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2019-2020年高考数学二轮复习 专题能力训练21 函数与方程思想 文
一、选择题
1.函数f(x)=+a的零点为x=1,则实数a的值为( )
A.-2 B.-
C. D.2
2.函数f(x)的定义域为R,f(-1)=2,对任意x∈R,f(x)>2,则f(x)>2x+4的解集为( )
A.(-1,1) B.(-1,+∞)
C.(-∞,-1) D.(-∞,+∞)
3.若不等式>0的解集为{x|-1
2}
4.(xx课标全国Ⅰ高考,文12)已知函数f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0,则a的取值范围是( )
A.(2,+∞) B.(1,+∞)
C.(-∞,-2) D.(-∞,-1)
5.已知=1,(a,b,c∈R),则有( )
A.b2>4ac B.b2≥4ac
C.b2<4ac D.b2≤4ac
6.直线(1+a)x+y+1=0与圆x2+y2-2x=0相切,则a的值为( )
A.1,-1 B.2,-2
C.1 D.-1
二、填空题
7.若不等式x2+2xy≤a(x2+y2)对于一切正数x,y恒成立,则实数a的最小值为 .
8.△ABC的三边a,b,c满足b=8-c,a2-bc-12a+52=0,则△ABC的形状是 .
三、解答题
9.设不等式mx2-2x-m+1<0对于满足|m|≤2的所有m的值都成立,求x的取值范围.
10.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位:万元)与隔热层厚度x(单位:cm)满足关系:C(x)=(0≤x≤10),若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元.设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.
(1)求k的值及f(x)的表达式;
(2)隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小,并求最小值.
11.设椭圆C:=1的左、右焦点分别为F1,F2,上顶点为A,在x轴负半轴上有一点B,满足,AB⊥AF2,且过A,B,F2三点的圆与直线x-y-3=0相切.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过右焦点F2作斜率为k的直线l与椭圆C交于M,N两点,线段MN的垂直平分线与x轴相交于点P(m,0),求实数m的取值范围.
专题能力训练21 函数与方程思想
1.B 解析:由已知得f(1)=0,
即+a=0,解得a=-.故选B.
2.B 解析:设φ(x)=f(x)-(2x+4),
则φ(x)=f(x)-2>0,
∴φ(x)在R上为增函数.
又φ(-1)=f(-1)-(-2+4)=0,
∴由φ(x)>0,可得x>-1.
故f(x)>2x+4的解集为(-1,+∞).
3.A 解析:>0⇔(ax-1)(x+b)>0,
转化为x1=-1,x2=2是方程(ax-1)(x+b)=0的两个根(a<0),
即解得
∴<0⇒0时,f(x)=3ax2-6x=3ax,
令f(x)=0,得x1=0,x2=,
所以f(x)在x=0处取得极大值f(0)=1,在x=处取得极小值f=1-,
要使f(x)有唯一的零点,需f>0,但这时零点x0一定小于0,不合题意;
当a<0时,f(x)=3ax2-6x=3ax,
令f(x)=0,得x1=0,x2=,这时f(x)在x=0处取得极大值f(0)=1,在x=处取得极小值f=1-,
要使f(x)有唯一零点,应满足f=1->0,解得a<-2(a>2舍去),且这时零点x0一定大于0,满足题意,故a的取值范围是(-∞,-2).
5.B 解析:依题设有5a-b+c=0,
∴是实系数一元二次方程ax2-bx+c=0的一个实根;
∴Δ=b2-4ac≥0.∴b2≥4ac,故选B.
6.D 解析:由直线方程得y=-1-(1+a)x,代入圆方程,整理得(2+2a+a2)x2+2ax+1=0.
又直线与圆相切,应有Δ=4a2-4(2+2a+a2)=-8a-8=0,解得a=-1.
7. 解析:令y=tx,则a≥,
令m=1+2t>1,则t=,
∵,
∴a≥.
8.等腰三角形 解析:因为b+c=8,bc=a2-12a+52,
所以b,c是方程t2-8t+a2-12a+52=0的两实根,
故Δ=(-8)2-4(a2-12a+52)
=-4(a2-12a+36)≥0,
即-4(a-6)2≥0,所以a=6.从而得b=c=4,因此△ABC是等腰三角形.
9.解:令g(m)=(x2-1)m-2x+1为m的一次函数,m∈[-2,2]
问题转化为g(m)在m∈[-2,2]上恒小于0,则解得0.
故x=5是f(x)的最小值点,对应的最小值为f(5)=65+=70.
当隔热层修建5cm厚时,总费用f(x)达到最小值70万元.
11.解:(1)连接AF1,因为AB⊥AF2,,所以AF1=F1F2,
即a=2c,则F2,B.
Rt△ABC的外接圆圆心为F1,半径r=|F2B|=a.
由已知圆心到直线的距离为a,所以=a,解得a=2,所以c=1,b=,所求椭圆方程为=1.
(2)因为F2(1,0),设直线l的方程为:y=k(x-1),M(x1,y1),N(x2,y2).
联立方程组
消去y,得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0.
则x1+x2=,y1+y2=k(x1+x2-2)=,
MN的中点为.
当k=0时,MN为长轴,中点为原点,则m=0.
当k≠0时,MN的垂直平分线方程为
y+=-.
令y=0,所以m=.
因为>0,所以+4>4,可得0
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