2019-2020年高三数学上学期第一次月考试卷 文（含解析）.doc

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2019-2020年高三数学上学期第一次月考试卷 文（含解析） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5分）已知集合A={0，1，2，3}，集合B={x∈N||x|≤2}，则A∩B=（） A． {3} B． {0，1，2} C． {1，2} D． {0，1，2，3} 2．（5分）设复数z1=1+i，z2=2+xi（x∈R），若z1•z2∈R，则x=（） A． ﹣2- B． ﹣1- C． 1 D． 2 3．（5分）已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的为（） A． 若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β B． 若m∥α，m∥β，则α∥β C． 若m∥α，n∥α，则m∥n D． 若m⊥α，n⊥α，则m∥n 4．（5分）已知向量=（2，﹣3），=（x，6），且，则|+|的值为（） A． B． C． 5 D． 13 5．（5分）等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a5=8，S3=6，则a9=（） A． 8 B． 12 C． 16 D． 24 6．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的y=（） A． B． 1 C． ﹣1 D． 2 7．（5分）将函数y=cos（﹣2x）的图象向右平移个单位后所得的图象的一个对称轴是（） A． x= B． x= C． x= D． x= 8．（5分）函数f（x）=（x﹣1）cosx2在区间[0，4]上的零点个数是（） A． 4 B． 5 C． 6 D． 7 9．（5分）已知直线l：x+my+4=0，若曲线x2+y2+2x﹣6y+1=0上存在两点P、Q关于直线l对称，则m的值为（） A． 2 B． ﹣2 C． 1 D． ﹣1 10．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（1）=0，当x＞0时，有＞0成立，则不等式f（x）＞0的解集是（） A． （﹣1，0）∪（1，+∞） B． （﹣1，0） C． （1，+∞） D． （﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） 二、填空题：本大题共5题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分．（一）必做题（11～13题） 11．（5分）函数y=的定义域为． 12．（5分）一个几何体的三视图如图1，则该几何体的体积为． 13．（5分）设双曲线的离心率为2，且一个焦点与抛物线x2=8y的焦点相同，则此双曲线的方程为． 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（12分）已知函数． （Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和值域； （Ⅱ）若，求sin2α的值． 17．（13分）某中学xx高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83． （1）求x和y的值； （2）计算甲班7位学生成绩的方差s2； （3）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班至少有一名学生的概率． 18．（13分）如图甲，在平面四边形ABCD中，已知∠A=45，∠C=90，∠ADC=105，AB=BD，现将四边形ABCD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BDC（如图乙），设点E、F分别为棱AC、AD的中点． （1）求证：DC⊥平面ABC； （2）设CD=a，求三棱锥A﹣BFE的体积． 19．（14分）各项均不相等的等差数列{an}的前四项的和为S4=14，且a1，a3，a7成等比数列． （1）求数列{an}的通项公式an与前n项和Sn； （2）记Tn为数列{}的前n项和，若Tn≤λan+1对任意的正整数n都成立，求实数λ的最小值． 20．（14分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的上顶点为P（0，1），过E的焦点且垂直长轴的弦长为1．若有一菱形ABCD的顶点A、C在椭圆E上，该菱形对角线BD所在直线的斜率为﹣1． （1）求椭圆E的方程； （2）当直线BD过点（1，0）时，求直线AC的方程； （3）当∠ABC=时，求菱形ABCD面积的最大值． 