2019-2020年高考数学二轮复习 专题6 解析几何 专题综合检测六 理.doc

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2019-2020年高考数学二轮复习 专题6 解析几何 专题综合检测六 理 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．如果实数x，y满足等式(x－2)2＋y2＝3，那么的最大值是(D) A. B. C. D. 2．(xx上海卷)已知P1(a1，b1)与P2(a2，b2)是直线y＝kx＋1(k为常数)上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是(B) A．无论k，P1，P2如何，总是无解 B．无论k，P1，P2如何，总有唯一解 C．存在k，P1，P2，使之恰有两解 D．存在k，P1，P2，使之有无穷多解 解析：由题意，直线y＝kx＋1一定不过原点O，P，Q是直线y＝kx＋1上不同的两点，则与不平行，因此a1b2－a2b1≠0，所以二元一次方程组一定有唯一解． 3．已知椭圆＋＝1(a＞5)的两个焦点为F1，F2，且|F1F2|＝8，弦AB过点F1，则△ABF2的周长为(D) A．10 B．20 C．2 D．4 4．已知直线l1：(3＋m)x＋4y＝5－3m与l2：2x＋(5＋m)y＝8平行，则实数m的值为(A) A．－7 B．－1 C．－1或－7 D. 5．椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，P为椭圆上的一点，已知PF1⊥PF2，则△F1PF2的面积为(A) A．9 B．12 C．10 D．8 6．椭圆＋＝1上的点到直线x＋2y－＝0的最大距离是(D) A．3 B. C．2 D. 7．(xx全国大纲卷)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为(A) A.＋＝1 B.＋y2＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 解析：如图，∵e＝＝，∴a＝c，∴b2＝a2－c2＝2c2，∵△AF1B的周长为|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝4，∴a＝，∴c＝1，∴b2＝2，∴所求的椭圆成为＋＝1.故选A. 8．已知点P是椭圆16x2＋25y2＝400上一点，且在x轴上方，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF2的斜率为－4，则△PF1F2的面积是(C) A．24 B．12 C．6 D．3 9．(xx天津卷)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线平行于直线l：y＝2x＋10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为(A) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 解析：由已知得＝2，∴b＝2a，在方程y＝2x＋10中令y＝0，得x＝－5，∴－c＝－5，∴c2＝a2＋b2＝5a2＝25，a2＝5，b2＝20，∴所求双曲线的方程为－＝1.故选A. 10．如果椭圆＋＝1的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是(D) A．x－2y＝0 B．x＋2y－4＝0 C．2x＋3y－12＝0 D．x＋2y－8＝0 11．(xx烟台质检)一个椭圆中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，)是椭圆上一点且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆方程为(A) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 解析：设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．由点(2，)在椭圆上知＋＝1.又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，即2a＝22c，＝，又c2＝a2－b2，联立解得a2＝8，b2＝6. 12．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点F，椭圆与过原点的直线交于A，B两点，连接AF，BF，若|AB|＝10，|AF|＝6，cos∠ABF＝，则C的离心率为(B) A. B. C. D. 解析：如图，在△AFB中，由余弦定理，得|AF|2＝|AB|＋|BF|2－2|AB||BF|cos∠ABF，∴62＝102＋|BF|2－20|BF|，解得|BF|＝8.∴|AF|2＋|BF|2＝|AB|2，△AFB为直角三角形． 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．与椭圆＋＝1具有相同的离心率且过点(2，－)的椭圆的标准方程是＋＝1或＋＝1． 14．(xx新课标Ⅱ卷)已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为y＝x，则该双曲线的标准方程为－y2＝1． 解析：法一：∵ 双曲线的渐近线方程为y＝x， ∴ 可设双曲线的方程为x2－4y2＝λ(λ≠0)． ∵ 双曲线过点(4，)， ∴ λ＝16－4()2＝4， ∴ 双曲线的标准方程为－y2＝1. 法二：∵ 渐近线y＝x过点(4，2)，而＜2， ∴ 点(4，)在渐近线y＝x的下方，在y＝－x的上方(如图)． ∴ 双曲线的焦点在x轴上，故可设双曲线方程为 －＝1(a＞0，b＞0)． 由已知条件可得 解得 ∴ 双曲线的标准方程为－y2＝1. 15．