2019-2020年中考二轮复习：专题9 一元二次方程及其应用.doc

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2019-2020年中考二轮复习：专题9 一元二次方程及其应用 一.选择题 1．（xx•安徽, 第6题4分）我省xx年的快递业务量为1.4亿件，受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，快递业务迅猛发展，xx年增速位居全国第一．若xx年的快递业务量达到4.5亿件，设xx年与xx年这两年的平均增长率为x，则下列方程正确的是（　　） 　 A．1.4（1+x）=4.5 B． 1.4（1+2x）=4.5 　 C．1.4（1+x）2=4.5 D． 1.4（1+x）+1.4（1+x）2=4.5 考点： 由实际问题抽象出一元二次方程 专题： 增长率问题． 分析： 根据题意可得等量关系：xx年的快递业务量（1+增长率）2=xx年的快递业务量，根据等量关系列出方程即可． 解答： 解：设xx年与xx年这两年的平均增长率为x，由题意得： 1.4（1+x）2=4.5， 故选：C． 点评： 此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握平均变化率的方法，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1x）2=b． 2．（xx•衡阳, 第8题3分）若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣1，则另一个根为（　　） 　 A． ﹣2 B． 2 C． 4 D． ﹣3 考点： 根与系数的关系． 分析： 根据一元二次方程根与系数的关系，利用两根和，两根积，即可求出a的值和另一根． 解答： 解：设一元二次方程的另一根为x1， 则根据一元二次方程根与系数的关系， 得﹣1+x1=﹣3， 解得：x1=﹣2． 故选A． 点评： 本题考查了一元二次方程根与系数的关系，方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=． 3．（xx•衡阳, 第11题3分）绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间，设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米．设绿地的宽为x米，根据题意，可列方程为（　　） 　 A． x（x﹣10）=900 B． x（x+10）=900 C． 10（x+10）=900 D． 2[x+（x+10）]=900 考点： 由实际问题抽象出一元二次方程． 专题： 几何图形问题． 分析： 首先用x表示出矩形的长，然后根据矩形面积=长宽列出方程即可． 解答： 解：设绿地的宽为x，则长为10+x； 根据长方形的面积公式可得：x（x+10）=900． 故选B． 点评： 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找到关键描述语，记住长方形面积=长宽是解决本题的关键，此题难度不大． 　 4. （xx江苏连云港第6题3分）已知关于x的方程x2－2x＋3k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 A．k＜ B．k＞－ C．k＜且k≠0 D．k＞－且k≠0 【思路分析】一元二次方程有两个不等的实数根，说明根的判别式大于0， 即(－2)2－413k＞0 【答案】A 【点评】本题考查一元二次方程根的差别式. 5、（xx年四川省达州市中考，8,3分）方程（m﹣2）x2﹣x+=0有两个实数根，则m的取值范围（　　） 　 A． m＞ B． m≤且m≠2 C． m≥3 D． m≤3且m≠2 考点： 根的判别式；一元二次方程的定义．. 专题： 计算题． 分析： 根据一元二次方程的定义、二次根式有意义的条件和判别式的意义得到，然后解不等式组即可． 解答： 解：根据题意得， 解得m≤且m≠2． 故选B． 点评： 本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根． 6．（xx•通辽,第10题3分）菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长为方程y2﹣7y+10=0的一个根，则菱形ABCD的周长为（　　） 　 A． 8 B． 20 C． 8或20 D． 10 考点： 菱形的性质；解一元二次方程-因式分解法． 分析： 边AB的长是方程y2﹣7y+10=0的一个根，解方程求得x的值，根据菱形ABCD的一条对角线长为6，根据三角形的三边关系可得出菱形的边长，即可求得菱形ABCD的周长． 解答： 解：∵解方程y2﹣7y+10=0得：y=2或5 ∵对角线长为6，2+2＜6，不能构成三角形； ∴菱形的边长为5． ∴菱形ABCD的周长为45=20． 故选B． 点评： 本题考查菱形的性质，由于菱形的对角线和两边组成了一个三角形，根据三角形三边的关系来判断出菱形的边长是多少，然后根据题目中的要求进行解答即可． 7．（xx•滨州,第3题3分）一元二次方程4x2+1=4x的根的情况是（　　） 　 A． 没有实数根 B． 只有一个实数根 　 C． 有两个相等的实数根 D． 有两个不相等的实数根 考点： 根的判别式． 分析： 先求出△的值，再判断出其符号即可． 解答： 解：原方程可化为：4x2﹣4x+1=0， ∵△=42﹣441=0， ∴方程有两个相等的实数根． 故选C． 点评： 本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△的关系是解答此题的关键． 8. （xx•滨州,第5题3分）用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣10=0时，下列变形正确的为（　　） 　 A． （x+3）2=1 B． （x﹣3）2=1 C． （x+3）2=19 D． （x﹣3）2=19 考点： 解一元二次方程-配方法． 