2019-2020年中考数学 知识点聚焦 第一章 有理数.doc

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2019-2020年中考数学 知识点聚焦 第一章 有理数 一、本部分内容梳理基础知识，细讲方法技巧，辨析易混易错，提升中考能力． 二、本部分内容包括： 代数式 方程(组)与不等式(组) 图形与坐标、函数及图像 基础知识篇 空间图形与几何初步 图形与变换→对称、平移与旋转 图形与证明 统计与概率 专题一 实数 第一章 有理数 高频考点 考查频率 所占分值 1．有理数的分类 ★ 2．具有相反意义的量 ★★ 3．有理数的大小比较 ★★★ 4．相反数、绝对值、倒数 ★★★ 2～9 5．有理数的混合运算 ★★ 6．科学记数法 ★★★ 知能图谱 有理数的意义 有理数的分类 有理数的运算 按正负分 按定义分 整数 分数 正有理数 0 负有理数 有理数的有关概念 比较有理数的大小 有理数 用计算器进行有理数的简单运算 有理数的混合运算 乘除及乘方 混合运算 加减混合运算 运算 运算律 交换律 结合律 分配律 近似数 科学记数法 第1讲 有理数的意义 知识能力解读 知能解读 (一)正数和负数的意义 (1)像，l，8％，这样大于0的数(“＋”通常省略不写)叫作正数． (2)像，％，，这样在正数前面加上“－”(读负号)的数叫作负数，负数小于0． 注意：(1)0既不是正数也不是负数，它是一个整数，它表示正数和负数的分界． (2)对于正数和负数的概念，不能简单理解为带“＋”的数是正数，带“－”的数是负数．如是0，也是0；当时，就是正数． (二)具有相反意义的量 正数和负数是根据实际需要而产生的，比如一些具有相反意义的量：收入200元与支出200元，上升7米与下降3米，零上2℃与零下7℃等．虽然它们都表示一定的数量，却意义相反，那么我们如何去表示它们呢? 我们把一种意义的量规定为正的(如收入200元规定为元)，把另一种和它意义相反的量规定为负的(如支出200元规定为元)，于是就产生了正数和负数． 注意：(1)用正数和负数表示具有相反意义的量时，哪种意义的量规定为正，是可以任意选定的(如将上升2米规定为米或米都可以)，一旦选定一种意义的量为正，则另一种意义相反的量就只能为负． (2)具有相反意义的量的特点：①具有相反意义的量是成对出现的，单独一个量不能成为具有相反意义的量；②与一个量意义相反的量不止一个；③具有相反意义的量包含两个要素：一是它们的意义相反，二是它们都具有数量；④具有相反意义的量必须是同类量，如节约3吨油与浪费1吨水不是具有相反意义的量． (三)有理数的分类 1．有理数的定义 正整数、0、负整数统称整数．正分数和负分数统称分数．整数和分数统称有理数． 2．有理数的分类： (1)按定义分类： 自然数 有理数 整数 分数 有限小数或无限循环小数 (2)按正负分类： 有理数 注意：(1)在对有理数进行分类时，要做到不重不漏． (2)在分类时，注意0的地位和意义． (3)正整数，0统称非负整数(也叫自然数)；负整数，0统称非正整数． (四)数轴 在数学中，可以用一条直线上的点表示数，这条直线叫作数轴，它满足以下要求： (1)在直线上任取—个点表示数0，这个0点叫作原点； (2)通常规定直线上从原点向右(或上)为正方向，从原点向左(或下)为负方向； (3)选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示l，2，3，…；从原点向左，用类似方法依次表示，，，…(如图所示)． 点拨：(1)利用数轴，我们可以表示任意一个有理数，还可以表示任意一个无理数． (2)数轴是研究数学的重要工具，也是“数形结合”的重要体现． (3)数轴的定义包含三层含义：①数轴是一条可以向两端无限延伸的直线；②数轴有三要素：原点、单位长度、正方向；③原点的位置、单位长度、正方向都是根据实际需要规定的． (五)相反数 只有符号不同的两个数叫作互为相反数．特别地，0的相反数是0． (1)在数轴上，互为相反数的两个数对应的点与原点的距离相等(几何意义)． (2)数的相反数是．若，互为相反数，则(或，或)． (六)绝对值 一般地，数轴上表示数 的点与原点的距离叫作数的绝对值，记作． 正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，即 点拨：因为有理数的绝对值表示两点之间的距离，距离总是正数或零，所以任意一个有理数的绝对值是非负数，即． (七)有理数大小比较的常用方法 (1)数轴比较法：将两数分别表示在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大． (2)代数比较法：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的反而小． (3)差值比较法：设，是两个任意数，若，则；若，则；若，则． (4)商值比较法：设，是两个正数，若，则；若，则；若，则． 此外，还有倒数比较法、中间值比较法、平方比较法、换元比较法等． (八)绝对值的非负性(拓展点) (1)正数和零统称非负数，绝对值的意义揭示了绝对值的一个重要性质：非负性，即对于任何有理数，都有．如，，，故绝对值最小的数是0． (2)非负数的重要性质：①非负数有最小值，是0；②若几个非负数之和等于0，每个非负数都等于0，即若，则，；③有限个非负数之和仍是非负数． 方法技巧归纳 方法技巧 (一)有理数的识别方法 识别有理数的依据是有理数的定义及分类标准． (二)求相反数的方法与多层性质符号的化简方法 (1)求一个数的相反数，只要在这个数的前面加上“－”即可．