2019-2020年九年级总复习（河北）习题 专题三 开放探究问题.doc

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2019-2020年九年级总复习（河北）习题 专题三 开放探究问题 强化突破 1．(xx绥化)如图，A，B，C三点在同一条直线上，∠A＝∠C＝90，AB＝CD，请添加一个适当的条件__答案不唯一，如：AE＝CB或∠EBD＝90等__，使得△EAB≌△BCD. 2．(xx淄博)已知▱ABCD，对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件，使▱ABCD成为一个菱形，你添加的条件是__答案不唯一，如：AD＝CD或AC⊥BD等__． 3．(xx北京)在平面直角坐标系xOy中，对于点P(x，y)，我们把点P′(－y＋1，x＋1)叫做点P的伴随点．已知点A1的伴随点为A2，点A2的伴随点为A3，点A3的伴随点为A4，…，这样依次得到点A1，A2，A3，…，An，….若点A1的坐标为(3，1)，则点A3的坐标为__(－3，1)__，点Axx的坐标为__(0，4)__；若点A1的坐标为(a，b)，对于任意的正整数n，点An均在x轴上方，则a，b应满足的条件为__－1＜a＜1且0＜b＜2__． 4．(xx武汉)观察下列一组图形中点的个数，其中第1个图中共有4个点，第2个图中共有10个点，第3个图中共有19个点，……，按此规律第5个图中共有点的个数是( B ) A．31 B．46 C．51 D．66 5．(xx天门)小文、小亮从学校出发到青少年宫参加书法比赛，小文步行一段时间后，小亮骑自行车沿相同路线行进，两人均匀速前行．他们的路程差s(米)与小文出发时间t(分)之间的函数关系如图所示，下列说法：①小亮先到达青少年宫；②小亮的速度是小文速度的2.5倍；③a＝24；④b＝480.其中正确的是( B ) A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 6．(xx南京)学习了三角形全等的判定方法(即“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”)和直角三角形全等的判定方法(即“HL”)后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究． 【初步思考】 我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，然后，对∠B进行分类，可以分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究． 【深入探究】 第一种情况：当∠B为直角时，△ABC≌△DEF. (1)如图①，在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E＝90，根据__HL__，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF. 第二种情况：当∠B为钝角时，△ABC≌△DEF. (2)如图②，在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，且∠B，∠E都是钝角，求证：△ABC≌△DEF. 第三种情况：当∠B为锐角时，△ABC和△DEF不一定全等． (3)如图③，在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，且∠B，∠E都是锐角，请你用尺规在图③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等．(不写作法，保留作图痕迹) (4)∠B还要满足什么条件，就可以使得△ABC≌△DEF，请直接填写结论：在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，且∠B，∠E都是锐角，若__∠B≥∠A__，则△ABC≌△DEF. 解：(1)HL　(2)如图，过点C作CG⊥AB交AB的延长线于G，过点F作DH⊥DE交DE的延长线于H，∵∠B＝∠E，且∠B，∠E都是钝角，∴180－∠B＝180－∠E，即∠CBG＝∠FEH，可证△CBG≌△FEH(AAS)，∴CG＝FH，可证Rt△ACG≌Rt△DFH(HL)，∴∠A＝∠D，从而可证△ABC≌△DEF(AAS)　(3)如图，△DEF和△ABC不全等　(4)答案不唯一，如：∠B≥∠A 7．