2019-2020年八年级数学下册专题讲解+课后训练：正方形 课后练习及详解.doc

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2019-2020年八年级数学下册专题讲解+课后训练：正方形 课后练习及详解 题一： 下列判断中正确的是(　　) A．四边相等的四边形是正方形 B．四角相等的四边形是正方形 C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形 D．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 题二： 正方形四边中点的连线围成的四边形(最准确的说法)一定是(　　) A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形 题三： 如图，正方形ABCD中，点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，CE、DF交于G，连接AG、HG．下列结论：①CE⊥DF；②AG=AD；③∠CHG=∠DAG；④HG=AD．其中正确的有(　　) A．①② B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 题四： 如图，正方形ABCD的对角线相交于O点，BE平分∠ABO交AO于E点，CF⊥BE于F点，交BO于G点，连接EG、OF．下列四个结论：①CE=CB；②AE=OE；③OF=CG．其中正确的结论只有(　　) A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 题五： 如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，B、C、G三点在一条直线上，且正方形ABCD与正方形ECGF的边长分别为2和3，在BG上截取GP=2，连接AP、PF． 题六： (1)观察猜想AP与PF之间的大小关系，并说明理由； 题七： (2)图中是否存在通过旋转、平移、反射等变换能够互相重合的两个三角形？若存在，请说明变换过程；若不存在，请说明理由； 题八： (3)若把这个图形沿着PA、PF剪成三块，请你把它们拼成一个大正方形，在原图上画出示意图，并请求出这个大正方形的面积． 题九： 如图，正方形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，OA1交AB于点E，OC1交BC于点F． 题十： (1)求证：△AOE≌△BOF； 题十一： (2)如果两个正方形的边长都为a，那么正方形A1B1C1O绕O点转动，两个正方形重叠部分的面积等于多少？为什么？ 题十二： 如图，已知点E为正方形ABCD的边BC上一点，连接AE，过点D作DG⊥AE，垂足为G，延长DG交AB于点F．求证：BF=CE． 题十三： 如图，四边形ABCD是正方形，G是BC上任意一点(点G与B、C不重合)，AE⊥DG于E，CF∥AE交DG于F．求证：AE=FC+EF． 题十四： 如图1，四边形ABHC，ADEF都是正方形，D、F分别在AB、AC边上，此时BD=CF，BD⊥CF成立． 题十五： (1)当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ(0＜θ＜90)时，如图2，BD=CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 题十六： (2)当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45时，如图3，延长BD交CF于点G，设BG交AC于点M，求证：BD⊥CF． 题十七： 题十八： 两个边长不定的正方形ABCD与正方形AEFG如图1摆放，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转一定角度． 题十九： (1)若点E落在BC边上(如图2)，试探究线段CF与AC的位置关系并证明； 题二十： (2)若点E落在BC的延长线上时(如图3)，(1)中结论是否仍然成立？若不成立，请说明理由；若成立，加以证明． 题二十一： 如图所示，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点，直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动(点E不与点A，B重合)，另一直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F． 