21．（14分）已知函数f（x）=a（x﹣）﹣2lnx，a∈R． （1）若a=1，判断函数f（x）是否存在极值，若存在，求出极值；若不存在，说明理由； （2）求函数f（x）的单调区间； （3）设函数g（x）=﹣．若至少存在一个x0∈[1，e]，使得f（x0）＞g（x0）成立，求实数a的取值范围． （二）、选做题：14、15题，考生只能从中选做一题 14．（5分）如图，CD是圆O的切线，切点为C，点B在圆O上，BC=2，∠BCD=60，则圆O的面积为． 选做题（正四棱锥与球体积选做题） 15．棱长为1的正方体的外接球的体积为． 广东省深圳市五校联考xx高三上学期第一次月考数学试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5分）已知集合A={0，1，2，3}，集合B={x∈N||x|≤2}，则A∩B=（） A． {3} B． {0，1，2} C． {1，2} D． {0，1，2，3} 考点： 交集及其运算． 专题： 集合． 分析： 求出B中不等式的解集，找出解集中的自然数解确定出B，求出A与B的交集即可． 解答： 解：由B中的不等式解得：﹣2≤x≤2，即B={x|﹣2≤x≤2，x∈N}={0，1，2}， ∵A={0，1，2，3}， ∴A∩B={0，1，2}， 故选：B． 点评： 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义解本题的关键． 2．（5分）设复数z1=1+i，z2=2+xi（x∈R），若z1•z2∈R，则x=（） A． ﹣2- B． ﹣1- C． 1 D． 2 考点： 复数代数形式的乘除运算． 专题： 数系的扩充和复数． 分析： 直接由复数代数形式的乘法运算化简复数z1•z2，然后由虚部为0即可求出x的值． 解答： 解：z1•z2=（1+i）（2+xi）=2﹣x+（2+x）i， ∵z1．z2∈R， ∴2+x=0．即x=﹣2． 故选：A． 点评： 本题考查了复数代数形式的乘法运算，考查了复数的基本概念，是基础题． 3．（5分）已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的为（） A． 若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β B． 若m∥α，m∥β，则α∥β C． 若m∥α，n∥α，则m∥n D． 若m⊥α，n⊥α，则m∥n 考点： 空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系． 专题： 阅读型． 分析： 用身边的事物举例，或用长方体找反例，对答案项进行验证和排除． 解答： 解：反例把书打开直立在桌面上，α与β相交或垂直； 答案B：α与β相交时候，m与交线平行； 答案C：直线m与n相交，异面，平行都有可能，以长方体为载体； 答案D：，正确 故选D． 点评： 本题考查了线面的垂直和平行关系，多用身边具体的例子进行说明，或用长方体举反例． 4．（5分）已知向量=（2，﹣3），=（x，6），且，则|+|的值为（） A． B． C． 5 D． 13 考点： 平行向量与共线向量；向量的模；平面向量的坐标运算． 专题： 平面向量及应用． 分析： 根据两个向量平行的坐标表示求出x的值，然后运用向量的坐标加法运算求出两个和向量的坐标，最后利用求模公式求模． 解答： 解：由向量=（2，﹣3），=（x，6），且， 则26﹣（﹣3）x=0，解得：x=﹣4． 所以， 则=（﹣2，3）． 所以=． 故选B． 点评： 本题考查了两个平行的坐标表示，考查了平面向量的坐标运算，考查了向量模的求法，是基础题． 5．（5分）等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a5=8，S3=6，则a9=（） A． 8 B． 12 C． 16 D． 24 考点： 等差数列的通项公式；等差数列的前n项和． 专题： 等差数列与等比数列． 分析： 由给出的等差数列的第5项和前3项和代入通项公式及前n项和公式求等差数列的首项和公差，然后直接运用通项公式求a9． 解答： 解：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d， 则，解得：a1=0，d=2， 所以a9=a1+8d=0+82=16． 故选C． 点评： 本题考查了等差数列的通项公式和前n项和公式，考查了计算能力，此题属基础题． 6．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的y=（） A． B． 1 C． ﹣1 D． 2 考点： 程序框图． 专题： 算法和程序框图． 分析： 模拟程序框图的运行过程，得出该程序是计算y的值，并且以3为周期，从而得出程序运行的结果是什么． 解答： 解：模拟程序框图的运行过程，如下： y=2，i=1，1≥xx？