(xx淄博)如图，四边形ABCD中，AC⊥BD交BD于点E，点F，M分别是AB，BC的中点，BN平分∠ABE交AM于点N，AB＝AC＝BD.连接MF，NF. (1)判断△BMN的形状，并证明你的结论； (2)判断△MFN与△BDC之间的关系，并说明理由． 解：(1)△BMN是等腰直角三角形．证明：∵AB＝AC，点M是BC的中点，∴AM⊥BC，AM平分∠BAC.∵BN平分∠ABE，AC⊥BD，∴∠AEB＝90，∴∠EAB＋∠EBA＝90，∴∠MNB＝∠NAB＋∠ABN＝(∠BAE＋∠ABE)＝45，∴∠MBN＝90－∠MNB＝45，∴∠MBN＝∠MNB，∴△BMN是等腰直角三角形 (2)△MFN∽△BDC.证明：∵点F，M分别是AB，BC的中点，∴FM∥AC，FM＝AC.∵AC＝BD，∴FM＝BD，即＝.∵△BMN是等腰直角三角形，∴NM＝BM＝BC，即＝，∴＝.∵AM⊥BC，∴∠NMF＋∠FMB＝90.∵FM∥AC，∴∠ACB＝∠FMB.∵∠CEB＝90，∴∠ACB＋∠CBD＝90，∴∠CBD＋∠FMB＝90，∴∠NMF＝∠CBD，∴△MFN∽△BDC 8．(xx陕西)问题探究 (1)请在图①中作出两条直线，使它们将圆面四等分； (2)如图②，M是正方形ABCD内一定点，请在图②中作出两条直线(要求其中一条直线必须过点M)，使它们将正方形ABCD的面积四等分，并说明理由． 问题解决 (3)如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＋CD＝BC，点P是AD的中点．如果AB＝a，CD＝b，且b＞a，那么在边BC上是否存在一点Q，使PQ所在直线将四边形ABCD的面积分成相等的两部分？若存在，求出BQ的长；若不存在，说明理由． 解：(1)过圆心O作两条互相垂直的直线即可　(2)连接AC，BD相交于点O，作直线OM分别交AD，BC于P，Q两点，过点O作OM的垂线分别交AB，CD于E，F两点，则直线OM，EF将正方形ABCD的面积四等分．理由：利用ASA易证△OAP≌△OBE≌△OCQ≌△ODF，从而可得直线OM，EF将正方形ABCD的面积四等分 (3)存在，当BQ＝CD＝b时，PQ将四边形ABCD面积二等分．理由如下：延长BA到点E，使AE＝b，延长CD到点F，使DF＝a，连接EF，易得四边形EBCF是菱形．连接BF交AD于M，则△MAB≌△MDF，∴AM＝DM，∴P，M两点重合，∴P点是菱形EBCF对角线的交点，在BC上截取BQ＝CD＝b，则CQ＝AB＝a.设点P到菱形EBCF一边的距离为d，则(AB＋BQ)d＝(CQ＋CD)d＝(a＋b)d，∴S四边形ABQP＝S四边形CDPQ，∴当BQ＝b时，直线PQ将四边形ABCD的面积分成相等的两部分 9．(xx襄阳)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的一个交点A的坐标为(－1，0)，对称轴为直线x＝－2. (1)求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标； (2)点D是抛物线与y轴的交点，点C是抛物线上的另一点，已知以AB为一底边的梯形ABCD的面积为9，求此抛物线的解析式，并指出顶点E的坐标； (3)点P是(2)中抛物线对称轴上一动点，且以1个单位/秒的速度从此抛物线的顶点E向上运动．设点P运动的时间为t秒． ①当t为__2__秒时，△PAD的周长最小；当t为__4或4－或4＋__秒时，△PAD是以AD为腰的等腰三角形；(结果保留根号) ②点P在运动过程中，是否存在一点P，使△PAD是以AD为斜边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 解：(1)B(－3，0)　(2)设抛物线的对称轴交CD于点M，交AB于点N，由题意可知AB∥CD，由抛物线的轴对称性可得CD＝2DM.∵MN∥y轴，AB∥CD，∴四边形ODMN是矩形，∴DM＝ON＝2，∴CD＝22＝4.∵A(－1，0)，B(－3，0)，∴AB＝2.∵梯形ABCD的面积＝(AB＋CD)OD＝9，∴OD＝3，即c＝3.把A(－1，0)，B(－3，0)代入y＝ax2＋bx＋3得a＝1，b＝4，∴y＝x2＋4x＋3，化为顶点式为y＝(x＋2)2－1，得E(－2，－1)　(3)①2；4或4－或4＋ ②存在．∵∠APD＝90，∠PMD＝∠PNA＝90，∴∠PDM＋∠APN＝90，∠DPM＋∠PDM＝90，∴∠PDM＝∠APN，又∵∠PMD＝∠ANP，∴△APN∽△PDM，∴＝，∴＝，∴PN2－3PN＋2＝0，∴PN＝1或PN＝2，∴P(－2，1)或(－2，2)