2019-2020年高考数学一轮复习 2.5 反函数教案.doc

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2019-2020年高考数学一轮复习 2.5 反函数教案 ●知识梳理 1.反函数定义：若函数y=f（x）（x∈A）的值域为C，由这个函数中x、y的关系，用y把x表示出来，得到x=（y）.如果对于y在C中的任何一个值，通过x=（y），x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x=（y）就表示y是自变量，x是自变量y的函数.这样的函数x=（y）（y∈C）叫做函数y=f（x）（x∈A）的反函数，记作x=f－1（y）. 在函数x=f－1（y）中，y表示自变量，x表示函数.习惯上，我们一般用x表示自变量，y表示函数，因此我们常常对调函数x=f－1（y）中的字母x、y，把它改写成y=f－1（x）. 2.互为反函数的两个函数y=f（x）与y=f－1（x）在同一直角坐标系中的图象关于直线y=x对称. 3.求反函数的步骤： （1）解关于x的方程y=f（x），得到x=f－1（y）. （2）把第一步得到的式子中的x、y对换位置，得到y=f－1（x）. （3）求出并说明反函数的定义域〔即函数y=f（x）的值域〕. ●点击双基 1.（xx年北京东城区模拟题）函数y=－（x≠－1）的反函数是 A.y=－－1（x≠0） B.y=－+1（x≠0） C.y=－x+1（x∈R） D.y=－x－1（x∈R） 解析：y=－（x≠－1）x+1=－x=－1－.x、y交换位置，得y=－1－. 答案：A 2.函数y=log2（x+1）+1（x＞0）的反函数为 A.y=2x－1－1（x＞1） B.y=2x－1+1（x＞1） C.y=2x+1－1（x＞0） D.y=2x+1+1（x＞0） 解析：函数y=log2（x+1）+1（x＞0）的值域为{y|y＞1}，由y=log2（x+1）+1，解得x=2y－1－1. ∴函数y=log2（x+1）+1（x＞0）的反函数为y=2x－1－1（x＞1）. 答案：A 3.函数f（x）=－（x≥－）的反函数 A.在［－，+∞）上为增函数 B.在［－，+∞）上为减函数 C.在（－∞，0］上为增函数 D.在（－∞，0］上为减函数 解析：函数f（x）=－（x≥－）的值域为{y|y≤0}，而原函数在［－，+∞）上是减函数，所以它的反函数在（－∞，0］上也是减函数. 答案：D 4.（xx年春季上海，4）函数f（x）=－x2（x∈（－∞，－2］）的反函数f－1（x）=______________. 解析：y=－x2（x≤－2），y≤－4.∴x=－.x、y互换， ∴f－1（x）=－（x≤－4）. 答案：－（x≤－4） 5.若函数f（x）=，则f－1（）=___________. 解法一：由f（x）=，得f－1（x）=.∴f－1（）==1. 解法二：由=，解得x=1.∴f－1（）=1. 答案：1 评述：显然解法二更简便. ●典例剖析 【例1】 设函数f（x）是函数g（x）=的反函数，则f（4－x2）的单调递增区间为 A.［0，+∞） B.（－∞，0］ C.［0，2） D.（－2，0］ 解析：f（4－x2）=－log2（4－x2）.x∈（－2，0］时，4－x2单调递增；x∈［0，2）时，4－x2单调递减. 答案：C 深化拓展 1.若y=f（x）是［a，b］上的单调函数，则y=f（x）一定有反函数，且反函数的单调性与y=f（x）一致. 2.若y=f（x），x∈［a，b］（a＜b）是偶函数，则y=f（x）有反函数吗？（答案：无） 【例2】 求函数f（x）=的反函数. 解：当x≤－1时，y=x2＋1≥2，且有x=－，此时反函数为y=－（x≥2）. 当x＞－1时，y=－x+1＜2，且有x=－y+1，此时反函数为y=－x+1（x＜2）. ∴f（x）的反函数f－1（x）= 评述：分段函数应在各自的条件下分别求反函数式及反函数的定义域，分段函数的反函数也是分段函数. 