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2019-2020年高考数学大一轮复习 第2节 证明不等式的基本方法课时提升练 文 新人教版选修4-5
一、选择题
1．设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则s与t的大小关系是( )
A．s≥t B．s>t
C．s≤t D．s
2＝>，
∴只需比较1＋x与的大小，
∵1＋x－＝＝－<0，
∴1＋x<.因此c＝最大．
【答案】 C
6．(xx湖北高考)设a，b，c，x，y，z是正数，且a2＋b2＋c2＝10，x2＋y2＋z2＝40，ax＋by＋cz＝20，则＝( )
A. B. C. D.
【解析】 由题意可得x2＋y2＋z2＝2ax＋2by＋2cz，①
①与a2＋b2＋c2＝10相加可得(x－a)2＋(y－b)2＋(z－c)2＝10，
所以不妨令
.则x＋y＋z＝2(a＋b＋c)，
即＝.
【答案】 C
二、填空题
7．(xx南昌模拟)若实数a，b，c满足a2＋b2＋c2＝4，则3a＋4b＋5c的最大值为________．
【解析】 由柯西不等式得(3a＋4b＋5c)2≤(a2＋b2＋c2)(9＋16＋25)＝200，所以－10≤3a＋4b＋5c≤10，所以3a＋4b＋5c的最大值为10.
【答案】 10
8．以下三个命题：①若|a－b|＜1，则|a|＜|b|＋1；②若a，b∈R，则|a＋b|－2|a|≤|a－b|；③若|x|＜2，|y|＞3，则＜，其中正确命题的序号是________．
【解析】 ①|a|－|b|≤|a－b|＜1，所以|a|＜|b|＋1；
②|a＋b|－|a－b|≤|(a＋b)＋(a－b)|＝|2a|，
所以|a＋b|－2|a|≤|a－b|；
③|x|＜2，|y|＞3，所以＜，
因此＜.
∴①②③均正确．
【答案】 ①②③
9．若x＞0，则函数f(x)＝3x＋的最小值为________．
【解析】 ∵x＞0，
∴f(x)＝3x＋＝x＋x＋
≥3＝3 ，
等号成立的条件为x＝
∴x＝，
∴x＝时，f(x)的最小值为3.
【答案】 3
三、解答题
10．(xx贵州六校联盟)设a、b、c均为正实数，求证：＋＋≥＋＋≥＋＋.
【证明】 ∵a，b，c均为正实数，
∴＋≥≥当a＝b时等号成立
＋≥≥当b＝c时等号成立
＋≥≥当a＝c时等号成立
三个不等式相加即得
＋＋≥＋＋≥＋＋当且仅当a＝b＝c时等号成立
即＋＋≥＋＋≥＋＋.
11．(xx辽宁高考)设函数f(x)＝2|x－1|＋x－1，g(x)＝16x2－8x＋1.记f(x)≤1的解集为M，g(x)≤4的解集为N.
(1)求M；
(2)当x∈M∩N时，证明：x2f(x)＋x[f(x)]2≤.
【解】 (1)f(x)＝
当x≥1时，由f(x)＝3x－3≤1得x≤，故1≤x≤；
当x＜1时，由f(x)＝1－x≤1得x≥0，故0≤x＜1.
所以f(x)≤1的解集为M＝{x|0≤x≤}．
(2)证明：由g(x)＝16x2－8x＋1≤4得162≤4，
解得－≤x≤.
因此N＝，
故M∩N＝.
当x∈M∩N时，f(x)＝1－x，
于是x2f(x)＋x[f(x)]2＝xf(x)[x＋f(x)]
＝xf(x)＝x(1－x)＝－2≤.
12．(xx东北三省联考)已知a，b，c∈R，a2＋b2＋c2＝1.
(1)求证：|a＋b＋c|≤；
(2)若不等式|x－1|＋|x＋1|≥(a－b＋c)2对一切实数a，b，c恒成立，求实数x的取值范围．
【解】 (1)由柯西不等式得，(a＋b＋c)2≤(12＋12＋12)(a2＋b2＋c2)＝3，
∴－≤a＋b＋c≤，所以a＋b＋c的取值范围是，
即|a＋b＋c|≤.
(2)同理，(a－b＋c)2≤(a2＋b2＋c2)＝3，
若不等式|x－1|＋|x＋1|≥(a－b＋c)2对一切实数a，b，c恒成立，则|x－1|＋|x＋1|≥3，解集为∪.
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