以p′(x)＝2(x＋1)ln(x＋1)＋(x＋1)2－1－2x＝2(x＋1)ln(x＋1)－x.
设p′(x)＝G(x)，则G′(x)＝2ln(x＋1)＋1>0，
所以函数p′(x)在[0，＋∞)上单调递增，
所以p′(x)≥p′(0)＝0，
所以函数p(x)在[0，＋∞)上单调递增，
所以p(x)≥p(0)＝0.
所以f(x)≥φ(x)．
(3)设h(x)＝(x＋1)2ln(x＋1)－x－mx2(x≥0)，
所以h′(x)＝2(x＋1)ln(x＋1)＋x－2mx.
由(2)知当x≥0时，(x＋1)2ln(x＋1)≥x2＋x＝x(x＋1)，
所以(x＋1)ln(x＋1)≥x，所以h′(x)≥3x－2mx.
①当3－2m≥0，即m≤时，h′(x)≥0，
所以h(x)在[0，＋∞)上单调递增，
所以h(x)≥h(0)＝0，满足题意．
②当3－2m<0，即m>时，
设H(x)＝h′(x)＝2(x＋1)ln(x＋1)＋(1－2m)x，
则H′(x)＝2ln(x＋1)＋3－2m，
令H′(x)＝0，得x0＝e－1>0，
故h′(x)在[0，x0)上单调递减，在[x0，＋∞)上单调递增．
当x∈[0，x0)时，h′(x)0，x∈R.函数f(x)＝mn的最小正周期为π.
(1)求ω的值；
(2)在△ABC中，若f(B)＝－2，BC＝，sin B＝sin A，求的值．
[解] (1)f(x)＝mn＝2sin ωxcos ωx＋cos2ωx－sin2ωx＝sin 2ωx＋cos 2ωx＝2sin.
因为f(x)的最小正周期为π，所以T＝＝π.
因为ω>0，所以ω＝1.
(2)设△ABC中内角A，B，C所对的边分别是a，b，C．
因为f(B)＝－2，所以2sin＝－2，
即sin＝－1，得B＝.
因为BC＝，所以a＝.
因为sin B＝sin A，所以b＝a，得b＝3.
由正弦定理有＝，解得sin A＝.
因为0b⇔A>B⇔sin A>sin B⇔cos Ac2(c为最大边)；
钝角三角形⇔a2＋b2，C＋B>，A＋C>；
②任意角的正弦值都大于其他角的余弦值．
(4)在△ABC中，A，B，C成等差数列⇔B＝60；在△ABC中，A，B，C成等差数列，且a，b，c成等比数列⇔三角形为等边三角形．
2．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其面积为S.
(1)S＝aha＝bhb＝chc(ha，hb，hc分别表示a，b，c边上的高)．
(2)S＝absin C＝bcsin A＝casin B.
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形ABC内切圆的半径)．
(六)向量小题 三招搞定
[速解技法——学一招]
解决与向量有关的小题，一般用三招，即“构图、分解、建系”，就能突破难点，顺利解决问题.
[例1] 已知＝0，||＝1，||＝2，＝0，则||的最大值为( )
A． B．2
C． D．2
[解析] 选C 由＝0可知，⊥.
故以B为坐标原点，分别以BA，BC所在的直线为x轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则由题意，可得B(0,0)，A(1,0)，C(0,2)．
设D(x，y)，则＝(x－1，y)，＝(－x,2－y)．
由＝0，可得(x－1)(－x)＋y(2－y)＝0，
整理得2＋(y－1)2＝.
所以点D在以E为圆心，半径r＝的圆上．
因为||表示B，D两点间的距离，
而||＝，
所以||的最大值为||＋r＝＋＝.
[例2] 已知点C为线段AB上一点，P为直线AB外一点，PC是∠APB的平分线，I为PC上一点，满足＝＋λ(λ>0)，||－||＝4，|－|＝10，则的值为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
[解析] 选B
因为|－|＝||＝10，PC是∠APB的平分线，又＝＋λ(λ>0)，
即AI―→＝λ，
所以I在∠BAP的平分线上，
由此得I是△ABP的内心．
如图，过I作IH⊥AB于H，以I为圆心，IH为半径作△PAB的内切圆，分别切PA，PB于E，F，
因为||－||＝4，|－|＝10，
||＝||＝(||＋||－||)
＝[||－(||－||)]＝3.