专题： 计算题． 分析： 方程移项变形后，利用完全平方公式化简得到结果，即可做出判断． 解答： 解：方程移项得：x2﹣6x=10， 配方得：x2﹣6x+9=19，即（x﹣3）2=19， 故选D． 点评： 此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 9. （xx•云南,第6题3分）下列一元二次方程中，没有实数根的是（　　） 　 A．4x2﹣5x+2=0 B． x2﹣6x+9=0 C． 5x2﹣4x﹣1=0 D． 3x2﹣4x+1=0 考点： 根的判别式． 分析： 分别计算出每个方程的判别式即可判断． 解答： 解：A、∵△=25﹣424=﹣7＜0，∴方程没有实数根，故本选项正确； B、∵△=36﹣414=0，∴方程有两个相等的实数根，故本选项错误； C、∵△=16﹣45（﹣1）=36＞0，∴方程有两个相等的实数根，故本选项错误； D、∵△=16﹣413=4＞0，∴方程有两个相等的实数根，故本选项错误； 故选A． 点评： 本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系： （1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根； （2）△=0⇔方程有两个相等的实数根； （3）△＜0⇔方程没有实数根． 10.（xx•山东德州,第7题3分）若一元二次方程x2+2x+a=0的有实数解，则a的取值范围是（　　） 　 A．a＜1 B． a≤4 C． a≤1 D． a≥1 考点： 根的判别式． 分析： 若一元二次方程x2+2x+a=0的有实数解，则根的判别式△≥0，据此可以列出关于a的不等式，通过解不等式即可求得a的值． 解答： 解：因为关于x的一元二次方程有实根，[中%国^教*@育出~版网] 所以△=b2﹣4ac=4﹣4a≥0， 解之得a≤1． 故选C． 点评： 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 11.（xx•四川巴中,第6题3分）某种品牌运动服经过两次降价，每件件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（　　） 　 A． 560（1+x）2=315 B． 560（1﹣x）2=315 C． 560（1﹣2x）2=315 D． 560（1﹣x2）=315 考点： 由实际问题抽象出一元二次方程． 专题： 增长率问题． 分析： 设每次降价的百分率为x，根据降价后的价格=降价前的价格（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是560（1﹣x），第二次后的价格是560（1﹣x）2，据此即可列方程求解． 解答： 解：设每次降价的百分率为x，由题意得： 560（1﹣x）2=315， 故选：B． 点评： 此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程即可． 12.（xx•四川成都,第8题3分）关于x的一元二次方程kx2+2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） 　 A．k＞﹣1 B． k≥﹣1 C． k≠0 D． k＜1且k≠0 考点： 根的判别式；一元二次方程的定义．. 分析： 在判断一元二次方程根的情况的问题中，必须满足下列条件：（1）二次项系数不为零；（2）在有不相等的实数根时，必须满足△=b2﹣4ac＞0 解答： 解：依题意列方程组 ， 解得k＜1且k≠0． 故选D． 点评： 本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件． 13．（xx•怀化，第7题4分）设x1，x2是方程x2+5x﹣3=0的两个根，则x12+x22的值是（　　） 　 A． 19 B． 25 C． 31 D． 30 考点： 根与系数的关系． 分析： 根据一元二次方程的根与系数的关系，即可求得x1与x2的和与积，所求的代数式可以用两根的和与积表示出来，即可求解． 解答： 解：∵x1，x2是方程x2+5x﹣3=0的两个根， ∴x1+x2=﹣5，x1x2=﹣3， ∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=25+6=31． 故选：C． 点评： 此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 14.（xx年重庆B第8题4分）已知一元二次方程，则该方程根的情况是( ) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．两个根都是自然数 D．无实数根 【答案】A 【解析】 试题分析：当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数解.根据题意可得：△=－423=25－24=1＞0，则方程有两个不相等的实数根. 考点：一元二次方程根的判别式. 15.（xx•温州第6题4分）若关于x的一元二次方程4x2﹣4x+c=0有两个相等实数根，则c的值是（　　） 　 A．﹣1 B． 1 C． ﹣4 D． 4 考点： 根的判别式．. 分析： 根据判别式的意义得到△=42﹣44c=0，然后解一次方程即可． 解答： 解：∵一元二次方程4x2﹣4x+c=0有两个相等实数根， ∴△=42﹣44c=0， ∴c=1， 故选B． 点评： 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 16.（xx•四川凉山州第7题4分）关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+1=0有实数根，则m的取值范围是（　　） 　 A．m≤3 B． m＜3 C． m＜3且m≠2 D． m≤3且m≠2 考点： 根的判别式；一元二次方程的定义．. 