【例3】 已知函数f（x）是函数y=－1（x∈R）的反函数，函数g（x）的图象与函数y=的图象关于直线y=x－1成轴对称图形，记F（x）=f（x）+g（x）. （1）求F（x）的解析式及定义域. （2）试问在函数F（x）的图象上是否存在这样两个不同点A、B，使直线AB恰好与y轴垂直?若存在，求出A、B两点坐标；若不存在，说明理由. 解：（1）由y=－1（x∈R），得10x=，x=lg.∴f（x）=lg（－1＜x＜1）. 设P（x，y）是g（x）图象上的任意一点，则P关于直线y=x－1的对称点P′的坐标为（1+y，x－1）.由题设知点P′（1+y，x－1）在函数y=的图象上，∴x－1=. ∴y=，即g（x）=（x≠－2）. ∴F（x）=f（x）+g（x）=lg+，其定义域为{x|－1＜x＜1}. （2）∵f（x）=lg=lg（－1+）（－1＜x＜1）是减函数，g（x）=（－1＜x＜1）也是减函数，∴F（x）在（－1，1）上是减函数. 故不存在这样两个不同点A、B，使直线AB恰好与y轴垂直. 评述：本题是一道综合题，解决第（2）小题常用的方法是反证法，但本题巧用单调性法使问题变得简单明了. 深化拓展 若F（x）当x∈［a，b］时是单调函数，则F（x）图象上任两点A、B连线的斜率都不为零. ●闯关训练 夯实基础 1.（xx年全国Ⅱ）函数y=+1（x≥1）的反函数是 A.y=x2－2x+2（x＜1） B.y=x2－2x+2（x≥1） C.y=x2－2x（x＜1） D.y=x2－2x（x≥1） 解析：y=+1（x≥1）y≥1，反解xx=（y－1）2+1x=y2－2y+2（y≥1），x、y互换y=x2－2x+2（x≥1）. 答案：B 2.（文）（xx年全国Ⅲ，文3）记函数y=1+3－x的反函数为y=g（x），则g（10）等于 A.2 B.－2 C.3 D.－1 解析：g（10）的值即为10=1+3－x中x的值3－x=32，∴x=－2. 答案：B （理）（xx年全国Ⅳ，理2）函数y=e2x（x∈R）的反函数为 A.y=2lnx（x＞0） B.y=ln（2x）（x＞0） C.y=lnx（x＞0） D.y=ln（2x）（x＞0） 解析：y=e2x2x=lnyx=lny，x、y互换y=lnx（x＞0）. 答案：C 3.（xx年北京，5）函数y=x2－2ax－3在区间［1，2］上存在反函数的充要条件是 A.a∈（－∞，1］ B.a∈［2，+∞） C.a∈［1，2］ D.a∈（－∞，1］∪［2，+∞） 解析：存在反函数的充要条件是函数在［1，2］上是单调函数.∴a≤1或a≥2. 答案：D 4.（xx年福建，7）已知函数y=log2x的反函数是y=f－1（x），则函数y=f－1（1－x）的图象是 解析：y=log2xx=2yf－1（x）=2xf－1（1－x）=21－x. 答案：C 5.若点（2，）既在函数y＝2ax＋b的图象上，又在它的反函数的图象上，则a=___________，b=___________. 解析：∵点（2，）在函数y＝2ax＋b的反函数的图象上，根据反函数与原函数的对称关系，∴点（，2）在函数y＝2ax＋b的图象上. 把点（2，）与（，2）分别代入函数y＝2ax＋b可得. 答案：－ 6.（xx年全国Ⅲ，15）已知函数y=f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x）=3x－1，设f（x）的反函数是y=g（x），则g（－8）=______________. 解析：当x＞0时，－x＜0，f（－x）=3－x－1.又∵f（x）是奇函数，∴f（－x）=－f（x），即－f（x）=3－x－1.∴f（x）=1－3－x. ∴f（x）= ∴f－1（x）= ∴f－1（－8）=g（－8）=－log3（1+8）=－log332=－2. 答案：－2 培养能力 7.已知函数f（x）=的图象关于直线y=x对称，求实数m. 解：∵f（x）的图象关于直线y=x对称，又点（5，0）在f（x）的图象上，∴点（0，5）也在f（x）的图象上，即－=5，得m=－1. 8.已知函数f（x）=a+bx－1（b＞0，b≠1）的图象经过点（1，3），函数f－1（x+a）（a＞0）的图象经过点（4，2），试求函数f－1（x）的表达式. 解：∵函数f（x）=a+bx－1（b＞0，b≠1）的图象经过点（1，3），∴a+b0=3，a=3－b0= 3－1=2.