2019-2020年高考数学二轮复习 第一部分 微专题强化练 专题20 概率（含解析）.doc

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2019-2020年高考数学二轮复习 第一部分 微专题强化练 专题20 概率（含解析） 一、选择题 1．(文)(xx广东文，7)已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有1件次品的概率为(　　) A．0.4 B．0.6 C．0.8 D．1 [答案]　B [解析]　5件产品中有2件次品，记为a，b，有3件合格品，记为c，d，e，从这5件产品中任取2件，有10种，分别是(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)，恰有一件次品，有6种，分别是(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，设事件A＝“恰有一件次品”，则P(A)＝＝0.6，故选B． (理)(xx太原市一模)某袋中有编号为1,2,3,4,5,6的6个小球(小球除编号外完全相同)，甲先从袋中抽取一个球，记下编号后放回，乙再从袋中摸出一个球，记下编号，则甲、乙两人所摸出球的编号不同的概率是(　　) A． B． C． D． [答案]　C [解析]　记甲、乙各摸一次得的编号为(x，y)，则共有36个不同的结果，其中甲、乙摸出球的编号相同的结果有6个，故所求概率P＝1－＝. [方法点拨]　1.用古典概型概率计算公式P＝求概率，必须先判断事件的等可能性． 2．当某事件含有的基本事件情况比较复杂，分类较多时，可考虑用对立事件概率公式求解． 3．要熟练掌握列举基本事件的方法，当古典概型与其他知识结合在一起考查时，要先依据其他知识点的要求求出所有可能的事件及基本事件数，再计算． 2．(文)若不等式组表示的平面区域为M，x2＋y2≤1所表示的平面区域为N，现随机向区域M内抛一粒豆子，则豆子落在区域N内的概率为(　　) A．　　 B．　　 C．　　 D． [答案]　A [解析]　如图，不等式组表示的平面区域M为△OAB，A(1，－1)，B(3,3)，S△OAB＝3， 区域N在M中的部分面积为，∴所求概率P＝＝. (理)如图，在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为(　　) A． B． C． D． [答案]　A [解析]　∵S阴＝2(e－ex)dx＝2(ex－ex)|＝2， S正方形＝e2，∴P＝. [方法点拨]　1.当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解； 2．利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的测度的计算，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域． 3．几何概型与其他知识结合命题，应先依据所给条件转化为几何概型，求出区域的几何测度，再代入公式求解． 3．(文)在长为10cm的线段AB上任取一点C，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC、CB的长，则该矩形面积小于24cm2的概率为(　　) A．　　　 B．　　　 C．　　　 D． [答案]　D [解析]　设线段AC的长为xcm，其中06.又0 b，b < c时称为“凹数”(如213,312等)，若a、b、c∈{1,2,3,4}且a、b、c互不相同，则这个三位数是“凹数”的概率是(　　) A． B． C． D． [答案]　C [解析]　解法1：任取3个数，共能构成24个三位数，A＝“该数为凹数”，则A＝{213,214,312,314,412,412,324,423}共包括8个基本事件， ∴P(A)＝＝. 解法2：从4个不同数中任取3个，这3个数字共组成6个不同三位数，其中凹数有2个，∴P＝＝. 7．有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下： [10.5,14.5)　　2　　[14.5,18.5)　　4 [18.5,22.5)　　9　　[22.5,26.5)　　18 [26.5,30.5)　　11　 [30.5,34.5)　　12 [34.5,38.5)　　8　　[38.5,42.5)　　2 根据样本的频率分布估计，数据落在[30.5,42.5)内的概率约是(　　) A． B． C． D． [答案]　B [解析]　由已知可得，[30.5,42.5)的数据共有22个，所以数据落在[30.5,42.5)内的概率约是＝，选B． 