分析： 根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac的意义得到m﹣2≠0且△≥0，即22﹣4（m﹣2）1≥0，然后解不等式组即可得到m的取值范围． 解答： 解：∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+1=0有实数根， ∴m﹣2≠0且△≥0，即22﹣4（m﹣2）1≥0，解得m≤3， ∴m的取值范围是 m≤3且m≠2． 故选：D． 点评： 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 17.（xx•宁夏第5题3分）关于x的一元二次方程x2+x+m=0有实数根，则m的取值范围是（　　） 　 A． m≥ B． m≤ C． m≥ D． m≤ 考点： 根的判别式．. 分析： 方程有实数根，则△≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围． 解答： 解：由题意知，△=1﹣4m≥0， ∴m≤， 故选D． 点评： 本题考查了根的判别式，总结：1、一元二次方程根的情况与判别式△的关系： （1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根； （2）△=0⇔方程有两个相等的实数根； （3）△＜0⇔方程没有实数根． 18.（xx•宁夏第7题3分）如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为60米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若设人行道的宽度为x米，则可以列出关于x的方程是（　　） 　 A． x2+9x﹣8=0 B． x2﹣9x﹣8=0 C． x2﹣9x+8=0 D． 2x2﹣9x+8=0 考点： 由实际问题抽象出一元二次方程．. 专题： 几何图形问题． 分析： 设人行道的宽度为x米，根据矩形绿地的面积之和为60米2，列出一元二次方程． 解答： 解：设人行道的宽度为x米，根据题意得， （18﹣3x）（6﹣2x）=60， 化简整理得，x2﹣9x+8=0． 故选C． 点评： 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用两块相同的矩形绿地面积之和为60米2得出等式是解题关键． 19.（xx•四川攀枝花第9题3分）关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+（2m+1）x+m﹣2﹣0有两个不相等的正实数根，则m的取值范围是（　　） 　 A．m＞ B． m＞且m≠2 C． ﹣＜m＜2 D． ＜m＜2 考点： 根的判别式；一元二次方程的定义．. 专题： 计算题． 分析： 根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到m﹣2≠0且△=（2m+1）2﹣4（m﹣2）（m﹣2）＞0，解得m＞且m≠2，再利用根与系数的关系得到﹣＞0，则m﹣2＜0时，方程有正实数根，于是可得到m的取值范围为＜m＜2． 解答： 解：根据题意得m﹣2≠0且△=（2m+1）2﹣4（m﹣2）（m﹣2）＞0， 解得m＞且m≠2， 设方程的两根为a、b，则a+b=﹣＞0，ab==1＞0， 而2m+1＞0， ∴m﹣2＜0，即m＜2， ∴m的取值范围为＜m＜2． 故选D． 点评： 本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了根与系数的关系． 20．（3分）（xx•宁夏）（第5题）关于x的一元二次方程x2+x+m=0有实数根，则m的取值范围是（　　） 　 A． m≥ B． m≤ C． m≥ D． m≤ 考点： 根的判别式． 分析： 方程有实数根，则△≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围． 解答： 解：由题意知，△=1﹣4m≥0， ∴m≤， 故选D． 点评： 本题考查了根的判别式，总结：1、一元二次方程根的情况与判别式△的关系： （1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根； （2）△=0⇔方程有两个相等的实数根； （3）△＜0⇔方程没有实数根． 21．（3分）（xx•宁夏）（第7题）如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为60米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若设人行道的宽度为x米，则可以列出关于x的方程是（　　） 　 A． x2+9x﹣8=0 B． x2﹣9x﹣8=0 C． x2﹣9x+8=0 D． 2x2﹣9x+8=0 考点： 由实际问题抽象出一元二次方程． 专题： 几何图形问题． 分析： 设人行道的宽度为x米，根据矩形绿地的面积之和为60米2，列出一元二次方程． 解答： 解：设人行道的宽度为x米，根据题意得， （18﹣3x）（6﹣2x）=60， 化简整理得，x2﹣9x+8=0． 故选C． 点评： 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用两块相同的矩形绿地面积之和为60米2得出等式是解题关键． 22．（4分）（xx•铜仁市）（第4题）已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5=0，下列说法不正确的是（　　） 　 A． 方程有两个相等的实数根 B． 方程有两个不相等的实数根 　 C． 没有实数根 D． 无法确定 考点： 根的判别式．. 分析： 先求出△的值，再判断出其符号即可． 解答： 解：∵△=42﹣43（﹣5）=76＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选B． 点评： 本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△的关系是解答此题的关键． 