若过定点(－1，0)且斜率为k的直线与圆x2＋4x＋y2－5＝0在第一象限内的部分有交点，则k的取值范围是(0，)． 16．(xx陕西卷)若抛物线y2＝2px(p＞0)的准线经过双曲线x2－y2＝1的一个焦点，则p＝2． 解析：抛物线的准线方程为x＝－，p>0，双曲线的焦点为F1(－，0)，F2(，0)，所以－＝－，p＝2. 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知椭圆C的焦点为F1(－2，0)和F2(2，0)，长轴长为6，设直线y＝x＋2交椭圆C于A，B两点，求线段AB的中点坐标． 解析：由已知条件得椭圆的焦点在x轴上，其中c＝2，a＝3，从而b＝1，所以其标准方程是＋y2＝1. 联立方程组消去y得10x2＋36x＋27＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0)，那么x1＋x2＝－，x0＝＝－，所以y0＝x0＋2＝. 也就是说线段AB中点坐标为. 18．(12分)已知双曲线与椭圆＋＝1共焦点，它们的离心率之和为，求双曲线方程． 解析：由于椭圆焦点为F(0，4)，离心率为e＝，所以双曲线的焦点为F(0，4)，离心率为2，从而c＝4，a＝2，b＝2. 所以双曲线方程为－＝1. 19．(12分)(xx新课标Ⅱ卷)设F1，F2分别是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N. (1)若直线MN的斜率为，求C的离心率； (2)若直线MN在y轴上的截距为2，且||＝5||，求a，b. 分析：本题第(1)问，可结合MF2与x轴垂直、由勾股定理及椭圆定义求出椭圆的离心率；对第(2)问题，观察到MF2是三角形的中位线，然后结合向量的坐标运算及椭圆方程，可求出a，b. 解析：由题意知，＝，所以|MF2|＝c，由勾股定理可得：|MF1|＝c，由椭圆定义可得：c＋c＝2a，解得C的离心率为. (2)由题意，原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0，2)是线段MF1的中点，故＝4，即b2＝4a，由||＝5||得||＝2||，设N(x1，y1)，由题意知y1＜0，则即代入c的方程得＋＝1，将b2＝4a及c＝代入＋＝1得：＋＝1，解得a＝7，b＝2. 20．(12分)求两条渐近线为x2y＝0且截直线x－y－3＝0所得弦长为的双曲线方程． 解析：设双曲线方程为x2－4y2＝λ. 联立方程组 消去y得3x2－24x＋(36＋λ)＝0. 设直线被双曲线截得的弦为AB，且A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么 那么|AB|＝＝ ＝＝， 解得λ＝4，所以所求双曲线方程是－y2＝1. 21．(12分)已知直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1交于A，B两点． (1)若以线段AB为直径的圆过坐标原点，求实数a的值； (2)是否存在这样的实数a，使A，B两点关于直线y＝x对称？说明理由． 解析：(1)联立方程 消去y得(3－a2)x2－2ax－2＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么 由于以线段AB为直径的圆经过原点，那么⊥，即x1x2＋y1y2＝0. 所以x1x2＋(ax1＋1)(ax2＋1)＝0，得(a2＋1)＋a＋1＝0，a2＜6，解得a＝1. (2)假定存在这样的a，使A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线y＝x对称，那么 两式相减得3(x－x)＝y－y， 从而＝.① 因为A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线y＝x对称，所以代入①式得到：－2＝6，矛盾． 也就是说：不存在这样的实数a，使A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线y＝x对称． 22.(12分)(xx陕西卷)已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的半焦距为c，原点O到经过两点(c，0)，(0，b)的直线的距离为c. (1)求椭圆E的离心率； (2)如图，AB是圆M：(x＋2)2＋(y－1)2＝的一条直径，若椭圆E经过A，B两点，求椭圆E的方程． 解析：(1)过点(c，0)，(0，b)的直线方程为bx＋cy－bc＝0， 则原点O到该直线的距离d＝＝， 由d＝c，得a＝2b＝2，解得离心率＝. (2)解法一：由(1)知，椭圆E的方程为x2＋4y2＝4b2.① 依题意，圆心M(－2，1)是线段AB的中点，且|AB|＝. 易知，AB与x轴不垂直，设其方程为y＝k(x＋2)＋1，代入①得 (1＋4k2)x2＋8k(2k＋1)x＋4(2k＋1)2－4b2＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝. 由x1＋x2＝－4，得－＝－4，解得k＝. 从而x1x2＝8－2b2. 于是|AB|＝ |x1－x2| ＝ ＝. 由|AB|＝，得＝，解得b2＝3. 故椭圆E的方程为＋＝1. 解法二：由(1)知，椭圆E的方程为x2＋4y2＝4b2.② 依题意，点A，B关于圆心M(－2，1)对称，且|AB|＝. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x＋4y＝4b2，x＋4y＝4b2， 两式相减并结合x1＋x2＝－4，y1＋y2＝2，得 －4(x1－x2)＋8(y1－y2)＝0. 易知AB与x轴不垂直，则x1≠x2， 所以AB的斜率kAB＝＝. 因此直线AB的方程为y＝(x＋2)＋1，代入②得 x2＋4x＋8－2b2＝0. 所以x1＋x2＝－4，x1x2＝8－2b2. 于是|AB|＝ |x1－x2| ＝＝. 由|AB|＝，得＝， 解得b2＝3. 故椭圆E的方程为＋＝1.