8．(文)(xx陕西理，6)从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为(　　) A．　　　 B．　　　 C．　　　 D． [答案]　C [解析]　如图，基本事件共有C＝10个，小于正方形边长的事件有OA，OB，OC，OD共4个， ∴P＝1－＝. (理)从－＝1(m、n∈{－1,2,3})所表示的圆锥曲线(椭圆、双曲线)方程中任取一个，则此方程是焦点在x轴上的双曲线方程的概率为(　　) A． B． C． D． [答案]　B [解析]　当m，n∈{－1,2,3}时，－＝1所表示的圆锥曲线(椭圆、双曲线)共有7个，(m，n)的取值分别为(－1，－1)，(2,2)，(3,3)，(2,3)，(3,2)，(2，－1)，(3，－1)，其中表示焦点在x轴上的双曲线方程有4个，(m，n)的取值分别为(3,2)，(3,3)，(2,2)，(2,3)，故所求的概率为，选B． 二、填空题 9．(文)在三棱锥的六条棱中任选两条，则这两条棱所在直线为异面直线的概率是________． [答案]　 [解析]　从六条棱中任选两条有15种可能，其中构成异面直线的有3种情况，故所求概率为P＝＝. (理)从正方体六个面的对角线中任取两条，这两条直线成60角的概率为________． [答案]　 [解析]　六个面的对角线共有12条，从中任取两条共有C＝66种不同的取法． 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与面对角线AC成60角的面对角线有B1C，BC1，A1D，AD1，AB1，A1B，DC1，D1C，共8条，同理与DB成60角的面对角线也有8条，因此一个面上的对角线与其他四个相邻面上的对角线成60角的情形共有16对，故6个面共有166＝96对，因为每对被计算了2次，因此共有96＝48对，∴所求概率P＝＝. [方法点拨]　解答概率与其他知识交汇的问题，要通过审题，将所要解决的问题转化为相应的概率模型，然后按相应公式计算概率，转化时要特别注意保持等价． 10．(文)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是________． [答案]　 [解析]　考查了几何概型． 总面积21＝2. 半圆面积π12＝.∴p＝＝. (理)(xx呼和浩特第二次调研)在区间(0，)上任取一个数x，使得tanx<∫0cosxdx成立的概率是________． [答案]　 [解析]　求出定积分后结合三角函数的图象解不等式．因为∫0cosxdx＝sinx|0＝1，所以原不等式即为tanx<1，x∈(0，)，解得00且≤1，即2b≤a. 基本事件共有36个； 所求事件包含基本事件：(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，(4,2)，(5,2)，(6,2)，(6,3)． 所求事件包含基本事件的个数是9 ∴所求事件的概率为P＝＝. (2)由(1)知当且仅当2b≤ a且a>0时，函数f(x)＝ax2－4bx＋1在区间[1，＋∞)上为增函数． 依条件可知试验的全部结果所构成的区域为，表示的三角形OAB，其中，O(0,0)，A(8,0)，B(0,8)，构成所求事件的区域为三角形OAC部分． 由得交点C坐标为. 故所求事件的概率为P＝＝. 13．(文)(xx石家庄市一模)某商店计划每天购进某商品若干件，商店每销售一件该商品可获利润50元．若供大于求，剩余商品全部退回，但每件商品亏损10元，若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获利润30元． (1)若商店一天购进该商品10件，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：件，n∈N)的函数解析式； (2)商店记录了50天该商品的日需求量n(单位：件)，整理得下表： 日需求量 8 9 10 11 12 频数 9 11 15 10 5 若商店一天购进10件该商品，以50天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润在区间[400,500]的概率． [解析]　(1)当日需求量n≥10时， 利润为y＝5010＋(n－10)30＝30n＋200； 当日需求量n<10时，利润为y＝50n－(10－n)10＝60n－100 所以，y关于日需求量n函数关系式为： y＝. (2)50天内有9天获得的利润380元，有11天获得的利润为440元，有15天获得利润为500元，有10天获得的利润为530元，有5天获得的利润为560元． 