23．（xx•湖南湘西州，第13题，4分）下列方程中，没有实数根的是（　　） 　 A．x2﹣4x+4=0 B． x2﹣2x+5=0 C． x2﹣2x=0 D． x2﹣2x﹣3=0 考点： 根的判别式．. 分析： 利用判别式分别判定即可得出答案． 解答： 解：A、x2﹣4x+4=0，△=16﹣16=0有相同的根； B、x2﹣2x+5=0，△=4﹣20＜0没有实数根； C、x2﹣2x=0，△=4﹣0＞0有两个不等实数根； D、x2﹣2x﹣3=0，△=4+12＞0有两个不等实数根． 故选：B． 点评： 本题主要考查了根的判别式，解题的关键是熟记判别式的公式． 　 24.（xx湖北省随州市，第3 题3分）用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣4=0，下列变形正确的是（　　） 　 A． （x﹣6）2=﹣4+36 B． （x﹣6）2=4+36 C． （x﹣3）2=﹣4+9 D． （x﹣3）2=4+9 考点： 解一元二次方程-配方法．. 分析： 根据配方法，可得方程的解． 解答： 解：x2﹣6x﹣4=0， 移项，得x2﹣6x=4， 配方，得（x﹣3）2=4+9． 故选：D． 点评： 本题考查了解一元一次方程，利用配方法解一元一次方程：移项、二次项系数化为1，配方，开方． 25．（xx•济南,第12题3分）将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为3cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积为300cm3，则原铁皮的边长为（　　） 　 A． 10cm 　B． 13cm　　　　C． 14cm 　　　D． 16cm 考点： 一元二次方程的应用． 专题： 几何图形问题． 分析： 设正方形铁皮的边长应是x厘米，则做成没有盖的长方体盒子的长、宽为（x﹣32）厘米，高为3厘米，根据长方体的体积计算公式列方程解答即可． 解答： 解：正方形铁皮的边长应是x厘米，则没有盖的长方体盒子的长、宽为（x﹣32）厘米，高为3厘米，根据题意列方程得， （x﹣32）（x﹣32）3=300， 解得x1=16，x2=﹣4（不合题意，舍去）； 答：正方形铁皮的边长应是16厘米． 故选：D． 点评： 此题主要考查长方体的体积计算公式：长方体的体积=长宽高，以及平面图形折成立体图形后各部分之间的关系． 26. （xx•烟台,第6题3分）如果，那么的值为（ ） A．2或-1 B. 0或1 C. 2 D. -1 考点：一元二次方程 分析：任何一个不为零的数的零次方为1，所以可得方程解方程得x的值为2或-1. 解答：故选A 点评：本题考查了一元二次方程和零次幂的意义 27.（xx•烟台,第9题3分）等腰三角形三边长分别为，且是关于的一元二次方程的两根，则的值为（ ） A．9 B. 10 C. 9或10 D. 8或10 考点： 一元二次方程与等腰三角形 分析： 当a,b为腰时，a=b,由一元二次方程根与系数的关系可得a+b=6，所以a=b=3,ab=9=n-1,解得n=10,当2为腰时，a=2（或b=2）,此时2+b=6（或a+2=6），解得b=4(a=4),所以ab=24=8=n-1，解得n=9,所以n为9或10. 解答： 故选C 点评： 本题应用数形结合思想，将等腰三角形中的分类思想和一元二次方程根与系数的关系相结合 28．（xx•枣庄,第8题3分）已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，则m+n的值是（　　） 　 A． ﹣10 B． 10 C． ﹣6 D． 2 考点： 根与系数的关系．. 分析： 根据根与系数的关系得出﹣2+4=﹣m，﹣24=n，求出即可． 解答： 解：∵关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4， ∴﹣2+4=﹣m，﹣24=n， 解得：m=﹣2，n=﹣8， ∴m+n=﹣10， 故选A． 点评： 本题考查了根与系数的关系的应用，能根据根与系数的关系得出﹣2+4=﹣m，﹣24=n是解此题的关键． 　 29. （xx江苏连云港，第6题3分）已知关于x的方程x2﹣2x+3k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） 　 A． k＜ B． k＞ C． k＜且k≠0 D． k＞且k≠0 考点： 根的判别式． 专题： 计算题． 分析： 根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，即可求出k的范围． 解答： 解：∵方程x2﹣2x+3k=0有两个不相等的实数根， ∴△=4﹣12k＞0， 解得：k＜． 故选A． 点评： 此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键． 二.填空题 1. （xx•江苏南通，第12题3分）已知方程2x2+4x﹣3=0的两根分别为x1和x2，则x1+x2的值等于　﹣2　． 考点： 根与系数的关系．. 分析： 根据两根之和等于一次项系数与二次项系数商的相反数作答即可． 解答： 解：∵方程2x2+4x﹣3=0的两根分别为x1和x2， ∴x1+x2=﹣=﹣2， 故答案为：﹣2． 点评： 本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，掌握两根之和等于一次项系数与二次项系数商的相反数，两根之积等于常数项除二次项系数是解题的关键． 2.（xx湖北省随州市，第15 题3分）观察下列图形规律：当n=　5　时，图形“●”的个数和“△”的个数相等． 考点： 规律型：图形的变化类．. 分析： 首先根据n=1、2、3、4时，“●”的个数分别是3、6、9、12，判断出第n个图形中“●”的个数是3n；然后根据n=1、2、3、4，“△”的个数分别是1、3、6、10，判断出第n个“△”的个数是；最后根据图形“●”的个数和“△”的个数相等，求出n的值是多少即可． 