若求一个代数式(含和、差形式)的相反数，则把这个代数式作为一个整体用括号括起来，再在前面加一个“－”，如的相反数是，即． (2)含多层性质符号的式子，其化简结果的符号只与“－”的个数有关，若“－”有偶数个，则结果为正；若“－”有奇数个，则结果为负． (三)绝对值的求法 求一个数的绝对值，就是想办法去掉绝对值号，顺序为“先判后去”，即先判断绝对值号内的数(或式)的符号，再根据绝对值的性质去掉绝对值号． (四)绝对值非负性的应用 我们知道，对于任意有理数，有．若几个非负数的和等于0，则这几个非负数均为0． (五)数轴与有理数大小比较的方法 (1)在数轴上，右边的点所表示的数比左边的点所表示的数大．根据正、负数在数轴上的位置可知：正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数．在利用数轴比较有理数的大小时，先要确定好有理数在数轴上的位置． (2)用不等式表示正数和负数： ①正数大于0，反之，大于0的数都是正数，故用“”表示为正数． ②负数小于0，反之，小于0的数都是负数，故用“”表示为负数． ③为非负数，用“”表示；为非正数，用“”表示． (六)数轴上两点间的距离 数轴上两点间的距离等于表示该两点的数的差的绝对值． 易混易错辨析 易混易错知识 1．误认为无论是正数还是负数，绝对值大的数就大． 2．对有理数进行分类时，易因误解0的地位和意义而出错． 易混易错 (一)对相反数的几何意义理解不透导致漏解 (二)对绝对值的意义理解不透导致错误 (三)混淆负数与带负号的数导致出错 (四)比较有理数的大小时，忽视原数的符号导致错误 中考试题研究 中考命题规律 本讲是数学的基础知识，中考题一般在准确理解概念的前提下即可正确解答．主要考查绝对值和相反数的概念、有理数的大小比较，以及利用数轴进行化简或解决相关问题，题型以填空题、选择题为主． 中考试题 (一)对相反数的考查 (二)对绝对值的考查 (三)有理数的大小比较 (四)利用数轴解决问题 第2讲 有理数的运算 知识能力解谈 知能解读 (一)有理数的加法 (1)有理数的加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得零．③一个数同0相加，仍得这个数． (2)加法运算律：①加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变，即；②加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变，即． 点拨：有理数的加法运算可概括为：同号相加一边倒；异号相加“大”减“小”，符号跟着“大”的跑；相反敷相加“零”正好． (二)有理数的减法 有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数，即把有理数的减法利用数的相反数变成加法进行运算．可表示为． 点拨：有理数相减，符号有两变，先把减变加，减数变相反，统一成加后，再把结果算． (三)有理数的乘法 (1)有理数的乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；②任何数与0相乘，都得0． (2)有理数乘法法则的推广：①几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．③几个不等于0的数相乘，首先确定积的符号，然后把绝对值相乘． (3)乘法运算律：①乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即；②乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等，即；③分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加，即． 说明：(1)多个有理数相乘，负号当家起作用，奇负偶正规律定，一数为0积为0． (2)由有理数乘法法则得出以下结论： ①如果两个数的积为正数，那么这两个数同正或同负； ②如果两个数的积为负数，那么这两个数一正一负； ③如果两个数的积为0，那么这两个数中至少有一个是0． (四)有理数的除法 (1)倒数：乘积是l的两个数互为倒数．巧记为“分子分母颠倒位置”，如的倒数为． 一般地，，即若是不等于0的有理数，则的倒数为． (2)有理数的除法法则：①除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，也可表示为．②两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何一个不等于0的数，都得0． 注意：(1)0不能作除敏．(2)巧记“除法化乘法，倒数是关键”．(3)求倒数的方法：①求一个整数(不为0)的倒数，只要写成这个整数分之一即可；②求一个真分数的倒数，只要把分数的分子和分母颠倒位置即可；③求一个带分数的倒数，要先将带分数化成假分数，再求它的倒数；④求一个小数的倒数，要先把小数化成分数，再求它的倒数． (五)有理数的乘方 (1)乘方的概念：求个相同因数的积的运算，叫作乘方，乘方的结果叫作幂．在中，叫作底数，叫作指数．一个数可以看作这个数本身的1次方． (2)乘方的符号法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0． 