题二十二： (1)如图1所示，当点E在AB边的中点位置时： 题二十三： ①通过测量DE，EF的长度，猜想DE与EF满足的数量关系是_________； 题二十四： ②连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系是_________； 题二十五： ③请证明你的上述两个猜想； 题二十六： (2)如图2所示，当点E在AB边上的任意位置时，请你在AD边上找到一点N，使得NE=BF，进而猜想此时DE与EF有怎样的数量关系． 题二十七： 在图1至图3中，点B是线段AC的中点，点D是线段CE的中点．四边形BCGF和四边形CDHN都是正方形．AE的中点是M． 题二十八： (1)如图1，点E在AC的延长线上，点N与点G重合时，点M与点C重合，求证：FM=MH，FM⊥MH； 题二十九： (2)将图1中的CE绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图2，求证：△FMH是等腰直角三角形； 题三十： (3)将图2中的CE缩短到图3的情况，△FMH还是等腰直角三角形吗？(不必说明理由) 正方形 课后练习参考答案 题一： D． 详解：A错误，四边相等的四边形是菱形； B错误，四角相等的四边形是矩形； C错误，对角线互相垂直的平行四边形是菱形； D正确，对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形； 故选D． 题二： C． 详解：如图，连接AC、BD，交于O，∵正方形ABCD，∴AC=BD，AC⊥BD， ∵E是AD的中点，H是CD的中点，F是AB的中点，G是BC的中点， ∴EH∥AC，FG∥AC，EF∥BD，GH∥BD，EF=BD，EH=AC， ∴EF=EH，EF⊥EH，四边形EFGH是平行四边形， ∴平行四边形EFGH是正方形．故选C． 题三： D． 详解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=90， ∵点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，∴△BCE≌△CDF，∴∠ECB=∠CDF， ∵∠BCE+∠ECD=90，∴∠ECD+∠CDF=90，∴∠CGD=90，∴CE⊥DF，故①正确； 在Rt△CGD中，H是CD边的中点，∴HG=CD=AD，故④正确； 连接AH，同理可得：AH⊥DF，∵HG=HD=CD，∴DK=GK， ∴AH垂直平分DG，∴AG=AD，故②正确； ∴∠DAG=2∠DAH，同理：△ADH≌△DCF，∴∠DAH=∠CDF， ∵GH=DH，∴∠HDG=∠HGD，∴∠GHC=∠HDG+∠HGD=2∠CDF， ∴∠CHG=∠DAG，故③正确；故正确的结论有①②③④．故选D． 题四： D． 详解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABO=∠ACO=∠CBO= 45，AB=BC，OA=OB=OC， BD⊥AC， ∵BE平分∠ABO，∴∠OBE=∠ABO=22.5，∴∠CBE=∠CBO+∠EBO=67.5， 在△BCE中，∠CEB=180-∠BCO-∠CBE=180- 45-67.5=67.5， ∴∠CEB=∠CBE，∴CE=CB；故①正确； ∵OA=OB，AE=BG，∴OE=OG， ∵∠AOB=90，∴△OEG是等腰直角三角形，∴EG=OE， ∵∠ECG=∠BCG，EC=BC，CG=CG，∴△ECG≌△BCG， ∴BG=EG，∴AE=EG=OE；故②正确； ∵∠AOB=90，EF=BF，∵BE=CG，∴OF=BE=CG．故③正确； 故正确的结论有①②③．故选D． 题五： 见详解． 详解：(1)猜想PA=PF； 理由：∵正方形ABCD、正方形ECGF， ∴AB=BC=2，CG=FG=3，∠B=∠G=90， ∵PG=2，∴BP=2+3-2=3=FG，AB=PG， ∴△ABP≌△PGF，∴PA=PF． (2)存在，是△ABP和△PGF， 变换过程：把△ABP先向右平移5个单位，使AB在GF边上，B与G重合， 再绕G点逆时针旋转90度，就可与△PGF重合． (3)如图，S大正方形=S正方形ABCD+S正方形ECGF = 4+9=13． 题六： 见详解． 详解：(1)证明：在正方形ABCD中，AO=BO，∠AOB=90，∠OAB=∠OBC= 45， ∵∠AOE+∠EOB=90，∠BOF+∠EOB=90，∴∠AOE=∠BOF． 在△AOE和△BOF中，∠OAE=∠OBF，OA=OB，∠AOE=∠BOF， ∴△AOE≌△BOF； (2)两个正方形重叠部分面积等于a2，因为△AOE≌△BOF， 所以S四边形OEBF=S△EOB+S△OBF=S△EOB+S△AOE=S△AOB=S正方形ABCD=a2． 