解答： 解：∵n=1时，“●”的个数是3=31； n=2时，“●”的个数是6=32； n=3时，“●”的个数是9=33； n=4时，“●”的个数是12=34； ∴第n个图形中“●”的个数是3n； 又∵n=1时，“△”的个数是1=； n=2时，“△”的个数是3=； n=3时，“△”的个数是6=； n=4时，“△”的个数是10=； ∴第n个“△”的个数是； 由3n=， 可得n2﹣5n=0， 解得n=5或n=0（舍去）， ∴当n=5时，图形“●”的个数和“△”的个数相等． 故答案为：5． 点评： 此题主要考查了规律型：图形的变化类问题，要熟练掌握，解答此类问题的关键是：首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题． 3．（xx•甘肃天水，第14题，4分）一元二次方程x2+3﹣2x=0的解是　x1=x2=　． 考点： 解一元二次方程-配方法． 分析： 先分解因式，即可得出完全平方式，求出方程的解即可． 解答： 解：x2+3﹣2x=0 （x﹣）2=0 ∴x1=x2=． 故答案为：x1=x2=． 点评： 此题考查了解一元二次方程，熟练掌握求根的方法是解本题的关键． 　 4．（xx•江苏镇江，第9题，2分）关于x的一元二次方程x2+a=0没有实数根，则实数a的取值范围是　a＞0　． 考点： 根的判别式．. 专题： 计算题． 分析： 根据方程没有实数根，得到根的判别式小于0，求出a的范围即可． 解答： 解：∵方程x2+a=0没有实数根， ∴△=﹣4a＜0， 解得：a＞0， 故答案为：a＞0 点评： 此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键． 　 5．（5分）（xx•毕节市）（第20题）一个容器盛满纯药液40L，第一次倒出若干升后，用水加满；第二次又倒出同样体积的溶液，这时容器里只剩下纯药液10L，则每次倒出的液体是　20　L． 考点： 一元二次方程的应用． 分析： 设每次倒出液体xL，第一次倒出后还有纯药液（40﹣x），药液的浓度为，再倒出xL后，倒出纯药液•x，利用40﹣x﹣•x就是剩下的纯药液10L，进而可得方程． 解答： 解：设每次倒出液体xL，由题意得： 40﹣x﹣•x=10， 解得：x=60（舍去）或x=20． 答：每次倒出20升． 故答案为：20． 点评： 此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程． 6．（12分）（xx•毕节市）（第25题）某商场有A，B两种商品，若买2件A商品和1件B商品，共需80元；若买3件A商品和2件B商品，共需135元． （1）设A，B两种商品每件售价分别为a元、b元，求a、b的值； （2）B商品每件的成本是20元，根据市场调查：若按（1）中求出的单价销售，该商场每天销售B商品100件；若销售单价每上涨1元，B商品每天的销售量就减少5件． ①求每天B商品的销售利润y（元）与销售单价（x）元之间的函数关系？ ②求销售单价为多少元时，B商品每天的销售利润最大，最大利润是多少？ 考点： 二次函数的应用；二元一次方程组的应用． 分析： （1）根据题意列方程组即可得到结论； （2）①由题意列出关于x，y的方程即可； ②把函数关系式配方即可得到结果． 解答： 解：（1）根据题意得：， 解得：； （2）①由题意得：y=（x﹣20）【100﹣5（x﹣30）】 ∴y=﹣5x2+350x﹣5000， ②∵y=﹣5x2+350x﹣5000=﹣5（x﹣35）2+1125， ∴当x=35时，y最大=1125， ∴销售单价为35元时，B商品每天的销售利润最大，最大利润是1125元． 点评： 此题主要考查了二次函数的应用以及用配方法求出最大值，准确分析题意，列出y与x之间的二次函数关系式是解题关键． 　 7.（xx•青海西宁第16题2分）若矩形的长和宽是方程2x2﹣16x+m=0（0＜m≤32）的两根，则矩形的周长为　16　． 考点： 根与系数的关系；矩形的性质． 分析： 设矩形的长和宽分别为x、y，由矩形的长和宽是方程2x2﹣16x+m=0（0＜m≤32）的两个根，根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系得到x+y=8；xy=，然后利用矩形的性质易求得到它的周长． 解答： 解：设矩形的长和宽分别为x、y， 根据题意得x+y=8； 所以矩形的周长=2（x+y）=16． 故答案为：16． 点评： 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根分别为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．也考查了矩形的性质． 8.（xx•四川凉山州第25题5分）已知实数m，n满足3m2+6m﹣5=0，3n2+6n﹣5=0，且m≠n，则=　﹣　． 考点： 根与系数的关系．. 分析： 由m≠n时，得到m，n是方程x2﹣2x﹣1=0的两个不等的根，根据根与系数的关系进行求解． 解答： 解：∵m≠n时，则m，n是方程3x2﹣6x﹣5=0的两个不相等的根，∴m+n=2，mn=﹣． ∴原式====﹣， 故答案为：﹣． 点评： 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=． 9.（xx•昆明第13题，3分）关于x的一元二次方程2x2﹣4x+m﹣1=0有两个相等的实数根，则m的值为　3　． 考点： 根的判别式．. 分析： 根据题意可知△=0，即42﹣42（m﹣1）=0，解得m=3， 解答： 解：∵方程有两个相等的实数根， ∴△=0， 即42﹣42（m﹣1）=0， 解得m=3， 故答案为：3． 点评： 本题考查了根的判别式，解题的关键是注意△=0⇔方程有两个相等的实数根． 10.（xx•曲靖第14题3分）一元二次方程x2﹣5x+c=0有两个不相等的实数根且两根之积为正数，若c是整数，则c=　4　．（只需填一个）． 考点： 根的判别式；根与系数的关系．. 