注意：(1)一个数可以看作这个数本身的1次方，指数l通常省略不写；(2)当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括起来，再在其右上角写上指数；(3)0的0次幂无意义． (六)有理数的混合运算顺序 运算顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行；(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号、大括号依次进行． 注意：(1)运算过程中，带分数一般化为假分数，小数化为分数，再进行乘方、乘除等运算，可简化解题步骤；另外有些运算可同时进行，也可简化解题步骤 (2)在进行混合运算时，除遵守以上原则外，还需注意灵活使用运算律，使运算准确而快捷． (七)科学记数法 (1)把一个绝对值大于10的数表示成的形式(其中，是正整数)，使用的是科学记数法． 注意：中只有一位整数，等于原数的整数位数减1． (2)把一个绝对值小于1的非零数表示成的形式，其中，是一个负整数，的绝对值等于原数中左起第一个非零数字左面所有的0的个数(包括小数点左面的那个0)． (八)近似数 近似数：接近准确数而不等于准确数的数，叫作这个数的近似数，也叫近似值． 精确度：近似数与准确数的接近程度，可以用精确度表示． 一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位． 注意：(1)一个数要精确到哪一位，只要将它的下一位四舍五入即可，按要求求近似数时不能连续从未位向前四舍五入． (2)一个近似数的末尾的0不可省略，省略后原数的精确度会改变． 方法技巧归纳 方法技巧 (一)有理数加法运算的解题技巧 (1)在进行有理数加法运算时，首先要弄清两个加数的情况，其次按照“一定，二求，三和差”的步骤完成解题任务．“一定”即先确定和的符号；“二求”即求加数的绝对值；“三和差”即分析确定绝对值是相加还是相减． (2)在运算中可灵活运用运算律，使运算简化． (二)有理数减法运算的解题规律 有理数的减法，不像算术里那样直接减，而是把它转化为加法，借助加法进行计算．关键是准确理解减法法则，注意“两变”和“一不变”．“两变”即改变运算符号(减→加)和改变减数的性质符号(变为相反数)；“一不变”即被减数和减数的位置不能交换． (三)有理数加减混合运算的规律技巧 有理数的加减混合运算的方法：(1)运用有理数减法法则，将有理数加减混合运算中的减法运算统一为加法运算，然后省略加号和括号；(2)运用运算律，使运算简便． (四)正确进行有理数的乘法运算，灵活运用运算律 (1)有理数乘法运算步骤为：第一步，确定符号；第二步，因数的绝对值相乘． (2)有理数乘法法则中“同号得正，异号得负”专对“两数相乘”而言． (五)正确进行有理数的除法运算 在有理数的除法中，一般能整除的，在确定符号后可直接整除；在不能整除的情况下，特别是当除数是分数时，往往把除法转化为乘法较方便．在乘除混合运算中，注意运算顺序，从左向右依次运算． (六)有理数乘方运算的解题方法 (1)乘方是一种特殊的乘法运算(因数相同的乘法运算)，幂是乘方运算的结果．有理数乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先确定幂的符号，然后再计算绝对值．(2)当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括上，再在右上角写上指数，指数要写得小一些，例如不能写为． (七)有理数混合运算的方法与技巧 (1)把握好运算顺序是关键．有理数运算分三级运算，加减是第一级运算，乘除是第二级运算，乘方与开方(后面讲)是第三级运算．运算顺序：先算高级运算，后算低级运算；若是同级运算，从左向右依次计算；若有括号，就先算括号里面的． (2)牢记五种运算的运算法则、运算技巧及运算律，以简化计算，从而提高解题的速度和准确率． (八)用科学记数法表示数的方法 把绝对值大于10的数表示成的形式时，，是正整数且等于原数的整数位数减1． (九)巧用“拆项法”解决有理数的混合运算问题 在有理数的运算中常把带分数拆分成整数部分和小数部分和的形式，或把拆成(其中)的形式．这样就可把复杂的有理数运算转化为简单的计算． 易混易错辨析 易混易错知识 1．混淆倒数与相反数的概念． 我们知道，只有符号不同的两个数叫作互为相反数，0的相反数是0，或者说和为0的两个数互为相反数．任何数都有相反数，即的相反数是．而乘积为l的两个数互为恒数，正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数，即的倒数是． 2．混淆有理数加法与乘法法则． 在进行有理数加法和乘法运算时，常因混淆两个法则而出现或之类的错误．要切记：两数相乘，同号得正，异号得负；两数相加，同号取相同的符号，异号(绝对值不相等)取绝对值较大的加数的符号． 3．对乘方的理解有误． 乘方是指几个相同因数积的运算，表示个的积，即，在运用乘方公式时易出现的错误，要特别注意． 易混易错 (一)运算时，符号出错 (二)运算顺序不正确 (三)错用运算律 中考试题研究 中考命题规律 本讲的考点主要有有理数的运算和科学记数法，题型以填空题、选择题为主，主要考查有理数的运算法则以及在实际问题中的应用，有理数的运算还常以找规律的形式命题或与其他知识综合命题．近几年考查科学记数法的试题背景多与时代热点或地方特点相结合． 中考试题 (一)有理数的基本运算 (二)有理数加减法的实际应用 (三)对科学记数法的理解 (四)有理数运算中的规律性问题