2019-2020年高考数学 常见题型解法归纳反馈训练 第81讲 圆锥曲线常见题型解法.doc

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2019-2020年高考数学 常见题型解法归纳反馈训练 第81讲 圆锥曲线常见题型解法 【知识要点】 圆锥曲线常见的题型有求圆锥曲线的方程、几何性质、最值、范围、直线与圆锥曲线的关系、圆锥曲线与圆锥曲线的关系、轨迹方程、定点定值问题等. 【方法讲评】 题型一 求圆锥曲线的方程 解题方法 一般利用待定系数法解答. 【例1】已知椭圆（）的左、右焦点为，点在椭圆上，且与轴垂直． （1）求椭圆的方程； （2）过作直线与椭圆交于另外一点，求面积的最大值． 综上所求：当斜率不存在或斜率存在时：面积取最大值为． 【点评】（1）求圆锥曲线的方程，一般利用待定系数法，先定位，后定量.（2）本题用到了椭圆双曲线的通径公式，这个公式很重要，大家要记熟. 【反馈检测1】已知椭圆：（）的离心率为，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为． （1）求椭圆的方程； （2）设直线与椭圆交于、两点，且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求△面积的最大值． 题型二 圆锥曲线的几何性质 解题方法 利用圆锥曲线的几何性质解答. 【例2】已知椭圆的左顶点和上顶点分别为，左、右焦点分别是，在线段上有且只有一个点满足，则椭圆的离心率的平方为（ ） A． B． C． D． 【点评】求值一般利用方程的思想解答，所以本题的关键就是找到关于的方程. 【反馈检测2】已知双曲线（）的左、右焦点分别为以为直径的圆被直线截得的弦长为，则双曲线的离心率为（ ） A．3 B．2 C． D． 题型三 圆锥曲线的最值问题 解题方法 一般利用数形结合和函数的方法解答. 【例3】已知椭圆上任意一点到两焦点距离之和为，离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线的斜率为，直线与椭圆C交于两点．点为椭圆上一点，求的面积的最大值． 【解析】（1）由条件得：，解得，所以椭圆的方程为 ∴， 当且仅当，即时取得最大值． ∴面积的最大值为2． 【点评】圆锥曲线的最值问题一般利用函数和数形结合解答. 【反馈检测3】在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于不同的两点. （Ⅰ）如果直线过抛物线的焦点，求的值； （Ⅱ）在此抛物线上求一点，使得到的距离最小，并求最小值. 题型四 圆锥曲线的范围问题 解题方法 一般利用函数、基本不等式、数形结合等解答. 【例4】已知椭圆的中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，焦点在轴上，有一个顶点为，． （1）求椭圆的方程； （2）过点作直线与椭圆交于两点，线段的中点为,求直线的斜率的取值范围. （1）当直线与轴垂直时，点的坐标为，此时，； （2）当直线的斜率存在且不为零时，设直线方程为, 由方程组 消去， 并整理得， 设,, 又有，则 ∴ ∴ ， ∴， ， ， . 且 ． 综合(1)、(2)可知直线的斜率的取值范围是：． 【点评】利用基本不等式求函数的最值时，要注意创设情景，保证一正二定三相等. 【反馈检测4】设椭圆中心在原点，焦点在轴上，短轴长为4，点（2，）在椭圆上. （1）求椭圆的方程； （2）设动直线交椭圆于两点，且，求的面积的取值范围. （3）过（）的直线:与过（）的直线:的交点（）在椭圆上，直线与椭圆的两准线分别交于两点，求的值. 题型五 直线与圆锥曲线的关系问题 解题方法 一般利用判别式、韦达定理、弦长公式、点差法等解答. 【例5】已知双曲线，经过点能否作一条直线，使与双曲线交于、，且点是线段的中点.若存在这样的直线，求出它的方程，若不存在，说明理由. 这说明直线与双曲线不相交，故被点平分的弦不存在，即不存在这样的直线. 【点评】（1）这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线 ，然后验证它是否满足题设的 条件.本题属于中点弦问题，应考虑点差法或韦达定理.（2）本题如果忽视对判别式的考察，将得出错误的结果，请务必小心.由此题可看到中点弦问题中判断点的位置非常重要.（1）若中点在圆锥曲线内，则被点平分的弦一般存在；（2）若中点在圆锥曲线外，则被点平分的弦可能不存在. 【反馈检测5】过点(-1,0)作直线与曲线 ：交于两点，在轴上是否存在一点(,0)，使得是等边三角形，若存在，求出；若不存在，请说明理由. 题型六 圆锥曲线与圆锥曲线的关系问题 解题方法 一般利用判别式和数形结合解答. 【例6】已知曲线及有公共点,求实数的取值范围． 【点评】直线与圆锥曲线相交问题，一般可用两个方程联立后，用来处理．但用来判断双圆锥曲线相交问题是不可靠的．解决这类问题：方法1，由“”与直观图形相结合；方法2，由“”与根与系数关系相结合. 