分析： 根据判别式的意义得到△=（﹣5）2﹣4c＞0，解不等式得c＜，进一步根据根与系数的关系得到x1+x2=5，x1x2=c＞0，然后在此范围内找出最大整数即可． 解答： 解：∵一元二次方程x2﹣5x+c=0有两个不相等的实数根， ∴△=（﹣5）2﹣4c＞0，解得c＜， ∵x1+x2=5，x1x2=c＞0，c是整数， ∴c=4． 故答案为：4． 点评： 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 11．（xx•娄底，第14题3分）已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有实数根，则m的取值范围是　m≤1　． 考点： 根的判别式． 专题： 探究型． 分析： 先根据一元二次方程x2+2x+m=0得出a、b、c的值，再根据方程有实数根列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可． 解答： 解：由一元二次方程x2+2x+m=0可知a=1，b=2，c=m， ∵方程有实数根， ∴△=22﹣4m≥0，解得m≤1． 故答案为：m≤1． 点评： 本题考查的是一元二次方程根的判别式，根据题意列出关于m的不等式是解答此题的关键． 12．（xx•本溪，第15题3分）关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是　k＜2且k≠1　． 考点： 根的判别式；一元二次方程的定义．. 分析： 根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k﹣1≠0且△=（﹣2）2﹣4（k﹣1）＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可． 解答： 解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根， ∴k﹣1≠0且△=（﹣2）2﹣4（k﹣1）＞0， 解得：k＜2且k≠1． 故答案为：k＜2且k≠1． 点评： 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 13.（xx•山东泰安,第22题3分）方程：（2x+1）（x﹣1）=8（9﹣x）﹣1的根为　﹣8或　． 考点： 解一元二次方程-因式分解法．. 分析： 首先去括号，进而合并同类项，再利用十字相乘法分解因式得出即可． 解答： 解：（2x+1）（x﹣1）=8（9﹣x）﹣1 整理得：2x2﹣x﹣1=72﹣8x﹣1 2x2+7x﹣72=0， 则（x+8）（2x﹣9）=0， 解得：x1=﹣8，x2=． 故答案为：﹣8或． 点评： 此题主要考查了因式分解法解方程，正确利用十字相乘法分解因式是解题关键． 14．（xx•云南,第9题3分）分解因式：3x2﹣12=　3（x﹣2）（x+2）　． 考点： 提公因式法与公式法的综合运用． 分析： 原式提取3，再利用平方差公式分解即可． 解答： 解：原式=3（x2﹣4） =3（x+2）（x﹣2）． 故答案为：3（x+2）（x﹣2）． 点评： 本题考查因式分解．因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．公式包括平方差公式与完全平方公式，要能用公式法分解必须有平方项，如果是平方差就用平方差公式来分解，如果是平方和需要看还有没有两数乘积的2倍，如果没有两数乘积的2倍还不能分解．解答这类题时一些学生往往因分解因式的步骤、方法掌握不熟练，对一些乘法公式的特点记不准确而误选其它选项．要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以提取公因式的要先提取公因式． 15．（xx•聊城，第13题3分）一元二次方程x2﹣2x=0的解是　x1=0，x2=2　． 考点： 解一元二次方程-因式分解法．. 分析： 本题应对方程左边进行变形，提取公因式x，可得x（x﹣2）=0，将原式化为两式相乘的形式，再根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0．”，即可求得方程的解． 解答： 解：原方程变形为：x（x﹣2）=0， x1=0，x2=2． 故答案为：x1=0，x2=2． 点评： 本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．本题运用的是因式分解法． 三.解答题 1．（xx•湖北, 第21题6分）如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2？ 考点： 一元二次方程的应用． 专题： 几何图形问题． 分析： 设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm可以得出平行于墙的一边的长为（25﹣2x+1）m．根据矩形的面积公式建立方程求出其解就可以了． 解答： 解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm可以得出平行于墙的一边的长为（25﹣2x+1）m，由题意得 x（25﹣2x+1）=80， 化简，得x2﹣13x+40=0， 解得：x1=5，x2，8， 当x=5时，26﹣2x=16＞12（舍去），当x=8时，26﹣2x=10＜12， 答：所围矩形猪舍的长为10m、宽为8m． 点评： 本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，矩形的面积公式的运用及一元二次方程的解法的运用，解答时寻找题目的等量关系是关键． 2．（xx•鄂州, 第20题8分）关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1=0有两个不等实根x1，x2． （1）求实数k的取值范围． （2）若方程两实根x1，x2满足|x1|+|x2|=x1•x2，求k的值． 考点： 根的判别式；根与系数的关系． 