在Rt△BIH中，cos∠IBH＝，
所以＝||cos∠IBH＝||＝3.
[经典好题——练一手]
1．(xx宝鸡质检)在等腰直角△ABC中，∠ABC＝90，|AB|＝|BC|＝2，M，N(不与A，C重合)为AC边上的两个动点，且满足||＝，则的取值范围为( )
A． B．
C． D．
解析：选C 以等腰直角三角形的直角边BC为x轴，BA为y轴，建立平面直角坐标系如图所示，则B(0，0)，直线AC的方程为x＋y＝2.
设M(a,2－a)，00，b>0，
则D，P，
所以|PC|2＝2＋2＝＋，
|PB|2＝2＋2＝＋，
|PA|2＝2＋2＝＋，
所以|PA|2＋|PB|2＝＋＋＋＝10＝10|PC|2，
所以＝10.
法二：(特殊值法)令|AC|＝|CB|＝1，则|PC|＝|AB|＝，|PA|2＝|PB|2＝，易得＝10.
答案：10
[常用结论——记一番]
1．在四边形ABCD中：
(1)＝，则四边形ABCD为平行四边形；
(2)＝且(＋)(－)＝0，则四边形ABCD为菱形；
(3)＝且|＋|＝|－|，则四边形ABCD为矩形；
(4)若＝λ (λ>0，λ≠1)，则四边形ABCD为梯形．
2．设O为△ABC所在平面上一点，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，则
(1)O为△ABC的外心⇔2＝2＝2.
(2)O为△ABC的重心⇔＋＋＝0.
(3)O为△ABC的垂心⇔＝＝.
(4)O为△ABC的内心⇔a＋b＋c＝0.
(5)O为△ABC的A的旁心⇔a＝b＋c.
(七)玩转通项 搞定数列
[速解技法——学一招]
几种常见的数列类型及通项的求法
(1)递推公式为an＋1＝an＋f(n)
解法：把原递推公式转化为an＋1－an＝f(n)，利用累加法(逐差相加法)求解．
(2)递推公式为an＋1＝f(n)an
解法：把原递推公式转化为＝f(n)，利用累乘法(逐商相乘法)求解．
(3)递推公式为an＋1＝pan＋q
解法：通过待定系数法，将原问题转化为特殊数列{an＋k}的形式求解．
(4)递推公式为an＋1＝pan＋f(n)
解法：利用待定系数法，构造数列{bn}，消去f(n)带来的差异．
[例1] 已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝an，求an.
[解] 由条件知＝，分别令n＝1,2,3，…，(n－1)，代入上式得(n－1)个等式累乘，
即…＝…⇒＝.
又∵a1＝，∴an＝.
[技法领悟]
累加、累乘法起源于等差、等比数列通项公式的求解．使用过程中要注意赋值后得到(n－1)个式子，若把其相加或相乘，等式的左边得到的结果是an－a1或，添加首项后，等式的左边累加或累乘的结果才为an.
[例2] 已知数列{an}的首项a1＝1，an＋1＝，求数列的前10项和．
[解] 因为an＋1＝，
所以＝＝2＋，即－＝2，
所以是首项为1，公差为2的等差数列，
所以＝2n－1，所以an＝，
而＝＝，
所以＋＋…＋＝
＝＝.
[经典好题——练一手]
1．已知数列{an}的首项a1＝2，且an＋1＝an＋n＋1，则数列{an}的通项公式an＝( )
A． B．
C．－1 D．＋1
解析：选D 因为an＋1＝an＋n＋1，
所以an＋1－an＝n＋1，
分别把n＝1,2,3，…，n－1代入上式，得到(n－1)个等式，
an－an－1＝(n－1)＋1，
an－1－an－2＝(n－2)＋1，
an－2－an－3＝(n－3)＋1，
…
a2－a1＝1＋1.
