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2019-2020年高考数学一轮复习第三章导数及其应用课时跟踪检测16理新人教A版
1．[xx陕西西安调研]定积分(2x＋ex)dx的值为( )
A．e＋2 B．e＋1
C．e D．e－1
答案：C
解析：(2x＋ex)dx＝(x2＋ex)＝1＋e1－1＝e.故选C.
2．直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )
A．2 B．4
C．2 D．4
答案：D
解析：如图，y＝4x与y＝x3的交点A(2,8)，图中阴影部分即为所求图形面积．
S阴＝(4x－x3)dx＝＝8－24＝4，故选D.
3．从空中自由下落的一物体，在第一秒末恰经过电视塔顶，在第二秒末物体落地，已知自由落体的运动速度为v＝gt(g为常数)，则电视塔高为( )
A.g B．g
C．g D．2g
答案：C
解析：电视塔高h＝gtdt＝＝g.
4．已知f(x)＝ 若f(x)dx＝，则k的值为( )
A．0 B．0或－1
C．0或1 D．－1
答案：B
解析：∵f(x)dx＝(1＋x2)dx＝＜，∴当k≥2时，f(x)dx＜，∴k＜2，∴f(x)dx＝(2x＋1)dx＋(x2＋1)dx＝，化简得k2＋k＝0，解得k＝0或k＝－1.
5．若f(x)＝f(f(1))＝1，则a的值为( )
A．1 B．2
C．－1 D．－2
答案：A
解析：因为f(1)＝lg 1＝0，f(0)＝3t2dt＝t3＝a3，由f(f(1))＝1，得a3＝1，a＝1.
6．若S1＝x2dx，S2＝dx，S3＝exdx，则S1，S2，S3的大小关系为( )
A．S1
0，若曲线y＝与直线x＝a，y＝0所围成封闭图形的面积为a2，则a＝________.
答案：
解析：封闭图形如图阴影部分所示．
则dx＝x＝a－0＝a2，解得a＝.
10．汽车以v＝3t＋2(单位：m/s)作变速直线运动时，在第1 s至第2 s间的1 s内经过的路程是________m.
答案：6.5
解析：由题意，得s＝(3t＋2)dt＝＝4＋4－＝10－＝(m)．
11．函数f(x)＝的图象与直线x＝1及x轴所围成的封闭图形的面积为________．
答案：e－
解析：由题意知，所求面积为－1(x＋1)dx＋exdx＝ ＋ex＝－＋(e－1)＝e－.
12．如图所示，由抛物线y＝－x2＋4x－3及其在点A(0，－3)和点B(3,0)处的切线所围成的图形的面积为________．
答案：
解析：由题意，知抛物线y＝－x2＋4x－3在点A处的切线斜率是k1＝y′|x＝0＝4，在点B处的切线斜率是k2＝y′|x＝3＝－2.因此，抛物线过点A的切线方程为y＝4x－3，过点B的切线方程为y＝－2x＋6.
设两切线相交于点M，由
消去y，得x＝，即点M的横坐标为.
在区间上，直线y＝4x－3在曲线y＝－x2＋4x－3的上方；在区间上，直线y＝－2x＋6在曲线y＝－x2＋4x－3的上方．
因此，所求的图形的面积是
S＝ [(4x－3)－(－x2＋4x－3)]dx＋
[(－2x＋6)－(－x2＋4x－3)]dx
＝x2dx＋ (x2－6x＋9)dx
＝＋＝.
[冲刺名校能力提升练]
1．若f(x)＝x2＋2f(x)dx，则f(x)dx＝( )
A．－1 B．－
C． D．1
答案：B
解析：由题意知f(x)＝x2＋2f(x)dx，
设m＝f(x)dx，∴f(x)＝x2＋2m，
f(x)dx＝(x2＋2m)dx＝＝＋2m＝m，∴m＝－.
2．已知函数f(x)＝sin (x－φ)，且f(x)dx＝0，则函数f(x)的图象的一条对称轴是( )
A．x＝ B．x＝
C．x＝ D．x＝
答案：A
解析：由f(x)dx＝0，得sin(x－φ)dx＝0，
即－cos (x－φ)＝0，∴－cos＋cos φ＝0，
∴cos φ－sin φ＝0，∴cos＝0，
∴φ＋＝＋kπ(k∈Z)，解得φ＝kπ＋(k∈Z)，
∴f(x)＝sin ，由x－kπ－＝k′π＋，得x＝(k＋k′)π＋(k，k′∈Z)，故选A.
3．若函数f(x)，g(x)满足f(x)g(x)dx＝0，则称f(x)，g(x)为区间[－1,1]上的一组正交函数．给出三组函数：
①f(x)＝sin x，g(x)＝cos x；②f(x)＝x＋1，g(x)＝x－1；③f(x)＝x，g(x)＝x2.
其中为区间[－1,1]上的正交函数的组数是________．(填序号)
答案：①③
解析：①中f(x)g(x)dx＝dx
＝dx＝0；
②中f(x)g(x)dx＝－1(x＋1)(x－1)dx＝ (x2－1)dx＝＝－≠0；
③中f(x)g(x)＝x3为奇函数，在[－1,1]上的积分为0，故①③满足条件．
4.在区间[0,1]上给定曲线y＝x2.试在此区间内确定点t的值，使图中的阴影部分的面积S1与S2之和最小，并求最小值．
解：S1的面积等于边长分别为t与t2的矩形面积去掉曲线y＝x2与x轴、直线x＝t所围成的面积，即S1＝tt2－x2dx＝t3.
S2的面积等于曲线y＝x2与x轴，x＝t，x＝1围成的面积去掉矩形边长分别为t2,1－t面积，即S2＝x2dx－t2(1－t)＝t3－t2＋.所以阴影部分的面积S(t)＝S1＋S2＝t3－t2＋(0≤t≤1)．令S′(t)＝4t2－2t＝4t＝0，得t＝0或t＝.当t＝0时，S(t)＝；当t＝时，S(t)＝；当t＝1时，S(t)＝.所以当t＝时，S(t)最小，且最小值为.
5．已知函数f(x)＝x3－x2＋x＋1，求其在点(1,2)处的切线与函数g(x)＝x2围成的图形的面积．
解：∵(1,2)为曲线f(x)＝x3－x2＋x＋1上的点，
设过点(1,2)处的切线的斜率为k，
则k＝f′(1)＝(3x2－2x＋1)x＝1＝2，
∴过点(1,2)处的切线方程为y－2＝2(x－1)，即y＝2x.y＝2x与函数g(x)＝x2围成的图形如图．
由可得交点A(2,4)．
∴y＝2x与函数g(x)＝x2围成的图形的面积
S＝(2x－x2)dx＝＝4－＝.
2019-2020年高考数学一轮复习第三章导数及其应用课时跟踪检测16理新人教A版.doc
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