分析： （1）根据方程有两个不相等的实数根可得△=（2k+1）2﹣4（k2+1）=4k2+4k+1﹣4k2﹣4=4k﹣3＞0，求出k的取值范围； （2）首先判断出两根均小于0，然后去掉绝对值，进而得到2k+1=k2+1，结合k的取值范围解方程即可． 解答： 解：（1）∵原方程有两个不相等的实数根， ∴△=（2k+1）2﹣4（k2+1）=4k2+4k+1﹣4k2﹣4=4k﹣3＞0， 解得：k＞； （2）∵k＞， ∴x1+x2=﹣（2k+1）＜0， 又∵x1•x2=k2+1＞0， ∴x1＜0，x2＜0， ∴|x1|+|x2|=﹣x1﹣x2=﹣（x1+x2）=2k+1， ∵|x1|+|x2|=x1•x2， ∴2k+1=k2+1， ∴k1=0，k2=2， 又∵k＞， ∴k=2． 点评： 本题主要考查了根的判别式以及根与系数关系的知识，解答本题的关键是利用根的判别式△=b2﹣4ac＞0求出k的取值范围，此题难度不大． 　 3．（xx•宜昌，第22题10分）全民健身和医疗保健是社会普遍关注的问题，xx年，某社区共投入30万元用于购买健身器材和药品． （1）若xx年社区购买健身器材的费用不超过总投入的，问xx年最低投入多少万元购买药品？ （2）xx年，该社区购买健身器材的费用比上一年增加50%，购买药品的费用比上一年减少，但社区在这两方面的总投入仍与xx年相同． ①求xx年社区购买药品的总费用； ②据统计，xx年该社区积极健身的家庭达到200户，社区用于这些家庭的药品费用明显减少，只占当年购买药品总费用的，与xx年相比，如果xx年社区内健身家庭户数增加的百分比与平均每户健身家庭的药品费用降低的百分比相同，那么，xx年该社区用于健身家庭的药品费用就是当年购买健身器材费用的，求xx年该社区健身家庭的户数． 考点： 一元二次方程的应用；二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用．. 专题： 应用题． 分析： （1）设xx年购买药品的费用为x万元，根据购买健身器材的费用不超过总投入的，列出不等式，求出不等式的解集即可得到结果； （2）①设xx年社区购买药品的费用为y万元，则购买健身器材的费用为（30﹣y）万元，xx年购买健身器材的费用为（1+50%）（30﹣y）万元，购买药品的费用为（1﹣）y万元，根据题意列出方程，求出方程的解得到y的值，即可得到结果； ②设这个相同的百分数为m，则xx年健身家庭的药品费用为200（1+m），根据xx年该社区用于健身家庭的药品费用就是当年购买健身器材费用的，列出方程，求出方程的解即可得到结果． 解答： 解：（1）设xx年购买药品的费用为x万元， 根据题意得：30﹣x≤30， 解得：x≥10， 则xx年最低投入10万元购买商品； （2）①设xx年社区购买药品的费用为y万元，则购买健身器材的费用为（30﹣y）万元， xx年购买健身器材的费用为（1+50%）（30﹣y）万元，购买药品的费用为（1﹣）y万元， 根据题意得：（1+50%）（30﹣y）+（1﹣）y=30， 解得：y=16，30﹣y=14， 则xx年购买药品的总费用为16万元； ②设这个相同的百分数为m，则xx年健身家庭的药品费用为200（1+m）， xx年平均每户健身家庭的药品费用为（1﹣m）万元， 依题意得：200（1+m）•（1﹣m）=（1+50%）14， 解得：m=， ∵m＞0，∴m==50%， ∴200（1+m）=300（户）， 则xx年该社区健身家庭的户数为300户． 点评： 此题考查了一元二次方程的应用，二元一次方程组的应用，以及一元一次不等式的应用，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 4．（xx•湘潭，第24题8分）阅读材料：用配方法求最值． 已知x，y为非负实数， ∵x+y﹣2≥0 ∴x+y≥2，当且仅当“x=y”时，等号成立． 示例：当x＞0时，求y=x++4的最小值． 解：+4=6，当x=，即x=1时，y的最小值为6． （1）尝试：当x＞0时，求y=的最小值． （2）问题解决：随着人们生活水平的快速提高，小轿车已成为越来越多家庭的交通工具，假设某种小轿车的购车费用为10万元，每年应缴保险费等各类费用共计0.4万元，n年的保养、维护费用总和为万元．问这种小轿车使用多少年报废最合算（即：使用多少年的年平均费用最少，年平均费用=）？最少年平均费用为多少万元？ 考点： 配方法的应用．. 分析： （1）首先根据y=，可得y=x++1，然后应用配方法，求出当x＞0时，y=的最小值是多少即可． （2）首先根据题意，求出年平均费用=（+0.4n+10）n=，然后应用配方法，求出这种小轿车使用多少年报废最合算，以及最少年平均费用为多少万元即可． 解答： 解：（1）y==x++1+1=3， ∴当x=，即x=1时，y的最小值为3． （2）年平均费用=（+0.4n+10）n==2+0.5=2.5， ∴当， 即n=10时，最少年平均费用为2.5万元． 点评： 此题主要考查了配方法的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方． 5．（xx•永州，第22题8分）已知关于x的一元二次方程x2+x+m2﹣2m=0有一个实数根为﹣1，求m的值及方程的另一实根． 考点： 一元二次方程的解；根与系数的关系．. 分析： 把x=﹣1代入已知方程列出关于m的新方程，通过解该方程来求m的值；然后结合根与系数的关系来求方程的另一根． 解答： 解：设方程的另一根为x2，则 ﹣1+x2=﹣1， 解得x2=0． 把x=﹣1代入x2+x+m2﹣2m=0，得 （﹣1）2+（﹣1）+m2﹣2m=0，即m（m﹣2）=0， 解得m1=0，m2=2． 综上所述，m的值是0或2，方程的另一实根是0． 点评： 本题主要考查了一元二次方程的解．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立． 6. （xx广西崇左第23题8分）为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度．