，否，y=1﹣=； i=1+1=2，2≥xx？，否，y=1﹣=﹣1； i=2+1=3，3≥xx？，否，y=1﹣=2； i=3+1=4，4≥xx？，否，y=1﹣=； ，…， i=xx+1=xx，xx≥xx？，否，y=1﹣=2； i=xx+1=xx，xx≥xx？，是，输出y：2． 故选：D． 点评： 本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，寻找解答问题的途径，是基础题． 7．（5分）将函数y=cos（﹣2x）的图象向右平移个单位后所得的图象的一个对称轴是（） A． x= B． x= C． x= D． x= 考点： 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 专题： 三角函数的图像与性质． 分析： 利用诱导公式可得f（x）=cos（﹣2x）=cos（2x﹣），于是有f（x﹣）=cos（2x﹣），利用余弦函数的对称性即可得到答案． 解答： 解：令f（x）=cos（﹣2x）=cos（2x﹣）， 则f（x﹣）=cos[2（x﹣）﹣]=cos（2x﹣）， 由2x﹣=kπ（k∈Z），得其对称轴方程为： x=+（k∈Z）， 当k=0时，x=，即为将函数y=cos（﹣2x）的图象向右平移个单位后所得的图象的一个对称轴， 故选：A． 点评： 本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查余弦函数的对称性，属于中档题． 8．（5分）函数f（x）=（x﹣1）cosx2在区间[0，4]上的零点个数是（） A． 4 B． 5 C． 6 D． 7 考点： 根的存在性及根的个数判断． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 令函数值为0，构建方程，即可求出在区间[0，4]上的解，从而可得函数f（x）=（x﹣1）cosx2在区间[0，4]上的零点个数 解答： 解：令f（x）=0，可得x=1或cosx2=0 ∴x=1或x2=kπ+，k∈Z， ∵x∈[0，4]，则x2∈[0，16]， ∴k可取的值有0，1，2，3，4， ∴方程共有6个解， ∴函数f（x）=（x﹣1）cosx2在区间[0，4]上的零点个数为6个， 故选C 点评： 本题考查三角函数的周期性以及零点的概念，属于基础题． 9．（5分）已知直线l：x+my+4=0，若曲线x2+y2+2x﹣6y+1=0上存在两点P、Q关于直线l对称，则m的值为（） A． 2 B． ﹣2 C． 1 D． ﹣1 考点： 直线与圆的位置关系． 专题： 直线与圆． 分析： 曲线x2+y2+2x﹣6y+1=0上有两点P、Q，满足关于直线x+my+4=0对称，说明曲线是圆，直线过圆心，易求m的值； 解答： 解：曲线方程为（x+1）2+（y﹣3）2=9表示圆心为（﹣1，3），半径为3的圆． ∵点P、Q在圆上且关于直线x+my+4=0对称， ∴圆心（﹣1，3）在直线上．代入得m=﹣1． 故选：D． 点评： 本题考查直线与圆的方程的应用，圆的一般式方程，考查函数与方程的思想，是中档题． 10．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（1）=0，当x＞0时，有＞0成立，则不等式f（x）＞0的解集是（） A． （﹣1，0）∪（1，+∞） B． （﹣1，0） C． （1，+∞） D． （﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） 考点： 函数奇偶性的性质． 专题： 函数的性质及应用；导数的概念及应用． 分析： 根据当x＞0时，有＞0成立，可得为增函数，结合函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（1）=0，可分析出在各个区间上，和f（x）的符号，进而可得不等式f（x）＞0的解集． 解答： 解：∵当x＞0时，有＞0成立， ∴当x＞0时，为增函数， 又∵f（1）=0， ∴当x＞1时，＞0，f（x）＞0，当0＜x＜1时，＜0，f（x）＜0， 又∵函数f（x）是定义在R上的奇函数， ∴是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数， 故当x＜﹣1时，＞0，f（x）＜0，当﹣1＜x＜0时，＜0，f（x）＞0， 故f（x）＞0的解集是（﹣1，0）∪（1，+∞）， 故选：A 点评： 本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，函数的单调性，是函数图象和性质与导函数的综合应用，难度中档． 二、填空题：本大题共5题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分．（一）必做题（11～13题） 11．（5分）函数y=的定义域为{x|x＞o且x≠1}． 