【反馈检测6】设椭圆，抛物线. (1)若经过的两个焦点，求的离心率； (2)设，,又为与不在轴上的两个交点，若的垂心为，且的重心在上，求椭圆和抛物线的方程. 题型七 圆锥曲线的定点和定值问题 解题方法 过定点的问题，一般先求曲线的方程，再证明曲线过定点；定值的问题，就是求值问题，直接求解就可以了. 【例7】在直角坐标系中，点到点的距离之和是4，点的轨迹是与轴的负半轴交于点，不过点的直线与轨迹交于不同的两点和. （I）求轨迹的方程； （II）当时，求与的关系，并证明直线过定点. （2）将，代入曲线C的方程，整理得 因为直线与曲线C交于不同的两点和， 所以① 设，则 ② 且③ 显然，曲线与轴的负半轴交于点（-2，0），所以 由 将②、③代入上式，整理得 所以 即经检验，都符合条件① 【点评】证明曲线过定点，一般先求曲线的方程，再证明它过定点. 【反馈检测7】已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为，最小值为． （Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）若直线与椭圆相交于，两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标． 题型八 轨迹问题 解题方法 一般利用直接法、待定系数法、代入法、消参法解答. 【例8】 已知抛物线和点，为抛物线上一点，点在线段上且，当点在该抛物线上移动时，求点的轨迹方程． 【点评】点之所以在动，就是因为点在动，所以点是被动点，点是主动点，这种情景，应该利用代入法求轨迹方程. 【反馈检测8】 已知的顶点，顶点在抛物线上运动，求的重心的轨迹方程． 题型九 存在性问题 解题方法 一般先假设存在，再探求，最后检验. 【例9】已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆的离心率为，且经过点，过点的直 线与椭圆在第一象限相切于点 . （1）求椭圆的方程；（2）求直线的方程以及点的坐标； （3））是否存过点的直线与椭圆相交于不同的两点，满足？若存在，求出 直线的方程；若不存在，请说明理由. 因为直线与椭圆相切，所以 整理，得 解得 所以直线方程为 将代入①式，可以解得点横坐标为1，故切点坐标为 （Ⅲ）若存在直线满足条件，的方程为，代入椭圆的方程得 因为直线与椭圆相交于不同的两点，设两点的坐标分别为 所以 所以. 又， 因为即， 所以. 即 【点评】存在性问题，一把先假设存在，再探究，最后检验. 【反馈检测9】在平面直角坐标系中，已知抛物线：，在此抛物线上一点到焦点的距离是3. （1）求此抛物线的方程；（2）抛物线的准线与轴交于点，过点斜率为的直线与抛物线交于、两点．是否存在这样的，使得抛物线上总存在点满足，若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由． 高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第81讲： 圆锥曲线常见题型解法参考答案 【反馈检测1答案】（1）；（2）. （2）不妨设的方程（）,则的方程为． 由得， 设， ∵，∴， 同理可得．∴，， ， 设，则，当且仅当时等号成立， ∴△面积的最大值为． 【反馈检测2答案】 【反馈检测2详细解析】由已知可得圆心到直线的距离 ，故选. 【反馈检测3答案】（Ⅰ）-3；（Ⅱ）4. 【反馈检测4答案】（1）；（2）；（3）－8. 【反馈检测4详细解析】（1）因为椭圆: （过（2，） ， 故可求得＝2，＝2 椭圆的方程为 （2）设，当直线斜率存在时设方程为， 解方程组得，即， 则△＝， 即（*） ， 要使，需使，即， 所以， 即 ① 将它代入（*）式可得 到的距离为 将及韦达定理代入可得 （3）点P（）在直线:和：上， ， 故点（）（）在直线上 故直线的方程，上 设分别是直线与椭圆准线，的交点 由和得（－4，） 由和得（4，） 故＝－16＋ 又（）在椭圆：,有故. ＝－16＋＝－8 【反馈检测5答案】 令,得，则 为正三角形， 到直线AB的距离d为. 解得满足②式,此时. 【反馈检测6答案】（1）；（2）椭圆方程为，抛物线方程为. 【反馈检测6详细解析】（1）由已知椭圆焦点在抛物线上，可得：，由 . (2) 【反馈检测7答案】（1）；（2）直线过定点，定点坐标为． 【反馈检测7详细解析】（Ⅰ）由题意设椭圆的标准方程为， 由已知得：，，，，． 椭圆的标准方程为． 因为以为直径的圆过椭圆的右焦点，，即， ，， ． 解得：，，且均满足， 当时，的方程为，直线过定点，与已知矛盾； 当时，的方程为，直线过定点． 所以，直线过定点，定点坐标为． 【反馈检测8答案】 【反馈检测8详细解析】设，，由重心公式，得 又在抛物线上，． ③ 将①，②代入③，得， 即所求曲线方程是． 【反馈检测9答案】（1）；（2）存在这样的，且的取值范围为. 【反馈检测9详细解析】（1）抛物线准线方程是， ， , 故抛物线的方程是.