又a1＝2＝1＋1，
故将上述n个式子相加得an＝[(n－1)＋(n－2)＋(n－3)＋…＋2＋1]＋n＋1＝[n＋(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1]＋1＝＋1.
2．已知数列{an}满足a1＝1，an＝an－1＋1(n≥2)，则数列{an}的通项公式an＝________.
解析：由an＝an－1＋1(n≥2)，得an－2＝(an－1－2)，而a1－2＝1－2＝－1，
∴数列{an－2}是首项为－1，公比为的等比数列．
∴an－2＝－n－1，∴an＝2－n－1.
答案：2－n－1
3．设{an}是首项为1的正项数列，且a－a－nan－nan－1＝0(n∈N*，n≥2)，则数列的通项公式an＝________.
解析：由题设得(an＋an－1)(an－an－1－n)＝0，
由an>0，an－1>0知an＋an－1>0，于是an－an－1＝n，
所以an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋2＋3＋…＋n＝.
答案：
4．在数列{an}中，已知a1＝－1，an＋1＝2an＋43n－1，求通项公式an.
解：原递推式可化为an＋1＋λ3n＝2(an＋λ3n－1)，比较系数得λ＝－4，
即an＋1－43n＝2(an－43n－1)，
则数列{an－43n－1}是首项为a1－431－1＝－5，公比为2的等比数列，
故an－43n－1＝－52n－1，
即an＝43n－1－52n－1.
[常用结论——记一番]
等差(比)数列的重要结论
(1)数列{an}是等差数列⇔数列{c}是等比数列；数列{an}是等比数列，则数列{loga|an|}是等差数列．
(2){an}，{bn}是等差数列，Sn，Tn分别为它们的前n项和，若bm≠0，则＝.
(3)首项为正(或为负)递减(或递增)的等差数列前n项和最大(或最小)问题转化为解不等式，也可化为二次型函数Sn＝An2＋Bn来分析，注意n∈N*.
(4)等差(比)数列中，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…(各项均不为0)仍是等差(比)数列．
(八)掌握规律 巧妙求和
[速解技法——学一招]
求数列的前n项和的主要方法
(1)公式法：对于等差数列或等比数列可用公式法．
(2)裂项相消法：将数列的每一项分解为两项的差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而累加相消．
(3)错位相减法：若{an}为等差数列，{bn}为等比数列，则对于数列{anbn}的前n项和可用错位相减法．
(4)倒序相加法：如果一个数列{an}与首末两端等“距离”的两项的和等于同一个常数，那么求这个数列前n项和即可用倒序相加法．
(5)分组求和法：将原数列分解成可用公式法求和的若干个数列．
[例1] 已知等差数列{an}中，2a2＋a3＋a5＝20，且前10项和S10＝100.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{an2}的前n项和．
[解] (1)设等差数列{an}的公差为d，由已知得
解得
所以{an}的通项公式为an＝1＋2(n－1)＝2n－1.
(2)令bn＝2，由(1)可知anbn＝(2n－1)22n－1，
设Tn为数列{anbn}的前n项和，
所以Tn＝121＋323＋525＋…＋(2n－3)22n－3＋(2n－1)22n－1，①
4Tn＝123＋325＋527＋…＋(2n－3)22n－1＋(2n－1)22n＋1，②
①－②得：－3Tn＝2＋2(23＋25＋…＋22n－1)－(2n－1)22n＋1，
所以Tn＝
＝
＝
＝.
[技法领悟]
利用错位相减法求和应注意以下3点
(1)判断模型，即判断数列{an}，{bn}中一个为等差数列，一个为等比数列；
(2)错开位置，一般先乘以公比，再把前n项和退后一个位置来书写，这样避免两式相减时看错列；
(3)相减，相减时定要注意式中最后一项的符号，考生常在此处出错，一定要细心．
[例2] 已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝a＋an，bn＝(n∈N*)，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，Pn＝b1b2…bn，求2Pn＋Sn的值．
[解] 因为a1＝，an＋1＝a＋an，n∈N*，
所以an＋1>an>0，an＋1＝an(an＋1)，
所以bn＝＝＝＝－.