考点： 函数的定义域及其求法． 分析： 函数式是分式，分子含有根式，分母含有对数式，函数的定义域是使根式内的代数式大于等于0，且分母不等于0，还要使对数函数有意义． 解答： 解：要使原函数有意义，则需解得：x＞0且x≠1， 所以原函数的定义域为{x|x＞0，且x≠1}． 故答案为{x|x＞0，且x≠1}． 点评： 本题考查了函数的定义域及其求法，属于以函数的定义为平台，求集合的交集的基础题，也是xx高考常会考的题型． 12．（5分）一个几何体的三视图如图1，则该几何体的体积为6π． 考点： 由三视图求面积、体积． 专题： 空间位置关系与距离． 分析： 由三视图知几何体是一个半圆柱，半圆柱的底面是一个半径为2的半圆，高是3，根据所给的数据作出底面积，乘以高，得到体积． 解答： 解：由三视图知几何体是一个半圆柱， 半圆柱的底面是一个半径为2的半圆，高是3， 故半圆柱的体积V=π223=6π， 故答案为：6π 点评： 本题考查由三视图还原几何体，并且求几何体的体积，本题解题的关键是理解三个视图高长宽之间的关系，进而判断出几何体的形状，本题是一个基础题． 13．（5分）设双曲线的离心率为2，且一个焦点与抛物线x2=8y的焦点相同，则此双曲线的方程为． 考点： 抛物线的简单性质；双曲线的简单性质． 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： 利用抛物线的方程先求出抛物线的焦点即双曲线的焦点，利用双曲线的方程与系数的关系求出a2，b2，利用双曲线的三个系数的关系列出m，n的一个关系，再利用双曲线的离心率的公式列出关于m，n的另一个等式，解方程组求出m，n的值，代入方程求出双曲线的方程． 解答： 解：抛物线的焦点坐标为（0，2）， 所以双曲线的焦点在y轴上且c=2， 所以双曲线的方程为， 即a2=n＞0，b2=﹣m＞0， 所以，又， 解得n=1， 所以b2=c2﹣a2=4﹣1=3，即﹣m=3，m=﹣3， 所以双曲线的方程为． 故答案为：． 点评： 解决双曲线、椭圆的三参数有关的问题，有定注意三参数的关系：c2=a2+b2而椭圆中三参数的关系为a2=c2+b2 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（12分）已知函数． （Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和值域； （Ⅱ）若，求sin2α的值． 考点： 三角函数中的恒等变换应用；二倍角的正弦；三角函数的周期性及其求法． 专题： 三角函数的图像与性质． 分析： （Ⅰ）将化为f（x）=cos（x+）即可求得f（x）的最小正周期和值域； （Ⅱ）由可求得cos（α+）=，由余弦函数的二倍角公式与诱导公式可求得sin2α的值． 解答： 解：（Ⅰ）由已知，f（x）=﹣sincos﹣ =（1+cosx）﹣sinx﹣ =cos（x+）． ∴函数f（x）的最小正周期为2π，值域为[﹣，]． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（α）=cos（α+）=， ∴cos（α+）=， ∴sin2α=﹣cos（+2α）=﹣cos2（α+） =1﹣2 =1﹣ =． 点评： 本题考查三角函数的性质、两角和的正（余）弦公式等基础知识，考查运算能力，考查化归与转化等数学思想，属于中档题． 17．（13分）某中学xx高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83． （1）求x和y的值； （2）计算甲班7位学生成绩的方差s2； （3）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班至少有一名学生的概率． 考点： 古典概型及其概率计算公式；茎叶图；极差、方差与标准差． 专题： 概率与统计． 分析： （1）利用平均数求出x的值，中位数求出y的值，解答即可． （2）根据所给的茎叶图，得出甲班7位学生成绩，做出这7次成绩的平均数，把7次成绩和平均数代入方差的计算公式，求出这组数据的方差． （3）设甲班至少有一名学生为事件A，其对立事件为从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲班没有一名学生；先计算出从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生的所有抽取方法总数，和没有甲班一名学生的方法数目，先求出从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲班没有一名学生的概率，进而结合对立事件的概率性质求得答案． 