2019-2020年高考数学考点分类自测 平面向量的数量积及平面向量的应用 理.doc

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2019-2020年高考数学考点分类自测 平面向量的数量积及平面向量的应用 理 一、选择题 1．若向量a，b，c满足a∥b且a⊥c， 则c(a＋2b)＝(　　) A．4 B．3 C．2 D．0 2．若向量a＝(1,2)，b＝(1，－1)，则2a＋b与a－b的夹角等于(　　) A．－ B. C. D. 3．已知a＝(1,2)，b＝(x,4)且ab＝10，则|a－b|＝(　　) A．－10 B．10 C．－ D. 4．若a，b，c均为单位向量，且ab＝0，(a－c)(b－c)≤0，则|a＋b－c|的最大值为(　　) A.－1 B．1 C. D．2 5．已知a与b均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题 p1：|a＋b|>1⇔θ∈[0，)　 p2：|a＋b|>1⇔θ∈(，π] p3：|a－b|>1⇔θ∈[0，)　 p4：|a－b|>1⇔θ∈(，π] 其中的真命题是(　　) A．p1，p4 B．p1，p3 C．p2，p3 D．p2，p4 6．已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的函数f(x)＝x3＋|a|x2＋abx在R上有极值，则a与b的夹角范围为(　　) A．(0，) B．(，π] C．(，π] D．(，] 二、填空题 7．已知两个单位向量e1，e2的夹角为，若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1b2＝________. 8．已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a＋b与向量ka－b垂直，则k＝________. 9．已知|a|＝|b|＝2，(a＋2b)(a－b)＝－2，则a与b的夹角为____． 三、解答题 10．已知a、b、c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1,2)． (1)若|c|＝2，且c∥a，求c的坐标； (2)若|b|＝，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ. 11．设a＝(1＋cos x,1＋sin x)，b＝(1,0)，c＝(1,2)． (1)求证：(a－b)⊥(a－c)； (2)求|a|的最大值，并求此时x的值． 12．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c.若＝＝k(k∈R)． (1)判断△ABC的形状； (2)若k＝2，求b的值． 一、选择题 1．解析：由a∥b及a⊥c，得b⊥c， 则c(a＋2b)＝ca＋2cb＝0.答案：D 2．解析：2a＋b＝(3,3)，a－b＝(0,3)，则cos〈2a＋b，a－b〉＝＝＝，故夹角为.答案：C 3．解析：因为ab＝10，所以x＋8＝10，x＝2，所以a－b＝(－1，－2)，故|a－b|＝. 答案：D 4．解析：由已知条件，向量a，b，c都是单位向量可以求出，a2＝1，b2＝1，c2＝1，由ab＝0，及 (a－c)(b－c)≤0，可以知道，(a＋b)c≥c2＝1，因为|a＋b－c|2＝a2＋b2＋c2＋2ab－2ac－2bc， 所以有|a＋b－c|2＝3－2(ac＋bc)≤1， 故|a＋b－c|≤1. 答案：B 5．解析：由|a＋b|>1可得：a2＋2ab＋b2>1，∵|a|＝1， |b|＝1，∴ab>－.故θ∈[0，)．当θ∈[0，)时，ab>－，|a＋b|2＝a2＋2ab＋b2>1，即|a＋b|>1；由|a－b|>1可得：a2－2ab＋b2>1，∵|a|＝1，|b|＝1， ∴ab<.故θ∈(，π]，反之也成立． 答案：A 6．解析：f(x)＝x3＋|a|x2＋abx在R上有极值，即f′(x)＝x2＋|a|x＋ab＝0有两个不同的实数解， 故Δ＝|a|2－4ab＞0⇒cos〈a，b〉＜，又〈a，b〉∈[0，π]， 所以〈a，b〉∈(，π]． 答案：C 二、填空题 7．解析：由题设知|e1|＝|e2|＝1，且e1e2＝，所以b1b2＝(e1－2e2)(3e1＋4e2)＝3e－2e1e2－8e＝3－2－8＝－6 答案：－6 8．解析：∵a＋b与ka－b垂直， ∴(a＋b)(ka－b)＝0， 化简得(k－1)(ab＋1)＝0，根据a、b向量不共线，且均为单位向量得ab＋1≠0，得k－1＝0，即k＝1. 答案：1 9．解析：由|a|＝|b|＝2，(a＋2b)(a－b)＝－2，得ab＝2，cos〈a，b〉＝＝＝，所以〈a，b〉＝60. 答案： 三、解答题 10．解：(1)设c＝(x，y)，由c∥a和|c|＝2可得 ，∴或， ∴c＝ (2,4)或c＝(－2，－4)． (2)∵(a＋2b)⊥(2a－b)，∴(a＋2b)(2a－b)＝0， 即2a2＋3ab－2b2＝0. ∴2|a|2＋3ab－2|b|2＝0. ∴25＋3ab－2＝0，∴ab＝－. ∴cos θ＝＝＝－1. ∵θ∈[0，π]，∴θ＝π. 11．解：(1)证明：a－b＝(cos x,1＋sin x)， a－c＝(cos x，sin x－1)， (a－b)(a－c)＝(cos x,1＋sin x)(cos x，sin x－1)＝cos2x＋sin2x－1＝0. ∴(a－b)⊥(a－c)． (2)|a|＝ ＝ ＝ ≤ ＝＋1. 当sin(x＋)＝1，即x＝＋2kπ(k∈Z)时，|a|有最大值＋1. 12．解：(1)∵＝cbcos A，＝bacos C， ∴bccos A＝abcos C， 根据正弦定理，得sin Ccos A＝sin Acos C， 即sin Acos C－cos Asin C＝0，sin(A－C)＝0， ∴∠A＝∠C，即a＝c. 则△ABC为等腰三角形． (2)由(1)知a＝c，由余弦定理，得 ＝bccos A＝bc＝. ＝k＝2，即＝2，解得b＝2.