Pn＝b1b2…bn＝…＝，
Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝＋＋…＋＝2－，
故2Pn＋Sn＝＋＝2.
[技法领悟]
利用裂项相消法求和应注意以下2点
(1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项；
(2)将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等．如：若{an}是等差数列，则＝，＝.
[经典好题——练一手]
1．(xx届高三湖南十校联考)数列1，3，5，7，…的前n项和Sn＝________.
解析：利用分组求和法，可得Sn＝(1＋3＋5＋…＋2n－1)＋＝n2＋1－.
答案：n2＋1－
2．(xx武汉调研)设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝9，a2为整数，且Sn≤S5，则数列的前9项和为________．
解析：设数列{an}的公差为d，
由Sn≤S5，得即
得－≤d≤－，又a2为整数，
∴d＝－2，an＝a1＋(n－1)d＝11－2n，
故＝，
∴数列的前n项和
Tn＝
＝，
∴T9＝－＝－.
答案：－
3．(xx届高三安徽名校阶段性测试)已知单调递增的等比数列{an}满足a2＋a3＋a4＝28，且a3＋2是a2，a4的等差中项．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝an＋1logan，求数列{bn}的前n项和Sn.
解：(1)设等比数列{an}的首项为a1，公比为q.
依题意，有2(a3＋2)＝a2＋a4，
代入a2＋a3＋a4＝28，得a3＝8.
因此a2＋a4＝20，即有
解得或
又数列{an}单调递增，则故an＝2n.
(2)∵bn＝2n＋1log2n＝－n2n＋1，
∴－Sn＝122＋223＋324＋…＋n2n＋1，①
－2Sn＝123＋224＋325＋…＋(n－1)2n＋1＋n2n＋2.②
①－②，得Sn＝22＋23＋24＋…＋2n＋1－n2n＋2＝－n2n＋2＝(1－n)2n＋2－4.
4．在等差数列{an}中，a2＋a7＝－23，a3＋a8＝－29.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设数列{an＋bn}是首项为1，公比为q的等比数列，求{bn}的前n项和Sn.
解：(1)设等差数列{an}的公差为d.
∵a3＋a8－(a2＋a7)＝2d＝－6.
∴d＝－3，
∴a2＋a7＝2a1＋7d＝－23，解得a1＝－1，
∴数列{an}的通项公式为an＝－3n＋2.
(2)∵数列{an＋bn}是首项为1，公比为q的等比数列，
∴an＋bn＝qn－1，即－3n＋2＋bn＝qn－1，
∴bn＝3n－2＋qn－1.
∴Sn＝[1＋4＋7＋…＋(3n－2)]＋(1＋q＋q2＋…＋qn－1)＝＋(1＋q＋q2＋…＋qn－1)，
故当q＝1时，Sn＝＋n＝；
当q≠1时，Sn＝＋.
[常用结论——记一番]
常用裂项公式
(1)＝－；
(2)＝－；
(3)an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝…a1；
(4)n(n＋1)＝[n(n＋1)(n＋2)－(n－1)n(n＋1)]；
(5)＝；
(6)＝1＋.
(九)求得通项 何愁放缩
[速解技法——学一招]
[例1] 已知数列{an}满足a1＝8，(n＋1)an＋1＝(n＋3)an＋8n＋8，
(1)求an；
(2)求证：＋＋…＋<.
[解] (1)(n＋1)an＋1＝(n＋3)an＋8n＋8两边同除以(n＋1)(n＋2)(n＋3)，
得＝＋，
即－＝8.
利用累加法，可得－＝8，
化简求得an＋1＝4(n＋1)(n＋2)，所以an＝4n(n＋1)．
(2)证明：法一：<＝，
通过计算，当n≥4时，＋＋＋…＋<＋＋＋
<＋＋＋<.
法二：<＝＝.
当n≥3时，＋＋…＋<＋＋<＋＋<＋＋＝.
[例2] 设数列{an}的前n项和为Sn，满足2Sn＝an＋1－2n＋1＋1(n∈N*)，且a1，a2＋5，a3成等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求证：对一切正整数n，有＋＋…＋<.