解答： 解：（1）∵甲班学生的平均分是85， ∴， ∴x=5， ∵乙班学生成绩的中位数是83，∴y=3； （2）甲班7位学生成绩的方差为s2==40； （3）甲班成绩在90分以上的学生有两名，分别记为A，B， 乙班成绩在90分以上的学生有三名，分别记为C，D，E， 从这五名学生任意抽取两名学生共有10种情况： （A，B），（A，C），（A，D），（A，E）， （B，C），（B，D），（B，E）， （C，D），（C，E）， （D，E） 其中甲班至少有一名学生共有7种情况：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E）． 记“从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生， 甲班至少有一名学生”为事件M，则． 答：从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲校至少有一名学生的概率为． 点评： 本小题主要考查茎叶图、样本均值、样本方差、概率等知识，考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识． 18．（13分）如图甲，在平面四边形ABCD中，已知∠A=45，∠C=90，∠ADC=105，AB=BD，现将四边形ABCD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BDC（如图乙），设点E、F分别为棱AC、AD的中点． （1）求证：DC⊥平面ABC； （2）设CD=a，求三棱锥A﹣BFE的体积． 考点： 直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积． 专题： 证明题． 分析： （1）先证明AB⊥底面BDC，可得AB⊥CD，又DC⊥BC，从而证明DC⊥平面ABC． （2）由（1）知 EF⊥平面ABC，求得，代入体积公式进行运算可得答案． 解答： 解：（1）证明：在图甲中，∵AB=BD，且∠A=45， ∴∠ADB=45，∠ABC=90 即AB⊥BD． 在图乙中，∵平面ABD⊥平面BDC，且平面ABD∩平面BDC=BD， ∴AB⊥底面BDC，∴AB⊥CD．又∠DCB=90， ∴DC⊥BC，且AB∩BC=B，∴DC⊥平面ABC． （2）∵E、F分别为AC、AD的中点，∴EF∥CD， 又由（1）知，DC⊥平面ABC，∴EF⊥平面ABC， ∴，在图甲中，∵∠ADC=105，∴∠BDC=60，∠DBC=30， 由CD=a得，，∴， ∴，∴． 点评： 本题考查证明线线垂直、线面垂直的方法，求棱锥的体积，求出△AEB的面积，确定棱锥的高为EF 是解题的关键． 19．（14分）各项均不相等的等差数列{an}的前四项的和为S4=14，且a1，a3，a7成等比数列． （1）求数列{an}的通项公式an与前n项和Sn； （2）记Tn为数列{}的前n项和，若Tn≤λan+1对任意的正整数n都成立，求实数λ的最小值． 考点： 数列的求和；数列与不等式的综合． 专题： 等差数列与等比数列． 分析： （1）设公差为d，利用S4=14，且a1，a3，a7成等比数列，建立方程，即可求得首项与公差，从而可得数列{an}的通项公式； （2）利用裂项法，可求数列{}的前n项和，则Tn≤λan+1对任意的正整数n都成立， 等价于λ≥对∀n∈N*恒成立，求得的最大值即可． 解答： 解：（1）设公差为d，则 ∵S4=14，且a1，a3，a7成等比数列 ∴4a1+6d=14，（a1+2d）2=a1（a1+6d） ∵d≠0，∴d=1，a1=2， ∴an=n+1， sn==． （2）==﹣ ∴Tn==﹣= ∵Tn≤λan+1对任意的正整数n都成立， ∴≤λan+1对任意的正整数n都成立， 等价于λ≥对∀n∈N*恒成立． 又=≤=，且在n=2时取等号， 所以实数λ的最小值为． 点评： 本题考查等差数列的通项与求和，考查裂项法的运用，考查学生的计算能力以及恒成立问题的等价转化能力，综合性强，属于难题． 20．（14分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的上顶点为P（0，1），过E的焦点且垂直长轴的弦长为1．若有一菱形ABCD的顶点A、C在椭圆E上，该菱形对角线BD所在直线的斜率为﹣1． （1）求椭圆E的方程； （2）当直线BD过点（1，0）时，求直线AC的方程； （3）当∠ABC=时，求菱形ABCD面积的最大值． 考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；直线的一般式方程；椭圆的标准方程． 专题： 综合题． 分析： （1）依题意，b=1，解，得|y|=，所以，由此能求出椭圆E的方程． （2）直线BD：y=﹣1（x﹣1）=﹣x+1，设AC：y=x+b，由方程组得，再由根的判别式、中点坐标公式和菱形的性质能推导出AC的方程． （3）因为四边形ABCD为菱形，且，所以AB=AC=BC，所以菱形ABCD的面积，由AC2=（x2﹣x1）2+（y2﹣y1）2=2（x2﹣x1）2=2（x2+x1）2﹣8x1x2=，能推导出当且仅当b=0时，菱形ABCD的面积取得最大值． 