又函数f－1（x+a）（a＞0）的图象经过点（4，2），∴f－1（4+a）=2. ∴f（2）=4+a=4+2=6，即2+b2－1=6.∴b=4. 故f（x）=2+4x－1.再求其反函数即得f－1（x）=log4（x－2）+1（x＞2）. 9.已知函数f（x）=2（－）（a＞0，且a≠1）. （1）求函数y=f（x）的反函数y=f－1（x）； （2）判定f－1（x）的奇偶性； （3）解不等式f－1（x）＞1. 解：（1）化简，得f（x）=.设y=，则ax=.∴x=loga. ∴所求反函数为y=f－1（x）=loga（－1＜x＜1）. （2）∵f－1（－x）=loga=loga（）－1=－loga=－f－1（x）， ∴f－1（x）是奇函数. （3）loga＞1. 当a＞1时，原不等式＞a＜0.∴＜x＜1. 当0＜a＜1时，原不等式解得∴－1＜x＜. 综上，当a＞1时，所求不等式的解集为（，1）； 当0＜a＜1时，所求不等式的解集为（－1，）. 探究创新 10.已知函数f（x）=（）2（x＞1）. （1）求f（x）的反函数f－1（x）； （2）判定f－1（x）在其定义域内的单调性； （3）若不等式（1－）f－1（x）＞a（a－）对x∈［，］恒成立，求实数a的取值范围. 解：（1）由y=（）2，得x=. 又y=（1－）2，且x＞1，∴0＜y＜1.∴f－1（x）=（0＜x＜1）. （2）设0＜x1＜x2＜1，则－＜0，1－＞0，1－＞0. ∴f－1（x1）－f－1（x2）=＜0，即f－1（x1）＜f－1（x2）. ∴f－1（x）在（0，1）上是增函数. （3）由题设有（1－）＞a（a－）. ∴1+＞a2－a，即（1+a）+1－a2＞0对x∈［，］恒成立.显然a≠－1.令t=，∵x∈［，］，∴t∈［，］. 则g（t）=（1+a）t+1－a2＞0对t∈［，］恒成立. 由于g（t）=（1+a）t+1－a2是关于t的一次函数，∴g（）＞0且g（）＞0，即解得－1＜a＜. 评述：本题（3）巧用换元法，通过构造一次函数，借助函数图象求解. ●思悟小结 1.反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域，因此反函数的定义域不能由其解析式确定，而应当是原函数的值域. 2.互为反函数的两个函数具有相同的增减性，它们的图象关于直线y＝x对称. 3.求y＝f（x）的反函数的一般步骤： （1）确定原函数的值域，也就是反函数的定义域； （2）由y＝f（x）的解析式求出x＝f－1（y）； （3）将x、y对换，得反函数的习惯表达式y＝f－1（x）. 4.分段函数的反函数，应分别求出各段的反函数，再合成. ●教师下载中心 教学点睛 由于本节中的反函数的定义既是重点又是难点，因此复习本节时，针对反函数的定义，教师应渗透如下知识： （1）函数的反函数，本身也是一个函数，由反函数的定义，原来函数也是反函数的反函数. （2）反函数的定义域、值域分别是原来函数的值域与定义域. （3）由反函数定义知：①b=f（a）a=f－1（b），这两个式子是a、b之间关系的两种不同表示形式. ②f［f－1（x）］=x（x∈C）. ③f－1［f（x）］=x（x∈A）. 拓展题例 【例1】 （xx年上海，10）若函数y=f（x）的图象可由y=lg（x+1）的图象绕坐标原点O逆时针旋转得到，则f（x）等于 A.10－x－1 B.10x－1 C.1－10－x D.1－10x 解析：所求函数与y=lg（x+1）的反函数的图象关于y轴对称. 答案：A 【例2】 若函数y＝（x≠－，x∈R）的图象关于直线y＝x对称，求a的值. 解法一：由y＝，解得x＝.故函数y＝的反函数为y＝. ∵函数y＝的图象关于直线y＝x对称， ∴函数y＝与它的反函数y＝相同.由＝恒成立，得a＝1. 解法二：∵点（0，1）在函数y＝的图象上，且图象关于直线y=x对称， ∴点（0，1）关于直线y＝x的对称点（1，0）也在原函数图象上，代入得a＝1. 【例3】 函数y=（x∈（－1，+∞））的图象与其反函数图象的交点坐标为___________________. 答案：（0，0），（1，1）