[解] (1)由2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，得2Sn＋1＝an＋2－2n＋2＋1，两式相减得an＋2＝3an＋1＋2n＋1，
2S1＝a2－3⇔a2＝2a1＋3，a3＝3a2＋4＝6a1＋13，
a1，a2＋5，a3成等差数列⇔a1＋a3＝2(a2＋5)⇔a1＝1.
an＋1＝3an＋2n⇔an＋1＋2n＋1＝3(an＋2n)，
∴数列{an＋2n}为首项是3，公比是3的等比数列．
则an＋2n＝3n，∴an＝3n－2n.
(2)证明：法一：当n＝1时，＝1<，
当n≥2时，n≥2>2⇔3n>22n⇔an>2n⇔<.
∴＋＋…＋<1＋＋＋…＋＝1＋－<.
由上式得：对一切正整数n，有＋＋…＋<.
法二：an＝3n－2n＝(3－2)(3n－1＋3n－22＋3n－322＋…＋2n－1)≥3n－1，
∴≤，
∴＋＋…＋≤1＋＋＋…＋＝<.
[经典好题——练一手]
已知数列{an}满足：a1＝2且an＋1＝(n∈N*)．
(1)求证：数列为等比数列，并求数列{an}的通项公式；
(2)求证：＋＋＋…＋0，所以<0，
即an＋1－2与an－2异号，
故an＋2－2与an－2同号，
于是a2n＋1－2与a2n－1－2同号．
又a1－2＝－1<0，所以a2n＋1<2.
另一方面，
a2n＋1－a2n－1＝－a2n－1＝－a2n－1
＝－a2n－1＝.
由a2n－1<2知a2n＋1－a2n－1>0，即a2n＋1>a2n－1.
综上所述，a2n－1n－1.
故Sn＝b1＋b2＋…＋bn≤1＋＋2＋…＋n－1＝<，
Sn＝b1＋b2＋…＋bn>＝，
综上所述，0，n∈N*.
当n＝1时，＝1>2(－1)，命题成立．
当n≥2时，由an＋1an＝n＋1得anan－1＝n，
所以an(an＋1－an－1)＝1，＝an＋1－an－1.
从而有＝＋(ak＋1－ak－1)＝an＋1＋an－2≥2－2≥2(－1)．
[常用结论——记一番]
经常用到的几种放缩：
(1)<
＝；
(2)＝
＝
＝
<2.
(十一)线性规划 布线行针
[速解技法——学一招]
解不含实际背景的线性规划问题的一般步骤
(1)画出可行域；
(2)根据线性目标函数的几何意义确定其取得最优解的点；
(3)求出目标函数的最大值或最小值．
解决线性规划问题首先要作出可行域，再注意目标函数表示的几何意义，常见几何意义有直线、斜率、距离、面积等，整点问题要验证解决．
[典例] 已知a>0，x，y满足约束条件若z＝2x＋y的最小值为1，则a的值为( )
A． B．
C．1 D．2
[解析] 选B 由约束条件作出可行域(如图所示的△ABC及其内部)．
法一：由得A(1，－2a)，当直线2x＋y－z＝0过点A时，z＝2x＋y取得最小值，所以1＝21－2a，解得a＝.
法二：由目标函数y＝－2x＋z，可知过点A时z最小，最小值为1，则直线2x＋y＝1过点A，由得A(1，－1)，代入y＝a(x－3)得a＝.
[技法领悟]
对于线性规划中的参数问题，需注意
(1)当最值是已知时，目标函数中的参数往往与直线斜率有关，解题时应充分利用斜率这一特征加以转化．
(2)当目标函数与最值都是已知，且约束条件中含有参数时，因为平面区域是变动的，所以要抓住目标函数及最值已知这一突破口，先确定最优解，然后变动参数范围，使得这样的最优解在该区域内即可．
[经典好题——练一手]
1．设不等式组表示的平面区
2019-2020年高考数学二轮复习第二部分板块（二）系统热门考点——以点带面教学案理.doc
装配图网所有资源均是用户自行上传分享，仅供网友学习交流，未经上传用户书面授权，请勿作他用。
链接地址：https://www.zhuangpeitu.com/p-2659506.html