题七： 见详解． 详解：在正方形ABCD中，∠DAF=∠ABE=90，DA=AB=BC， ∵DG⊥AE，∴∠FDA+∠DAG=90． 又∵∠EAB+∠DAG=90，∴∠FDA=∠EAB． 在Rt△DAF与Rt△ABE中，DA=AB，∠FDA=∠EAB， ∴Rt△DAF≌Rt△ABE．∴AF=BE． ∵AB=BC，∴BF=CE． 题八： 见详解． 详解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=DC，∠ADC=90， 又∵AE⊥DG，CF∥AE，∴∠AED=∠DFC=90， ∴∠EAD+∠ADE=∠FDC+∠ADE=90，∴∠EAD=∠FDC， ∴△AED≌△DFC(AAS)，∴AE=DF，ED=FC， ∵DF=DE+EF，∴AE=FC+EF． 题九： 见详解． 详解：(1)BD=CF成立， 理由是：∵四边形ABHC和四边形ADEF是正方形， ∴AB=AC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=90， ∴∠BAC-∠DAC=∠DAF-∠DAC， ∴∠BAD=∠CAF， 在△DAB和△FAC中，AB=AC，∠DAB=∠FAC，AD=AF， ∴△DAB≌△FAC(SAS)， ∴BD=CF． (2)∵△DAB≌△FAC，∴∠FCA=∠DBA， ∵∠CMG=∠BMA，∠CAB=90， ∴∠CMG+∠FCA=∠DBA+∠BMA=180-∠CAB=90， ∴在△CGM中，∠CGM=180-90=90， ∴BD⊥CF． 题十： 见详解． 详解：(1)如图2，过E作EM⊥CB于E交AC与M，而AE⊥EF， ∴∠AEF=90，∴∠AEM+∠MEF=∠CEF+∠MEF， ∴∠AEM=∠CEF， 又∵AC是正方形的对角线，∴∠ACE=45，∴CE=ME， ∵AE=EF，∴△AEM≌△FEC，∴∠CFE=∠CAE，而∠ANE=∠CNF， ∴∠ACF=∠AEF=90，即CF⊥AC； (2)若点E落在BC的延长线上时(如图③)，(1)中结论是否仍然成立． 过F作FH⊥BC，交BC的延长线于H，∵四边形ABCD、四边形AEFG是正方形， ∴∠AEF=∠B=∠EHF=90，AE=EF，∴∠AEB+∠BAE=∠AEB+∠FEH=90， ∴∠BAE=∠FEH，∴△FEH≌△EAB，∴EH=AB，FH=BE， 即EH=AB=BC，FH=BE=BC+CE， ∴FH=EH+CE=CH，即∠FCH= 45，而∠ACB= 45， ∴AC⊥CF． 题十一： 见详解． 详解：(1)①DE=EF；②NE=BF； ③∵四边形ABCD为正方形，∴AD=AB，∠DAB=∠ABC=90， ∵N，E分别为AD，AB中点，∴AN=DN=AD，AE=EB=AB， ∴DN=BE，AN=AE， ∵∠DEF=90，∴∠AED+∠FEB=90， 又∵∠ADE+∠AED=90，∴∠FEB=∠ADE， 又∵AN=AE，∴∠ANE=∠AEN， 又∵∠A=90，∴∠ANE= 45，∴∠DNE=180-∠ANE=135， 又∵∠CBM=90，BF平分∠CBM，∴∠CBF= 45，∠EBF=135， ∴△DNE≌△EBF(ASA)，∴DE=EF，NE=BF． (2)在DA上截取DN=EB(或截取AN=AE)， 连接NE，则点N可使得NE=BF．此时DE=EF． 证明方法同(1)，证△DNE≌△EBF． 题十二： 见详解． 详解：(1)证明：∵四边形BCGF为正方形，∴BF=BM=MN，∠FBM=90， ∵四边形CDHN为正方形，∴DM=DH=MN，∠HDM=90， ∵BF=BM=MN，DM=DH=MN，∴BF=BM=DM=DH， ∵BF=DH，∠FBM=∠HDM，BM=DM，∴△FBM≌△HDM，∴FM=MH， ∵∠FMB=∠DMH= 45，∴∠FMH=90，∴FM⊥HM． (2)证明：连接MB、MD，如图2，设FM与AC交于点P． ∵B、D、M分别是AC、CE、AE的中点， ∴MD∥BC，且MD=AC=BC=BF；MB∥CD，且MB=CE=CD=DH， ∴四边形BCDM是平行四边形，∴∠CBM=∠CDM， 又∵∠FBP=∠HDC，∴∠FBM=∠MDH，∴△FBM≌△MDH， ∴FM=MH，且∠FMB=∠MHD，∠BFM=∠HMD．∴∠FMB+∠HMD=180-∠FBM， ∵BM∥CE，∴∠AMB=∠E， 同理：∠DME=∠A．∴∠ AMB+∠DME=∠A+∠AMB=∠CBM． 由已知可得：BM=CE=AB=BF，∴∠A=∠BMA，∠BMF=∠BFM， ∴∠FMH=180- (∠FMB+∠HMD)-(∠AMB+∠DME) =180-(180-∠FBM)-∠CBM=∠FBM-∠CBM=∠FBC=90． ∴△FMH是等腰直角三角形． (3)解：△FMH还是等腰直角三角形．