若利润在区间[400,550]时，日需求量为9件、10件、11件该商品，其对应的频数分别为11天、15天、10天． 则利润区间[400,550]的概率为： p＝＝. (理)(xx东北三省四市联考)太阳岛公园引进了两种植物品种甲与乙，株数分别为18与12，这30株植物的株高编写成茎叶图如图所示(单位：cm)， 甲 乙 9　8　6　6　5 16 2 9　7　6　5　4　2 17 3　7 7　7　4　3　2 18 1　5　7　8 2　0 19 1　5　7 20 1　7 若这两种植物株高在185cm以上(包括185cm)定义为“优秀品种”，株高在185cm以下(不包括185cm)定义为“非优秀品种”． (1)求乙品种的中位数； (2)在以上30株植物中，如果用分层抽样的方法从“优秀品种”和“非优秀品种”中抽取5株，再从这5株中选2株，那么至少有一株是“优秀品种”的概率是多少？ (3)若从所有“优秀品种”中选3株，用X表示3株中含甲类“优秀品种”的株数，试写出X的分布列，并求X的数学期望． [解析]　(1)乙的中间有两个数187和188，因此乙的中位数为187.5cm. (2)根据茎叶图知“优秀品种”有12株，“非优秀品种”有18株， 用分层抽样的方法抽取，每株被抽中的概率是＝， 故样本中“优秀品种”有12＝2(株)， “非优秀品种”有18＝3(株)． 用事件A表示“至少有一株‘优秀品种’被选中”， 则P(A)＝1－＝1－＝， 因此从5株植物中选2株，至少有一株“优秀品种”的概率是. (3)依题意，一共有12株“优秀品种”，其中乙种植物有8株，甲种植物有4株，则X的所有可能取值为0,1,2,3， P(X＝0)＝＝； P(X＝1)＝＝； P(X＝2)＝＝； P(X＝3)＝＝. 因此X的分布列如下： X 0 1 2 3 P 所以E(X)＝0＋1＋2＋3＝1. 14．(文)某高中社团进行社会实践，对[25,55]岁的人群随机抽取n人进行了一次是否开通“微博”的调查，若开通“微博”的称为“时尚族”，否则称为“非时尚族”．通过调查分别得到如图1所示统计表和如图2所示的各年龄段人数频率分布直方图. 组数 分组 时尚族的人数 占本组的频率 第一组 [25,30) 120 0.6 第二组 [30,35) 195 p 第三组 [35,40) 100 0.5 第四组 [40,45) a 0.4 第五组 [45,50) 30 0.3 第六组 [50,55] 15 0.3 请完成以下问题： (1)补全频率直方图，并求n，a，p的值； (2)从[40,45)岁和[45,50)岁年龄段的“时尚族”中采用分层抽样法抽取6人参加网络时尚达人大赛，其中选取2人作为领队，求选取的2名领队年龄在[40,45)岁的概率． [解析]　(1)第二组的频率为1－(0.04＋0.04＋0.03＋0.02＋0.01)5＝0.3， 所以高为＝0.06.频率直方图如下： 第一组的人数为＝200，频率为0.045＝0.2， 所以n＝＝1000， 所以第二组的人数为10000.3＝300，p＝＝0.65， 第四组的频率为0.035＝0.15，第四组的人数为10000.15＝150， 所以a＝1500.4＝60. (2)因为[40,45)岁与[45,50)岁年龄段的“时尚族”的比值为6030＝21， 所以采用分层抽样法抽取6人，[40,45)岁中有4人，[45,50)岁中有2人． 记a1、a2、a3、a4为[40,45)岁中抽得的4人，b1、b2为[45,50)岁中抽得的2人，全部可能的结果有： (a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，b1)，(a1，b2)， (a2，a3)，(a2，a4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，a4)， (a3，b1)，(a3，b2)，(a4，b1)，(a4，b2)，(b1，b2)，共15个， 选取的两名领队都在[40,45)岁的有6种， 所以所求概率为P＝＝. (理)(xx湖北七市联考)小明家订了一份报纸，寒假期间他收集了每天报纸送达时间的数据，并绘制成频率分布直方图如图所示． (1)根据图中的数据信息，写出众数x0； (2)小明的父亲上班离家的时间y在上午700至730之间，而送报人每天在x0时刻前后半小时内把报纸送达(每个时间点送达的可能性相等)． ①求小明的父亲在上班离家前能收到报纸(称为事件A)的概率； ②求小明的父亲周一至周五在上班离家前能收到报纸的天数X的数学期望． [解析]　(1)x0＝700. (2)①设报纸送达时间为x，则小明父亲上班前能收到报纸等价于 由图可知，所求概率为P＝1－＝. ②X服从二项分布B(5，)，故E(X)＝5＝(天)．