解答： 解：（1）依题意，b=1， 解，得|y|=， 所以，a=2， 椭圆E的方程为． （2）直线BD：y=﹣1（x﹣1）=﹣x+1， 设AC：y=x+b， 由方程组得， 当时， A（x1，y1），C（x2，y2）的中点坐标为=﹣，， ABCD是菱形，所以AC的中点在BD上，所以 解得，满足△=5﹣b2＞0，所以AC的方程为y=x﹣． （3）因为四边形ABCD为菱形，且，所以AB=AC=BC，所以菱形ABCD的面积， 由（2）可得AC2=（x2﹣x1）2+（y2﹣y2）2=2， AC2=（x2﹣x1）2+（y2﹣y1）2=2（x2﹣x1）2=2（x2+x1）2﹣8x1x2=2=， 因为，所以当且仅当b=0时，菱形ABCD的面积取得最大值，最大值为． 点评： 本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要灵活运用根的判别式、中点坐标公式和菱形的性质，结合椭圆的性质注意合理地进行等价转化． 21．（14分）已知函数f（x）=a（x﹣）﹣2lnx，a∈R． （1）若a=1，判断函数f（x）是否存在极值，若存在，求出极值；若不存在，说明理由； （2）求函数f（x）的单调区间； （3）设函数g（x）=﹣．若至少存在一个x0∈[1，e]，使得f（x0）＞g（x0）成立，求实数a的取值范围． 考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值． 专题： 导数的综合应用． 分析： （1）利用求极值的方法，先求导，再判断函数f（x）单调性，然后判断是否存在极值； （2）求含有参数的f（x）的单调区间，需要分类讨论； （3）本命题等价于f（x）﹣g（x）＞0在[1，e]上有解，设F（x）=f（x）﹣g（x），F（x）min=F（1）=0，从而求得a的取值范围． 解答： 解：（1）当a=1时，，其定义域为（0，+∞）． ∵， ∴f（x）在（0，+∞）上单调递增， ∴函数f（x）不存在极值． （2）函数的定义域为（0，+∞）．， 当a≤0时， ∵f（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，所以f（x）在（0，+∞）上单调递减． 当a＞0时， 当x∈（0，+∞）时，方程f（x）=0与方程ax2﹣2x+a=0有相同的实根，△=4﹣4a2=4（1﹣a2）， ①当0＜a＜1时，△＞0，可得，，且0＜x1＜x2， ∴x∈（0，x1）时，f（x）＞0，所以f（x）在（0，x1）上单调递增； ∴x∈（x1，x2）时，f（x）＜0，所以f（x）在（x1，x2）上单调递减； ∴x∈（x2，+∞）时，f（x）＞0，所以f（x）在（x2，+∞）上单调递增； ②当a≥1时，△≤0，∴f（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，故f（x）在（0，+∞）上单调递增． 综上，当a≤0时，f（x）的单调减区间为（0，+∞）； 当0＜a＜1时，f（x）的单调增区间为与；单调减区间为； 当a≥1时，f（x）的单调增区间为（0，+∞）． （3）由存在一个x0∈[1，e]，使得f（x0）＞g（x0）成立， 得ax0＞2lnx，即， 令F（x）=，等价于“当x∈[1，e]时，a＞F（x）min”， ∵，且当x∈[1，e]时，F′（x）≥0， ∴F（x）在[1，e]上单调递增， 故F（x）min=F（1）=0， 因此a＞0． 点评： 本题主要考查了函数的极值，以及利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力． （二）、选做题：14、15题，考生只能从中选做一题 14．（5分）如图，CD是圆O的切线，切点为C，点B在圆O上，BC=2，∠BCD=60，则圆O的面积为4π． 考点： 与圆有关的比例线段． 专题： 计算题；立体几何． 分析： 通过弦切角，求出圆心角，结合弦长，得到半径，然后求出圆的面积． 解答： 解：∵弦切角等于同弧上的圆周角，∠BCD=60， ∴∠BOC=120， ∵BC=2， ∴圆的半径为：=2， ∴圆的面积为：π•22=4π． 故答案为：4π． 点评： 本题是基础题，考查弦切角的应用，圆周角与圆心角的关系，确定面积的求法，考查计算能力． 选做题（正四棱锥与球体积选做题） 15．棱长为1的正方体的外接球的体积为． 考点： 球的体积和表面积． 专题： 计算题；空间位置关系与距离． 分析： 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线，由此能求出正方体的外接球的体积． 解答： 解：∵正方体棱长为1， ∴正方体的外接球的半径R=， ∴正方体的外接球的体积V=（）3=． 故答案为：． 点评： 本题考查正方体的外接球的体积的求法，解题的关键是明确正方体的外接球的直径是正方体的体对角线．