xx年市政府共投资3亿元人民币建设了廉租房12万平方米，xx年投资6.75亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同． （1）求每年市政府投资的增长率； （2）若这两年内的建设成本不变，问xx年建设了多少万平方米廉租房？ 【信息梳理】 原题信息 整理后的信息 xx---xx连续两年投资 是一元二次方程增长率问题 计算增长率 根据a(1+x)2＝b列方程 计算xx即两年后投资 xx年投资(1+x)2） 解：（1）设投资平均增长率为x，根据题意得 3(1+x)2＝6.75 解得x1=0.5,x2=-2.5(不符合题意舍去) 答：政府投资平均增长率为50%; (2)12(1+0.5)2 = 18(万平方米) 答：xx年建设了18万平方米廉租房. 备考指导：连续增长问题，如果起始量为a，平均增长率为x，变化后的量为b，则增长一次后的量为a+ax＝a（1+x）；再增长一次后的量为：a（1+x）+a（1+x）x＝a（1+x）2，故经过两次增长率相同的连续增长有公式：b＝a（1+x）2．连续递减问题公式，b＝a（1-x）2． 7. （xx江苏淮安第26题）水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤。通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤。为了保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售。 （1） 若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是 斤（用含x的代数式表示）； （2） 销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？ 8. （xx江苏连云港第23题10分）在某市组织的大型商业演出活动中，对团体购买门票实行优惠，决定在原定票价基础上每张降价80元，这样按原定票价需花费6000元购买的门票张数，现在只花费了4800元。 （1）求每张门票的原定票价； （2）根据实际情况，活动组织单位决定对于个人购票也采取优惠措施，原定票价经过连续二次降价后降为324元，求平均每次降价的百分率。 【思路分析】（1）题中共有二组数量关系， 第一组数量关系为票价的关系，设设每张门票的原定票价为x元．降价后为(x－80)元 第二组数量关系为门票的张数保持不变的关系， 表示出降价前的门票张数与降价后的门票张数 （2）掌握增长率公式 【答案】（1）解：设每张门票的原定票价为x元．……………………………………1分 由题意得：＝， 解得：x＝400．经检验：x＝400是原方程的解． 答：每张门票的原定票价400元．……………………………………5分 （2）解：设平均每次降价的百分率为y． 由题意得：400(1－y)2＝324 解得：y 1＝0.1，y 2＝1.9（不合题意，舍去） 答：平均每次降价10%． ……………………………………10分 【点评】本题考查的是列分式方程解决问题和一元二次方程中的增长率问题 9、(xx年四川省广元市中考，22,9分)李明准备进行如下操作实验，把一根长40cm的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形． （1）要使这两个正方形的面积之和等于58cm2，李明应该怎么剪这根铁丝？ （2）李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2，你认为他的说法正确吗？请说明理由． 考点： 一元二次方程的应用．. 专题： 几何图形问题． 分析： （1）设剪成的较短的这段为xcm，较长的这段就为（40﹣x）cm．就可以表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于58cm2建立方程求出其解即可； （2）设剪成的较短的这段为mcm，较长的这段就为（40﹣m）cm．就可以表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于48cm2建立方程，如果方程有解就说明李明的说法错误，否则正确． 解答： 解：（1）设剪成的较短的这段为xcm，较长的这段就为（40﹣x）cm，由题意，得 （）2+（）2=58， 解得：x1=12，x2=28， 当x=12时，较长的为40﹣12=28cm， 当x=28时，较长的为40﹣28=12＜28（舍去）． 答：李明应该把铁丝剪成12cm和28cm的两段； （2）李明的说法正确．理由如下： 设剪成的较短的这段为mcm，较长的这段就为（40﹣m）cm，由题意，得 （）2+（）2=48， 变形为：m2﹣40m+416=0， ∵△=（﹣40）2﹣4416=﹣64＜0， ∴原方程无实数根， ∴李明的说法正确，这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2． 点评： 本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，根的判别式的运用，解答本题时找到等量关系建立方程和运用根的判别式是关键． 10．（xx•东营,第23题8分）xx年，东营市某楼盘以每平方米6500元的均价对外销售，因为楼盘滞销，房地产开发商为了加快资金周转，决定进行降价促销，经过连续两年下调后，xx年的均价为每平方米5265元． （1）求平均每年下调的百分率； （2）假设xx年的均价仍然下调相同的百分率，张强准备购买一套100平方米的住房，他持有现金20万元，可以在银行贷款30万元，张强的愿望能否实现？（房价每平方米按照均价计算） 考点： 一元二次方程的应用． 专题： 增长率问题． 分析： （1）设平均每年下调的百分率为x，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果； （2）如果下调的百分率相同，求出xx年的房价，进而确定出100平方米的总房款，即可做出判断． 解答： 解：（1）设平均每年下调的百分率为x， 根据题意得：6500（1﹣x）2=5265， 解得：x1=0.1=10%，x2=1.9（舍去）， 则